Определение координат центра тяжести плоских фигур

 

Положения центров тяжести простых геометрических фигур мо­гут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) — круг; б) — квадрат, прямоугольник; в) — треугольник; г) — полукруг).

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. При решении задач используются следующие методы:

1. метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур нахо­дится на оси симметрии;

2. метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых легко опреде­лить;

3. метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рас­сматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Примеры решения задач

Пример1. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 8.4.

Решение

Разбиваем фигуру на три части:

 

 

Аналогично определяется у _С = 4,5 см.

 

Пример 2. Найти положение центра тяжести симметричной стержневой фермы ADBE (рис. 116), размеры которой таковы: АВ = 6м, DE = 3 м и EF = 1 м.

 

Решение

 

Так как ферма симметричная, то ее центр тяжести лежит на оси симметрии DF. При выбранной (рис. 116) системе коор­динатных осей абсцисса центра тяжести фермы

Неизвестной, следовательно, является лишь ордината у_С центра тя­жести фермы. Для ее определения разбиваем ферму на отдельные части (стержни). Длины их определяются из соответствующих треугольников.

Из ΔAEF имеем

Из ΔADF имеем

Центр тяжести каждого стержня лежит в его середине, координаты этих центров легко определяются из чертежа (рис. 116).

Найденные длины и ординаты центров тяжести отдельных частей фермы заносим в таблицу и по формуле

определяем ординату у с центра тяжести данной плоской фермы.

 

Следовательно, центр тяжести С всей фермы лежит на оси DF симметрии фермы на расстоянии 1,59 м от точки F.

Пример 3. Определить координаты центра тяжести составного сечения. Сечение состоит из листа и прокатных профилей (рис. 8.5).

Примечание. Часто рамы сваривают из разных профилей, создавая необходимую конструкцию. Таким образом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.

Для стандартных прокатных профилей собственные геометри­ческие характеристики известны. Они приводятся в соответствую­щих стандартах.

 

Решение

1. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблиц необхо­димые данные:

1 — швеллер № 10 (ГОСТ 8240-89); высота h = 100 мм; ширина полки b = 46 мм; площадь сечения А₁ = 10,9 см²;

2 — двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); высота 160 мм; ширина полки 81 мм; площадь сечения А₂ — 20,2 см²;

3 — лист 5x100; толщина 5 мм; ширина 100мм; площадь сечения A₃ = 0,5 • 10 = 5 см².

 

2. Координаты центров тяжести каждой фигуры можно опреде­лить по чертежу.

Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести нахо­дится на оси симметрии и координата х _С = 0.

 

3. Определение центра тяжести составного сечения:

 

Пример 4. Определить координаты центра тяжести сечения, по­казанного на рис. 8, а. Сечение состоит из двух уголков 56x4 и швеллера № 18. Выполнить проверку правильности определения положения центра тяжести. Указать его положение на сечении.

 

Решение

1. Разобьем сечение на профили проката: два уголка 56 х 4 и швеллер № 18. Обозначим их 1, 2, 3 (см. рис. 8, а).

2. Укажем центры тяжести каждого профиля, используя табл. 1 и 4 прил. I, и обозначим их С₁, С₂, С₃.

3. Выберем систему координатных осей. Ось у совместим с осью симметрии, а ось х проведем через центры тяжести уголков.

4. Определим координаты центра тяжести всего сечения. Так как ось у совпадает с осью симметрии, то она проходит через центр тяжести сечения, поэтому х_с = 0. Координату у_с опреде­лим по формуле

Пользуясь таблицами приложения, определим площади каждого профиля и координаты центров тяжести:

 

Координаты у₁ и у₂ равны нулю, так как ось х проходит через центры тяжести уголков. Подставим полученные значения в формулу для определения у_с:

5. Укажем центр тяжести сечения на рис. 8, а и обозначим его буквой С. Покажем расстояние у_С = 2,43 см от оси х до точ­ки С.

Поскольку уголки симметрично расположены, имеют одина­ковую площадь и координаты, то А₁ = А₂, у₁ = у₂. Поэтому фор­мула для определения у_С может быть упрощена:

6. Выполним проверку. Для этого ось х проведем по нижнему краю полки уголка (рис. 8, б). Ось у оставим, как в первом ре­шении. Формулы для определения х_С и у_С не изменяются:

Площади профилей останутся такими же, а координаты центров тяжестей уголков и швеллера изменятся. Выпишем их:

Находим координату центра тяжести:

По найденным координатам х_с и у_с наносим на рисунок точ­ку С. Найденное двумя способами положение центра тяжести находится в одной и той же точке. Проверим это. Разница между координатами у_с, найденными при первом и втором решении, составляет: 6,51 - 2,43 = 4,08 см.

Это равно расстоянию между осями х при первом и втором решении: 5,6 - 1,52 = 4,08 см.

Ответ: у_с = 2,43 см, если ось х проходит через центры тяже­сти уголков, или у_с = 6,51 см, если ось х проходит по нижнему краю полки уголка.

Пример 5. Определить координаты центра тяжести сечения, изображенного на рис. 9, а. Сечение состоит из двутавра № 24 и швеллера №.24а. Показать положение центра тяжести на сече­нии.

Решение

 

1. Разобьем сечение на профили проката: двутавр и швеллер. Обозначим их цифрами 1 и 2.

3. Укажем центры тяжести каждого профиля С₁ и С₂, ис­пользуя таблицы приложений.

4. Выберем систему осей координат. Ось х совместим с осью симметрии, а ось у проведем через центр тяжести двутавра.

5. Определим координаты центра тяжести сечения. Координа­та у_с = 0, так как ось х совпадает с осью симметрии. Координату х_с определим по формуле

По табл. 3 и 4 прил. I и схеме сечения определим

Подставим числовые значения в формулу и получим

5. Нанесем точку С (центр тяжести сечения) по найденным значениям х_с и у_с (см. рис. 9, а).

Проверку решения необходимо выполнить самостоятельно при положении осей, как показано на рис. 9, б. В результате ре­шения получим х_с = 11,86 см. Разница между значениями х_с при первом и втором решении равна 11,86 - 6,11 = 5,75 см, что равно расстоянию между осями у при тех же решениях b_дв/2 = 5,75 см.

Ответ: х_с = 6,11 см, если ось у проходит через центр тяжести двутавра; х_с = 11,86 см, если ось у проходит через левые крайние точки двутавра.

 

 

Пример 6. Железнодорожный кран опирается на рельсы, расстояние меж­ду которыми АВ = 1,5м (рис. 1.102). Сила тяжести тележки крана G_r = 30 кН, центр тяжести тележки находится в точке С, лежащей на линии KL пересечения плоскости симметрии тележки с плоскостью рисунка. Сила тяжести лебедки крана Q_л = 10 кН приложена в точке D. Сила тяжести противовеса G„=20 кН приложена в точке Е. Сила тяжести стрелы G_c = 5 кН приложена в точке Н. Вылет крана относительно линии KL равен 2 м. Определить коэффициент устойчивости крана в ненагруженном состоянии и какой груз F можно поднять этим краном при условии, что коэффициент устойчивости должен быть не менее двух.

Решение

 

1. В ненагруженном состоянии у крана возникает опасность опро­кидывания при повороте вокруг рельса А. Следовательно, относительно точки А момент устойчивости

2. Опрокидывающий момент относительно точки А создается силой тяжести противове­са, т. е.

3. Отсюда коэффициент устойчивости крана в ненагруженном состоянии

4. При нагрузке стрелы крана грузом F возникает опасность опрокидывания крана с поворотом около рельса В. Следовательно, от­носительно точки В момент устойчивости

5. Опрокидывающий момент относитель­но рельса В

6. По условию задачи эксплуатация крана разрешается при коэффициенте устойчивости k_B ≥ 2, т. е.

Отсюда

 

Контрольные вопросы и задания

 

1. Почему силы притяжения к Земле, действующие на точки тела, можно принять за систему параллельных сил?

 

2. Запишите формулы для определения положения центра тя­жести неоднородных и однородных тел, формулы для определения положения центра тяжести плоских сечений.

 

3. Повторите формулы для определения положения центра тя­жести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольни­ка, трапеции и половины круга.

4. Что называют статическим моментом площади?

5. Вычислите статический момент данной фигуры относительно оси Ox. h = 30 см; b = 120 см; с = 10 см (рис. 8.6).

 

6. Определите координаты центра тяжести заштрихованной фи­гуры (рис. 8.7). Размеры даны в мм.

 

7. Определите координату у фигуры 1 составного сечения (рис. 8.8).

При решении воспользоваться справочными данными таблиц ГОСТ «Сталь горячекатанная» (см. Приложение 1).