Проверка правильности решения задачи

1. Статическая проверка.

Вычисляем окончательные значения опорных реакций и продольных сил

R ₁ = 446333 + 46,0431∙1629 = 521337 Н;

R ₂ = –54650 – 54,2939∙1629 = –143095 Н;

R ₃ = 187680 – 19,2267∙1629 = 156360 Н.

N ₁ = R ₁ = 521337 Н; N ₂ = R ₂= – 143095 Н; N ₃ = – R ₃ = – 156360 Н.

Согласно геометрическому условию равновесия для системы сходящихся сил (F, R ₁, R ₂, R ₃) необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник получился замкнутым. Выбираем масштабный коэффициент из условия, чтобы активная сила F изображалась вектором длиной 100 мм

Тогда реактивные силы будут изображаться векторами, длины которых, соответственно, равны:

для R ₁: ≃130 мм; для R ₂: ≃36 мм; для R ₃: ≃39 мм.

Силовой многоугольник начинаем строить из произвольно выбранного полюса О, проводя последовательно вектора под углами к оси Х (горизонтали) соответственно равными β_F, β ₁, β ₂, β ₃ (рис. 2.5). При положительных значениях реакций R_i направления векторов на рис. 2.3 и 2.5 должны совпадать, а при отрицательных значениях реакций эти векторы должны быть противоположны.

Рис. 2.5. Статическая проверка.

Построение силового многоугольника

Абсолютная ошибка ∆_F пропорциональна отрезку 4–0. В примере он составляет 0,5 мм, что соответствует ∆_F = (4–0)∙ = 0,5∙4 = 2 кН. Относительная погрешность по сравнению с активной силой – допустимая величина.

Если ошибка превышает допустимую величину, то необходимо проверить построения, а затем исходные уравнения (2.8).

2. Кинематическая проверка.

Она заключается в построении действительной (упрощённой) схемы перемещений т. D, принадлежащей одновременно всем трём стержням системы. После мысленного разъединения стержней, их деформирования на величину ∆l_i и поворота относительно шарниров А, В, С на некоторые малые углы γ_i концы стержней должны соединиться в одной точке (т. D ₁).

Вычисляем абсолютные деформации стержней:

мм – удлинение;

мм – укорочение;

мм – укорочение.

Выбираем произвольно т. D и из неё проводим лучи по направлению трёх стержней, т.е. под углами β ₁, β ₂, β ₃ к горизонтали (оси Х). От концов стержней (с учётом неточности изготовления) откладываем в масштабе М 10:1 (можно М 5:1) отрезки ∆ l_i с учетом их знаков и восстанавливаем перпендикуляры до их взаимного пересечения (рис. 2.6).

Абсолютная ошибка ∆_{∆ l} пропорциональна наибольшей стороне треугольника невязки В рассматриваемом примере ∆_{∆ l} = = = 2,5 мм. Относительную погрешность находим по сравнению с наибольшим значением деформации с учётом масштаба по рис. 2.6 (∆ l) _max = |∆ l ₃|= =112 мм

≃ – допустимая величина.

Если ошибка превышает допустимую величину, то необходимо проверить построения (рис. 2.6), а затем преобразования уравнения (2.10) в уравнение (2.11).

Рис. 2.6. Кинематическая проверка. Построение схемы перемещений

3. Физическая проверка.

Обозначим через угол, образованный вектором полного действительного перемещения узла и вектором сосредоточенной силы . Так как в процессе деформирования системы сила F играет активную роль, а перемещение f – пассивную роль, то угол φ должен находиться в пределах . В рассматриваемом примере это условие выполняется: φ ≃ 45⁰.

При неправильном решении задачи угол получится в пределах . В этом случае необходимо проверить построения (рис. 2.6), а также физическую сторону задачи (п. 2.3.5) и синтез (п. 2.3.6).

4. Прочностная проверка.

Вычисляем действительные напряжения в стержнях σ _i и сравниваем их с допускаемыми или :

МПа ≃ ;

МПа > ;

МПа > _.

Мы видим, что условия прочности выполняются, при этом одно из действительных напряжений получилось равным допускаемому, а остальные по модулю меньше допускаемых. Если условия не выполняются, то необходимо проверить подбор параметра площади А и вычисление площадей сечений А_i (п. 2.3.7).

Так как в рассматриваемом примере все проверки выполняются, то с большой вероятностью можно считать, что задача решена правильно и окончательно можно принять следующие площади стержней:

А ₁ = 3258 мм²; А ₂ = 4887 мм²; А ₃ = 1629 мм².

 

 

ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК

Плоский изгиб балок является одним из наиболее опасных случаев нагружения деталей машин и элементов сооружений, когда силовая плоскость проходит через одну из главных центральных осей инерции сечения (см. гл. 1). При плоском поперечном изгибе (в дальнейшем просто “изгибе”) в сечении балки возникают два внутренних усилия: поперечная сила и изгибающий момент , расположенные в силовой плоскости YOZ.

Поперечная сила в произвольном сечении балки равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось Y всех внешних нагрузок, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т. е. . Поскольку все нагрузки параллельны оси Y и пары сил не дают проекций на оси, определение поперечной силы можно упростить, полагая, что она равна алгебраической сумме нагрузок (кроме пар сил), расположенных по одну сторону от сечения, т. е.

. (3.1)

При вычислениях используют следующее правило знаков (рис. 3.1):

Рис. 3.1. Правило знаков для поперечной силы

внешняя нагрузка, вращающая отсечённый элемент балки (шарнирно закреплённый в центре тяжести сечения ) по ходу часовой стрелки, создаёт положительную поперечную силу, а против часовой стрелки –отрицательную.

Изгибающий момент в произвольном сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно горизонтальной оси X всех внешних нагрузок, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т. е. . Учитывая расположение нагрузок, определение изгибающего момента можно упростить, полагая, что он равен алгебраической сумме моментов отсечённых нагрузок относительно центра тяжести сечения, т. е.

. (3.2)

При вычислениях используют следующее правило знаков (рис. 3.2):

Рис. 3.2. Правило знаков для изгибающего момента

внешняя нагрузка, искривляющая отсечённый элемент балки (жёстко защемленный в рассматриваемом сечении i–i) выпуклостью вниз, создаёт положительный изгибающий момент, а выпуклостью вверх –отрицательный.

С целью определения наиболее опасных сечений строят эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки. Для проверки правильности построения эпюр используют третий закон Ньютона (действие равно противодействию) и дифференциальные зависимости между внутренними усилиями Q, M и интенсивностью распределённой нагрузки q.

Ньютоновские проверки выполняют для каждой границы между грузовыми участками, где наблюдается изменение характера нагружения, например приложены сила или момент, начинается или заканчивается распределённая нагрузка и др. Эти проверки заключаются в выполнении условий

; , (3.3)

где – разрыв функции I рода (скачок); и – поперечная сила справа и слева от границы k; и – изгибающий момент справа и слева от границы k; – внешняя сосредоточенная сила на k -й границе; – внешний сосредоточенный момент на k -й границе.

Дифференциальные проверки должны выполняться для всех сечений балки. Обычно они записываются в виде

(3.4)

где d – дифференциал; z – абсцисса сечения (аргумент); , , – функции, характеризующие изменение по длине балки распределённой нагрузки, поперечной силы и изгибающего момента.

Полезно помнить, что геометрический смысл первой производной – это тангенс угла наклона касательной к графику функции, а второй производной – кривизна функции в рассматриваемой точке. Угол наклона положителен, если он образован поворотом оси Z против часовой стрелки; кривизна положительна, если имеет выпуклость внизу; распределённая нагрузка положительна, если направлена вверх.

Третий вид проверок – это интегральные зависимости между функциями , и приращениями функций и , которые они получают в пределах каждого грузового участка

(3.5)

Здесь – приращение функции; а, b – абсциссы начала и конца грузового участка.

Полезно помнить, что приращение функции – это число, а интегралы в правой части – это площади, ограниченные графиком функции и осью Z в пределах грузового участка.

При изгибе балки в точках её поперечных сечений появляются два вида напряжений: нормальные и касательные . Нормальные напряжения, играющие решающую роль при разрушении балок, создаются изгибающим моментом и определяются по формуле

где – изгибающий момент в рассматриваемом сечении; – осевой момент инерции относительно главной центральной оси X; y –расстояние от оси X до точки, в которой определяется напряжение; знак

“–” в правой части объясняется тем, что при положительных значениях М и y появляются сжимающие напряжения , которые считаются отрицательными.

Касательные напряжения имеют второстепенное значение при расчётах балок на прочность, так как сравнительно редко являются причиной разрушения. Эти напряжения зависят от поперечной силы и определяются по формуле Д.И. Журавского:

,

где – поперечная сила в рассматриваемом сечении; – статический момент площади сечения, расположенной по одну сторону от исследуемой точки; – осевой момент инерции; b (y) – ширина сечения на расстоянии y от центральной оси X.

С учётом вышесказанного расчёт балок выполняют, исходя из условия прочности по нормальным напряжениям

(3.6)

где – наибольший по модулю изгибающий момент, возникающий в балке; – осевой момент сопротивления поперечного сечения; – допускаемые напряжения при растяжении или сжатии.

При проектировочном расчёте балок на прочность, когда известны внешние нагрузки, типы опор, длина и материал балки, строят эпюру изгибающих моментов и задаются формой поперечного сечения . По эпюре находят , а по форме сечения выражают через характерный размер сечения а. Используя условие прочности, находят параметр а, решив соответствующее кубическое уравнение

 

3.1. Варианты и исходные данные домашнего задания № 3

 

На рис. 3.3, а изображена ось балки длиной , которая разделена на девять равных частей узловыми точками 0, 1, …, 9, а на 3.3, б показаны опоры, внешние нагрузки и номера точек их приложения. Вариант задания, т. е. схему опирания и нагружения балки, определяют по табл. 3.1 согласно шифру – двум последним цифрам зачётной книжки студента. Числовые данные нагрузок принимают по табл. 3.2 согласно второй цифре шифра.

а)
б)

Рис. 3.3. Геометрическая ось балки, опоры и нагрузки

 

Таблица 3.1

Точки опирания и приложения нагрузок

Цифры шифра	Опоры	Пары сил	Силы	Распределённые нагрузки
	а	б	а	б

а – первая цифра шифра; б – вторая цифра шифра.

 

 

Таблица 3.2

Числовые значения внешних нагрузок

Вторая цифра шифра	Моменты пар сил, кН·м	Сосредоточенные силы,кН	Распределённые нагрузки,
		–20		–40		–20
	–11		–19		–11
		–24		–36		–24
	–13		–17		–13
		–28		–32		–28
	–15		–15		–15
		–32		–28		–32
	–17		–13		–17
		–36		–24		–36
	–19		–11		–19

 

Примечание. Знак “–” при числовых значениях нагрузок означает, что их направления необходимо показывать на схеме балки противоположно тем, которые изображены на рис. 3.1, б. В дальнейших расчётах значения нагрузок следует принимать по модулю, т. е. положительными.

3.2. Условие задания

Для данной схемы балки необходимо:

1. Определить реакции для трёх случаев опирания:

а) в шарнирно опёртой балке согласно исходной предпосылке;

б) в консольной балке с жёстким защемлением (глухой заделкой) в т. А при отсутствии опоры в т. В;

в) в шарнирно сочленённой балке с глухой заделкой в т. А, подвижной опорой в т. В и внутренним шарниром в т. С Î(А, В).

2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для шарнирно опёртой балки.

3. Подобрать размеры поперечных сечений различной формы из условия прочности по нормальным напряжениям при .

4. Провести анализ экономичности принятых видов сечений.

Пример расчёта и методические указания

Подготовка исходных данных и расчётной схемы балки

Решение задачи начинаем с выбора исходных данных из табл. 3.1 и 3.2. В качестве примера рассмотрим следующие данные.

Длина балки .

Точки опирания и приложения нагрузок: N_A = 3; N_B = 10; = 3;

= 0; = 14; = 0; = 3; = 5; = 8; = 8; = 10.

Числовые значения внешних нагрузок: М = 40 ; = 20 кН;

= –10 кН; = –10 кН/м; = 40 кН/м; = –20 кН/м.

Используя исходные данные, изображаем расчётную схему. Длину балки чертим в масштабе М 1: 50 (в 2 см схемы ­– 1 мдлины балки). Так как табличные значения , и имеют знак “–”, то направляем эти нагрузки вниз (см. примечание к табл. 3.2). Длины участков (а, в, с,…) находим из геометрических соображений. Для рассматриваемого примера расчётная схема балки показана на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Расчетная схема шарнирно опёртой балки