Определение координат центров тяжестей “простых” фигур

И всего поперечного сечения

Выбираем произвольную правовинтовую систему координат XOY и из центра тяжести каждой “простой” фигуры С_i проводим собственные центральные оси X_Ci, Y_Ci, параллельные осям Х, Y. Показываем координаты центров тяжестей каждой фигуры х_Ci, y_Ci относительно вспомогательной системы XOY и вычисляем их значения, используя характерные размеры элементов с учётом их расположения в сечении (рис. 1.5):

;

;

мм = 3,23 см;

мм = 17,42 см;

;

;

_þ ;

_þ – z _0,þ

 

1.Стальной прокатный двутавр №16 ГОСТ 8239-72   h =160 мм; b =81 мм; d =5 мм; t =7,8 мм A =20,2 см^2; JX =873 см^4; JY =58,6 см^4; JXY =0.	2.Стальной прокатный уголок №10/6,3/ ГОСТ 8510-72
3.Стальной прокатный лист 200×20 мм b = 200 мм; h = 20 мм; А = bh = 20 ∙ 2 = 40 см^2; JX = bh ^3/12 = 20 ∙ 2^3/12 = 13,3 см^4; JY = b ^3 h /12 = 20^3∙ 2/12 = 1333см^4; JXY = 0.	h =100 мм; b = 46 мм; d = 4,5 мм; t = 7,6 мм; z 0= 14,4 мм; A = 10,9 см^2; JX = 174 см^4; JY = 20,1 см^4; JXY = 0. 4.Стальной прокатный швеллер № 10 ГОСТ 8240-72

 

Рис. 1.4. Эскизы фигур и их характеристики

Определяем координаты центра тяжести поперечного сечения в системе осей XOY по формулам (1.3):

Рис. 1.5. Поперечное сечение стержня (М 1:2)

Откладываем в масштабе отрезки х_C, у_C и проводим центральные

оси Х_С, Y_С, на пересечении которых получаем центр тяжести сечения С

(рис. 1.5).

Вычисляем координаты центров тяжестей “простых” фигур относительно центральных осей всего сечения X_C, Y_C, используя формулы ; (i = 1 – 4):

; ;

; ;

; ;

; .

Проверяем выполнение основного свойства центральных осей, для которых статические моменты площади должны равняться нулю:

; относительная погрешность вычислений ⋍ 0,1 %.

; относительная погрешность вычислений ⋍ 0,2 %.

Учитывая малую погрешность вычислений, заключаем, что координаты центра тяжести поперечного сечения найдены верно (при условии, что правильно определены координаты x_Ci, y_Ci).

 

Определение осевых и центробежного моментов инерции

сечения относительно центральных осей Х_C, У_C

Находим моменты инерции “простых” фигур относительно собственных центральных осей. Сравнивая расположение фигур и осей на чертеже (рис. 1.5) и эскизах (рис. 1.4), замечаем, что

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; .

Знак центробежного момента инерции уголка в сечении определяем, представив интеграл по всей площади в виде суммы трёх подинтегралов (рис. 1.6):

.

Из рисунка видно, что первый и третий подынтегралы отрицательны и значительно превышают по модулю второй (положительный) подынтеграл. Следовательно, при данном расположении уголка его центробежный момент инерции отрицателен.

Вычисляем моменты инерции “простых” фигур относительно центральных осей Х_C, Y_C всего сечения. Используем формулы для преобразования моментов инерции при параллельном переносе с центральных осей фигуры Х_Ci, Y_Ci на параллельные им оси Х_C, Y_C (рис. 1.5):

Рис 1.6. Определение знака центробежного момента инерции уголка

; ; .

Для первой фигуры – двутавра:

;

;

.

Для второй фигуры – уголка:

;

;

.

Для третьей фигуры – листа:

;

;

.

Для четвёртой фигуры – швеллера:

;

;

.

Находим центральные моменты инерции поперечного сечения, произведя суммирование по всем составляющим фигурам:

Определение положения главных центральных осей

Инерции сечения

Используем формулу (1.1):

.

Так как угол получился отрицательным, откладываем его по ходу часовой стрелки и проводим главные оси U и V (рис. 1.5).

Вычисляем значения тригонометрических функций

; ; ;

; ; .

Проверяем основное тригонометрическое тождество

; – верно.

 

Определение главных центральных моментов

Инерции сечения

Используем формулы (1.2):

;

;

.

Проверяем правильность вычислений.

А. Условие стационарности суммы осевых моментов инерции при повороте осей:

J_XC + J_YC = 4916+2602 = 7518 ; J_U + J_V = 5624+1894 = 7518 – выполняется.

Б. Условие экстремальности главных осевых моментов инерции:

J_U = 5624 > { J_XC = 4916 ∩ J_YC = 2602} – максимум;

J_V = 1894 < { J_XC = 4916 ∩ J_YC = 2602} – минимум.

В. Основное свойство главных осей: .

Выше мы вычислили . Относительная погрешность

⋍

0,03 %,

следовательно, условие выполняется.

Определение моментов сопротивления

Относительно главных осей

Осевые моменты сопротивления характеризуют изгибную прочность стержней (балок) с заданными геометрическими параметрами сечения. Вычисляются они как отношения моментов инерции к расстояниям от главных осей до наиболее удаленных от них точек сечения. Чтобы найти опасные точки, проведём по две пары касательных, параллельных главным осям U, V (по разные стороны от осей), и выберем те точки касания, которые наиболее удалены от главных осей (устанавливаем визуально или с помощью линейки). В рассматриваемом примере от оси V наиболее удалена т. А, а от оси U – т. В (рис. 1.5).

Вычисляем главные координаты опасных точек, используя формулы аналитической геометрии:

;

,

где x_A, y_A, x_B, y_B, x_C, y_C – координаты точек А, В и центра тяжести C во вспомогательной системе координат XOY.

Из рис. 1.5 находим

; ;

; .

В п. 1.3.2 мы вычислили х_C = 8,86 см; у_C = 19,33 см.

Подставляя в формулы эти значения, получаем

см;

см.

Знаки “минус” показывают, что точки удалены от главных осей в сторону отрицательного направления осей U и V.

Определяем осевые моменты сопротивления

; .