Основное уравнение динамики при поступательном движении тела

Для определения движения тела (системы материальных точек) можно использовать второй закон динамики

где т — суммарная масса тела; а_с — ускорение центра масс тела.

В поле земного притяжения центр масс совпадает с центром тяжести.

 

Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Oz с угловой скоростью ω (рис. 17.3).

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем ее на множество материальных точек с массами Δm_k. Каждая точ­ка движется по окружности радиуса r_k c касательным ускорением а_k^t = εr_k и нормальным ускорением

где ε — угловое уско­рение.

Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:

Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вра­щения должна быть равна нулю:

где Mz — момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции F_инkⁿ равны нулю, т. к. силы пересекают ось z. Силы, направленные по касательной к окружно­сти, равны

где ε — общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим

Величина

называется моментом инерции тела относи­тельно оси вращения и обозначается

В результате получим выраже­ние основного уравнения динамики вращающего тела:

где Mz — сумма моментов внешних сил относительно оси; ε — угло­вое ускорение тела.

 

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.

По выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой величины в системе СИ [Jz\ = [тг2] = кг-м2.

Видно, что значение момента инерции зависит от распределе­ния массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со спицами и отверстиями.

Моменты инерции некоторых тел

Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 17.4)

Момент инерции полого тонкостенного цилиндра (рис. 17.5)

Момент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения

Момент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения

 

Момент инерции шара (рис. 17.7)

Примеры решения задач

 

Пример 1. Автомобиль двигался со скоростью 54 км/ч. В ре­зультате резкого торможения автомобиль остановился. Определите время торможения, если коэффициент трения между поверхностью дороги и колесами автомобиля 0,36.

Решение

Принимаем автомобиль за материальную точку (рис. 17.8).

1. Считаем, что торможение произошло только за счет трения. Используем теорему об изменении количества движения. Начальная скорость

По теореме изменения количества движения

Конечная скорость v = 0 (остановка).

1. Тормозная сила

 

здесь R — сила прижатия; f — коэффициент трения; G — сила тя­жести; т — масса автомобиля; g — ускорение свободного падения; g = 9,81м/с².

 

1. После подстановок получаем формулу для определения вре­мени торможения.

 

 

Пример 2. После отключения двигателя колесо радиусом 0,5 м и массой 700 кг имело угловую частоту вра­щения 300 об/мин. Определите момент трения в подшипниках, если вал колеса остановился через 1,5 мин. Вращение принять равнопере­менным, колесо считать сплошным цилиндром (рис. 17.9).

Решение

1. Запишем уравнение динамики при вращении:

 

где M_∑ — суммарный момент внешних сил; J — момент инерции; ε — угловое ускорение; М_дв — движущий момент; М_хр — момент трения (сил сопротивления).

 

1. Определим угловое ускорение по формуле для угловой скоро­сти при равнопеременном движении:

Тогда

3. Определим момент инерции колеса, считая его сплошным ци­линдром:

4. Определяем величину тсгомозного момента — момента трения в подшипниках:

 

Пример 3. Шкив приводится во вращение ременной передачей (рис. 17.10). Натяжение ведущей ветви ремня S₁ = 120 Н, ведомой — S₂ = 50 Н. Масса шкива 200 кг, диаметр 80 мм, момент сопротив­ления в подшипниках 1,2 Н-м. Определить угловое ускорение вала, пренебрегая его массой. Шкив считать тонкостенным цилиндром.

Решение

1. Используем основное уравнение дина­мики

2. Определяем суммарный момент внеш­них сил

Рассчитываем момент инерции шкива, влиянием вала прене­брегаем:

Определяем угловое ускорение шкива

 

Пример 4. Определить величину силы P, под дей­ствием которой тело массой т = 120 кг за t = 5 с приоб­ретает скорость v = 500 м/с. Трением пренебречь.

Решение

 

Так как в число данных и искомых величин входят действующие силы (по­стоянные по величине и на­правлению), время движения, начальная и конечная ско­рости, то применяем теоре­му об изменении количества движения точки.

Силы, действующие на точку в произвольном положе­нии, показаны на рис. 1.67 — сила тяжести тела, N — реакция поверхности, Р — движу­щая сила).

Вычисляем проекции на ось х импульсов сил, дей­ствующих на тело:

(так как силы О и N перпендикулярны к оси х),

Составляем уравнение изменения количества движения

откуда

 

Пример 5. По наклонной плоскости с углом α = 30° опускается без начальной скорости тяжелое тело; коэф­фициент трения равен 0,1. Какую скорость будет иметь тело, пройдя 2 м от начала движения?

Решение

 

Так как в число данных и искомых величин входят действующие силы (постоянные по величине и на­правлению), перемещение точки, начальная и конечная скорости, то применим тео­рему об изменении кинети­ческой энергии точки. Си­лы, действующие на тело в произвольном положе­нии, показаны на рис. 1.68 (G — сила тяжести тела, N — реакция плоскости, Т_тр — сила трения).

Вычислим работы сил, действующих на тело:

(так как N и G₁ перпендикулярны к перемещению точки их приложения).

Составляем уравнение изменения кинетической энергии:

Так как тело опускается без начальной скорости, то v _о = 0, тогда

откуда

 

Пример 6. Поезд массой т — 3-10⁶ кг движется по прямолинейному участку пути со скоростью 20 м/с. Тор­мозной путь составляет 500 м. Определить время и силу торможения, считая ее постоянной.

Решение

В число данных и искомых величин входят действующие силы (постоянные по величине и направле­нию), время движения, перемещение точки, начальная и конечная скорости, поэтому нужно применить теоремы об изменении количества движения и об изменении кине­тической энергии точки.

Силы, действующие на точку в произвольном положе­нии, показаны на рис. 1.69 (Р — вес поезда, N — реакция рельсов, Р_{тo р} — сила торможения). Для определения Р_{тo р} применяем теорему об изменении кинетической энер­гии точки.

Вычисляем работы сил, действующих на точку:

(так как силы Р и N перпен­дикулярны к направлению перемещения точки их прило­жения),

Составляем уравнение из­менения кинетической энер­гии:

где Тогда

откуда

Для определения времени торможения применяем тео­рему, об изменении количества движения точки.

Вычисляем проекции импульсов сил, действующих на точку:

(так как силы Р и N перпендикулярны к оси х),

Составляем уравнение изменения количества движения:

так как

откуда

 

Пример 7. Груз А массой 3 т и груз В массой т соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через блок (рис. 1.70, а). Момент инерции блока относительно оси вращения

где D — диаметр блока. Коэффициент трения между по­верхностями скольжения f = 0,1. Движение системы начи­нается из состояния покоя. Определить скорость груза В и угловую скорость блока после того, как груз В опу­стится на расстояние h. Массой нити и трением в блоке пре­небречь.

Решение

 

Система состоит из грузов А, В, нити и блока. В число данных и искомых величин вхо­дят: действующие си­лы (постоянные пo величине и направлению), перемещение системы, скорости тел в начале и в конце перемещения. Поэтому для реше­ния задачи применяем теорему об изменении кинетиче­ской энергии системы.

Система в произвольном положении и действующие на нее силы показаны на рис. 1.70, б.

Так как система вначале находилась в покое, то ее начальная кинетическая энергия Т₀ равна нулю. Кине­тическая энергия Т₁ системы при движении груза скла­дывается из кинетической энергии Т_1A груза A, кинети­ческой энергии Т_1Б груза В, кинетической энергии Т_1бл блока.

Вычислим кинетическую энергию системы в момент, когда груз опустится на расстояние h:

где

Выразив угловую скорость блока через скорость груза получим

Вычислим работу сил, приложенных к системе. Работа силы тяжести груза В равна Рh = тgh, работы сил N и 3 Р равны нулю (силы перпендикулярны перемещению точки их приложения), работа силы трения равна

Сила натяжения нити является внутренней силой, поэтому ее работа равна нулю.

Таким образом, уравнение кинетической энергии си­стемы в данном случае имеет вид

Отсюда искомая скорость груза

Угловая скорость блока

 

Пример 8. В период пуска электродвигателя его ротор вращается под действием постоянного момента М₁ = 80 Н-м. В подшипниках возникает момент сил трения М_{2 =} 5 Н-м (рис. 1.71). Считая ротор однородным диском массой т = 100 кг, определить, сколько оборотов сделает ротор за 6 с после начала движе­ния, и угловую скорость ротора в конце 10-й секунды.

 

Решение

 

Для решения задачи ис­пользуем основное уравнение вращатель­ного движения тела:

 

Угловое ускорение ротора

где J — момент инерции ротора;

Так как ротор вращается равномерно-ускоренно, то уравнение движения имеет вид:

(ротор начинает движение из состояния покоя).

Подставив значение t = 6 с, получим

Число оборотов ротора

 

При равномерно-ускоренном вращательном движении угловая скорость вычисляется по формуле: (в начальный момент М₀ = 0).

При

Контрольные вопросы и задания

 

1. Тело массой 10 кг поднято на высоту 6 м. Определите потенци­альную энергию тела и работу, которую совершит тело при падении с этой высоты.

2. Материальная точка массой 16 кг, движущаяся со скоростью 10 м/с, остановилась через 40 с. Определите величину тормозной силы.

3. Тело массой 9,2 кг двигалось из состояния покоя 3 с с ускоре­нием 4 м/с² под действием силы F. Определите запас кинетической энергии, накопленный телом.

4. Сплошной однородный цилиндр вращается вокруг продоль­ной оси (рис. 17.11). От каких параметров зависит момент инерции цилиндра?

Варианты ответов:

· Только от т.

· От m и d.

· От l, т и d.

· От l и т.

 

5. Определите вращающий момент на шкиве (рис. 17.12); d — 60 мм.

6. По результату решения преды­дущей задачи (вопрос 5) определите момент инерции шкива, если, двига­ясь из состояния покоя, он приобрел угловую скорость 50 рад/с за 10 с.

Примечание. При ответах на контрольные вопросы ускорение свободного падения можно принимать равным 10 м/с².