Геометрические характеристики поперечных

А.Н. Дудченко

 

Практикум

по сопротивлению материалов

 

Новочеркасск 2005

УДК 539.3/4 (076.5)

ББК 30.121 я73

Д81

Рецензенты: д–р техн. наук, проф. П.Д. Кравченко,

канд. техн. наук, доц. А.И. Резниченко

 

Дудченко А.Н.

 

Д 81 Практикум по сопротивлению / Юж.-Рос. гос. тех. ун-т. – Новочеркасск:

ЮРГТУ, 2005. – 114 с.

Рассмотрены шесть тем сопротивления материалов, по которым разработаны варианты домашних заданий и приведены примеры расчётов с подробными методическими указаниями. Предложены тестовые экзаменационные вопросы по 10 главам теоретического курса.

Пособие предназначено для студентов 2 – 3-х курсов дневной и вечерней форм обучения специальностей “Технология машиностроения”, “Оборудование и технология сварочного производства”, “Котло- и реакторостроение”, “Промышленное и гражданское строительство” и др. Оно может быть также полезно студентам заочной формы обучения, испытывающим определённые трудности при освоении теоретического курса сопротивления материалов.

 

 

УДК 539.3/4 (076.5)

 

 

© Волгодонский институт ЮРГТУ, 2005

© Дудченко А.Н., 2005

ПРЕДИСЛОВИЕ

Я слышу – я забываю.

Я вижу – я запоминаю.

Я делаю – я понимаю!

Китайская пословица

Учебные планы технических специальностей претерпели в последние годы значительные изменения, при этом существенно сократилось число аудиторных часов, выделяемых на изучение курса “Сопротивление материалов” на лекциях, практических и лабораторных занятиях, и сделан акцент на самостоятельную работу студентов при освоении учебного материала. С другой стороны, важность качественной подготовки инженеров в области прочностных расчётов несомненна, на что указывают продолжающиеся в стране техногенные аварии и катастрофы, вызванные ошибками проектирования, строительства и эксплуатации машин, зданий и сооружений. В этой связи возникает настоятельная необходимость в разработке учебно-методических материалов, способствующих развитию навыков самостоятельной работы студентов с целью ознакомления с проблемами прочности и методами их решения, а также закреплению теоретических знаний путём выполнения домашних заданий.

Наряду с вышеизложенным наметилась тенденция к изменению методов проверки знаний студентов от традиционной формы контроля с выводами теоретических формул и углублённым пониманием всего комплекса осваиваемой дисциплины к принятой в большинстве стран рейтинговой, кредитно-модульной, тестовой форме контроля, облегчающей получение квалификационной оценки и формализующей ознакомительный подход студентов к прорабатываемому материалу.

В предлагаемом практикуме рассмотрены отдельные разделы сопротивления материалов, по которым согласно рабочим программам предусмотрены индивидуальные домашние задания на следующие темы: геометрические характеристики поперечных сечений стержней; статически неопределимые стержневые системы при растяжении-сжатии; плоский изгиб балок; расчёт балок методом начальных параметров; расчёт статически неопределимых рам методом сил; внецентренное сжатие неоднородных составных стержней. Все задания предваряются теоретическим материалом, необходимым и достаточным для осознанного решения предлагаемых задач. Рассмотренные примеры расчёта сопровождаются подробными методическими указаниями по их выполнению, при этом особое внимание уделено поэтапному контролю правильности решения и путям поиска возможных ошибок и их исправлению. Имея на руках практикум, каждый студент способен самостоятельно выполнить в домашних условиях индивидуальные задания и только в редких случаях ему потребуется дополнительная консультация и помощь преподавателя. Защита заданий также не вызовет больших затруднений, поскольку контрольные вопросы не выходят за рамки изложенного материала.

Для облегчения подготовки к экзамену в практикуме публикуются 355 контрольных вопросов, на которые необходимо обратить внимание при проработке конспекта лекций и на основе которых составлены проверочные тесты, включающие в себя 10 выборочно взятых вопросов с пятью ответами (из них только один правильный). В зависимости от числа правильных ответов (0 – 10) уровень теоретической подготовки оценивается по десятибалльной шкале от отсутствующих знаний (0 баллов) до исключительных знаний (10 баллов).

 

 

Геометрические характеристики поперечных

Сечений стержней

Прочность, жёсткость и устойчивость деталей машин и элементов инженерных сооружений зависит в основном от внешних нагрузок, вида материала и размеров деталей и элементов, называемых в сопротивлении материалов стержнями. Условие прочности стержня можно записать в следующем виде:

,

где – функция прочности; – обобщённый параметр внешних нагрузок; – обобщённый параметр формы и размеров стержня; – обобщённый параметр упругих и механических характеристик материала.

Параметр при расчётах распадается на два независимых подпараметра

,

где – параметр длины стержня; – параметр формы и размеров поперечного сечения стержня.

Влияние формы и размеров поперечного сечения на прочность, жёсткость и устойчивость обладает большой нелинейностью и выражается в виде особых геометрических характеристик. На рис. 1.1 показано поперечное сечение стержня, отнесенное первоначально к вспомогательной произвольно выбранной системе координат XOY.

Вводятся следующие понятия, связанные с геометрией сечения:

; – статические моменты площади;

; – осевые моменты инерции;

– центробежный момент инерции;

– полярный момент инерции,

где А и dA – площадь и дифференциал площади поперечного сечения;

x, y, ρ – координаты дифференциала площади.

В сопротивлении материалов все расчётные формулы получены с использованием главных центральных осей инерции U и V, положение которых определяется следующим образом. Вычисляются координаты центра тяжести сечения во вспомогательной системе координат XOY (рис. 1.1):

.

Рис. 1.1. Поперечное сечение стержня

Находятся моменты инерции относительно центральных осей X_C, Y_C, параллельных исходным осям X, Y (рис. 1.1):

; ; .

Определяется значение угла между центральной осью X_С и главной осью U (осью Y_С и осью V), (рис. 1.1),

.

(1.1)

Вычисляются значения главных осевых и центробежного моментов инерции сечения

;

; (1.2)

.

Для простых фигур (прямоугольника, треугольника, круга и т.д.) и широко используемых в практике составных фигур (двутавров, швеллеров, уголков и т.д.) все геометрические характеристики вычислены и представлены в справочниках в виде формул или таблиц сортамента (приложение). Проектируемые детали машин и элементы инженерных сооружений имеют разнообразные профили, которые можно разбить на составляющие с известными геометрическими характеристиками относительно их собственных центральных осей. В этом случае используются формулы для координат центра тяжести и моментов инерции составных фигур

(1.3)

; ; , (1.4)

где , – координаты центра тяжести i -й простой фигуры в любой вспомогательной системе координат; A_i – площадь i -й простой фигуры; J_XCi, J_YCi, J_XYCi – моменты инерции i -й простой фигуры относительно собственных центральных осей, параллельных осям вспомогательной системы; ; – координаты центра тяжести i -й простой фигуры относительно центральных осей X_C, Y_C всего поперечного сечения. Отметим, что в качестве “простой” фигуры может рассматриваться любая фигура, если у неё известно положение центра тяжести, площадь и значения моментов инерции.

Рассмотрим кратко основные свойства геометрических характеристик.

Единицы измерений: [ x, y, x_C, y_C, a, b ] = 1 м (1 см; 1 мм);

[ A ]=1 м² (1 см²; 1 мм²); [ S_X, S_Y ] = 1 м³ (1 см³; 1 мм³);

[ J_X, J_Y, J_XY, J_P ] = 1 м⁴ (1 см⁴; 1 мм⁴).

Знаки: площадь А, осевые J_X, J_Y и полярный J_P моменты инерции могут быть только положительными. Координаты х, у, х_C, у_C, а, b, статические моменты площади S_X, S_Y и центробежный момент инерции J_XY могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Статические моменты площади S_XC, S_YC относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, всегда равны нулю – основное свойство центральных осей.

Центробежный момент инерции J_UV относительно главных осей всегда равен нулю – основное свойства главных осей.

Относительно главных осей моменты инерции J_U, J_V экстремальны, т.е. один из них принимает максимальное значение, а другой минимальное – определение понятия “главные оси инерции”.

При повороте осей координат на любой угол сумма осевых моментов инерции не изменяется, т.е. J_X + J_Y = const – условие стационарности (инвариантности).

1.1. Варианты и исходные данные домашнего задания № 1

 

На рис. 1.2 приведены схемы компоновки поперечных сечений стержней из 4 прокатных элементов: листа, двутавра, швеллера, уголка. Зазоры между элементами показаны условно (при изготовлении стержней элементы прикладывают вплотную и соединяют путем сварки). Вариант задания (№ схемы) выбирают согласно списочному номеру студента в журнале преподавателя. Исходные данные, включающие в себя номера прокатных профилей и толщину листа, выбирают из табл. 1.1 согласно шифру – двум последним цифрам зачётной книжки студента.

 

Рис. 1.2. Компоновочные схемы поперечных сечений стержней

 

Таблица 1.1

Номенклатура прокатных профилей

Цифры шифра	№ двутавра	№ швеллера	№ уголка	Толщина листа, мм
			8/5
			9/5,6
			10/6,3
			11/7
			12,5/8
			14/9
			16/10
			18/11
			20/12,5
			25/16
	а	б	a	б

а – первая цифра шифра; б – вторая цифра шифра.

 

Все размеры и собственные геометрические характеристики двутавра, швеллера и уголка выписывают из таблиц сортамента, приведенных в приложении. Ширину листа (больший из 2 размеров прямоугольника) определяют согласно компоновочной схеме сечения. Геометрические характеристики сечения листа вычисляют по формулам для прямоугольника.

 

1.2. Условие задания

Для заданного составного сечения стержня вычислить главные центральные моменты инерции и моменты сопротивления. Сравнить прочность и жёсткость балки с заданным сечением при её плоском изгибе в 2 главных плоскостях инерции.

 

Пример расчёта и методические указания

Подготовка исходных данных и расчетной схемы

Решение задачи начинаем с выбора компоновочной схемы по номеру варианта и номенклатурных данных о фигурах прокатных профилей в соответствии с шифром (рис. 1.3).

Порядковые номера фигур на схеме сечения задаём в любой последовательности. Ширину листа определяем согласно рис. 1.3:

где – больший размер уголка №10/6,3; – высота швеллера № 10.

 

 

Рис. 1.3. Компоновочная схема сечения

Изображаем эскизы “простых” фигур и показываем их основные размеры и центральные оси (рис. 1.4). Эскизы двутавра, швеллера и уголка располагаем согласно сортаменту прокатной стали (табл. 1 – 3), эскиз листа показываем так, как он расположен в компоновочной схеме (рис. 1.3). Выписываем из таблиц сортамента те значения размеров и геометрических характеристик, которые потребуются в дальнейших расчётах (рис. 1.4). Необходимо обратить внимание на вычисление моментов инерции прямоугольника: формулы J_X = bh ³/12; J_Y = b ³ h/ 12 справедливы, если b ‖ х и h ‖ y. Центробежный момент инерции J_XY фигуры равен нулю, если хотя бы одна из осей инерции (X или Y) является осью симметрии фигуры.

Чертим сечение стержня в масштабе, используя компоновочную схему (рис. 1.3) и размеры “простых” фигур (рис. 1.4). Разрешённый масштаб (1:1; 1:2; 1:2,5; 1:4) выбираем с таким расчётом, чтобы поперечное сечение и вспомогательные построения разместились на листе формата А4 (рис. 1.5).

И всего поперечного сечения

Выбираем произвольную правовинтовую систему координат XOY и из центра тяжести каждой “простой” фигуры С_i проводим собственные центральные оси X_Ci, Y_Ci, параллельные осям Х, Y. Показываем координаты центров тяжестей каждой фигуры х_Ci, y_Ci относительно вспомогательной системы XOY и вычисляем их значения, используя характерные размеры элементов с учётом их расположения в сечении (рис. 1.5):

;

;

мм = 3,23 см;

мм = 17,42 см;

;

;

_þ ;

_þ – z _0,þ

 

1.Стальной прокатный двутавр №16 ГОСТ 8239-72   h =160 мм; b =81 мм; d =5 мм; t =7,8 мм A =20,2 см^2; JX =873 см^4; JY =58,6 см^4; JXY =0.	2.Стальной прокатный уголок №10/6,3/ ГОСТ 8510-72
3.Стальной прокатный лист 200×20 мм b = 200 мм; h = 20 мм; А = bh = 20 ∙ 2 = 40 см^2; JX = bh ^3/12 = 20 ∙ 2^3/12 = 13,3 см^4; JY = b ^3 h /12 = 20^3∙ 2/12 = 1333см^4; JXY = 0.	h =100 мм; b = 46 мм; d = 4,5 мм; t = 7,6 мм; z 0= 14,4 мм; A = 10,9 см^2; JX = 174 см^4; JY = 20,1 см^4; JXY = 0. 4.Стальной прокатный швеллер № 10 ГОСТ 8240-72

 

Рис. 1.4. Эскизы фигур и их характеристики

Определяем координаты центра тяжести поперечного сечения в системе осей XOY по формулам (1.3):

Рис. 1.5. Поперечное сечение стержня (М 1:2)

Откладываем в масштабе отрезки х_C, у_C и проводим центральные

оси Х_С, Y_С, на пересечении которых получаем центр тяжести сечения С

(рис. 1.5).

Вычисляем координаты центров тяжестей “простых” фигур относительно центральных осей всего сечения X_C, Y_C, используя формулы ; (i = 1 – 4):

; ;

; ;

; ;

; .

Проверяем выполнение основного свойства центральных осей, для которых статические моменты площади должны равняться нулю:

; относительная погрешность вычислений ⋍ 0,1 %.

; относительная погрешность вычислений ⋍ 0,2 %.

Учитывая малую погрешность вычислений, заключаем, что координаты центра тяжести поперечного сечения найдены верно (при условии, что правильно определены координаты x_Ci, y_Ci).

 

Инерции сечения

Используем формулу (1.1):

.

Так как угол получился отрицательным, откладываем его по ходу часовой стрелки и проводим главные оси U и V (рис. 1.5).

Вычисляем значения тригонометрических функций

; ; ;

; ; .

Проверяем основное тригонометрическое тождество

; – верно.

 

Инерции сечения

Используем формулы (1.2):

;

;

.

Проверяем правильность вычислений.

А. Условие стационарности суммы осевых моментов инерции при повороте осей:

J_XC + J_YC = 4916+2602 = 7518 ; J_U + J_V = 5624+1894 = 7518 – выполняется.

Б. Условие экстремальности главных осевых моментов инерции:

J_U = 5624 > { J_XC = 4916 ∩ J_YC = 2602} – максимум;

J_V = 1894 < { J_XC = 4916 ∩ J_YC = 2602} – минимум.

В. Основное свойство главных осей: .

Выше мы вычислили . Относительная погрешность

⋍

0,03 %,

следовательно, условие выполняется.

Относительно главных осей

Осевые моменты сопротивления характеризуют изгибную прочность стержней (балок) с заданными геометрическими параметрами сечения. Вычисляются они как отношения моментов инерции к расстояниям от главных осей до наиболее удаленных от них точек сечения. Чтобы найти опасные точки, проведём по две пары касательных, параллельных главным осям U, V (по разные стороны от осей), и выберем те точки касания, которые наиболее удалены от главных осей (устанавливаем визуально или с помощью линейки). В рассматриваемом примере от оси V наиболее удалена т. А, а от оси U – т. В (рис. 1.5).

Вычисляем главные координаты опасных точек, используя формулы аналитической геометрии:

;

,

где x_A, y_A, x_B, y_B, x_C, y_C – координаты точек А, В и центра тяжести C во вспомогательной системе координат XOY.

Из рис. 1.5 находим

; ;

; .

В п. 1.3.2 мы вычислили х_C = 8,86 см; у_C = 19,33 см.

Подставляя в формулы эти значения, получаем

см;

см.

Знаки “минус” показывают, что точки удалены от главных осей в сторону отрицательного направления осей U и V.

Определяем осевые моменты сопротивления

; .

Пример расчёта и методические указания

Подготовка исходных данных и расчётной схемы

Решение задачи начинаем с выбора исходных данных из табл. 2.1 и 2.2 согласно шифру. Рассмотрим следующие параметры:

Координаты узлов, мм: x_А = 1568; y_А = 15806; x_В = 4989; y_В = 17050;

x_С = 18409; y_С = 21935; x_D = 8409; y_D = 7654.

Коэффициенты: v ₁ = 2; v ₂ = 3; v ₃ = 1.

Силовое воздействие: F = 400 кН; β_F =20^о.

Монтажное воздействие: δ ₁ = –2 мм.

Температурное воздействие: ∆t ₃ = –20^оС.

Откладываем в масштабе М 1:100 координаты x, y узлов А, В, С, D в произвольно выбранной системе координат ХОУ и соединяем узел D с узлами А, В и С, в результате чего получаем трёхстержневую четырёхшарнирную конструкцию (рис. 2.2). К общему узлу D прикладываем внешнюю силу F под углом β_F к горизонтальной оси Х. Показываем в масштабе М 10:1 неточность изготовления одного из стержней с учётом знака δ. При положительном δ стержень изображаем длиннее проектного, а при отрицательном δ – короче. Для рассматриваемого примера расчётная схема показана на рис. 2.3.

Прочностная сторона задачи

Здесь используем условия прочности стержней в виде двойных неравенств (2.6) и их решение по формулам (2.7):

i = 1: N ₁ = R ₂ = 446333 + 46,0431 A; с ₁ = + 446333 H; d_i = 46,0431 МПа; v ₁ = 2; МПа.

Находим требуемый параметр площади

i = 2: N ₂ = R ₂= – 54650 – 54,2939 A; c ₂ = – 54650 H; d ₂ = –54,2939 МПа; v ₂ =3; МПа.

Находим требуемый параметр площади

i = 3: N ₃ = – R ₃ = –187680 + 19,2267 A; c ₃ = – 187680 H; d ₃ = 19,2267 МПа; v ₃ = 1; МПа.

Находим требуемый параметр площади

Из трёх значений параметра площади в качестве окончательного принимаем наибольшее как удовлетворяющее всем условиям прочности:

Вычисляем требуемые площади всех стержней А_i:

А ₁ = v ₁ A = 2∙1629 = 3258 мм²; А ₂ = v ₂ А = 3 А = 3∙1629 = 4887 мм²;

А ₃ = v ₃ А = А = 1629 мм².

ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК

Плоский изгиб балок является одним из наиболее опасных случаев нагружения деталей машин и элементов сооружений, когда силовая плоскость проходит через одну из главных центральных осей инерции сечения (см. гл. 1). При плоском поперечном изгибе (в дальнейшем просто “изгибе”) в сечении балки возникают два внутренних усилия: поперечная сила и изгибающий момент , расположенные в силовой плоскости YOZ.

Поперечная сила в произвольном сечении балки равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось Y всех внешних нагрузок, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т. е. . Поскольку все нагрузки параллельны оси Y и пары сил не дают проекций на оси, определение поперечной силы можно упростить, полагая, что она равна алгебраической сумме нагрузок (кроме пар сил), расположенных по одну сторону от сечения, т. е.

. (3.1)

При вычислениях используют следующее правило знаков (рис. 3.1):

Рис. 3.1. Правило знаков для поперечной силы

внешняя нагрузка, вращающая отсечённый элемент балки (шарнирно закреплённый в центре тяжести сечения ) по ходу часовой стрелки, создаёт положительную поперечную силу, а против часовой стрелки –отрицательную.

Изгибающий момент в произвольном сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно горизонтальной оси X всех внешних нагрузок, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т. е. . Учитывая расположение нагрузок, определение изгибающего момента можно упростить, полагая, что он равен алгебраической сумме моментов отсечённых нагрузок относительно центра тяжести сечения, т. е.

. (3.2)

При вычислениях используют следующее правило знаков (рис. 3.2):

Рис. 3.2. Правило знаков для изгибающего момента

внешняя нагрузка, искривляющая отсечённый элемент балки (жёстко защемленный в рассматриваемом сечении i–i) выпуклостью вниз, создаёт положительный изгибающий момент, а выпуклостью вверх –отрицательный.

С целью определения наиболее опасных сечений строят эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки. Для проверки правильности построения эпюр используют третий закон Ньютона (действие равно противодействию) и дифференциальные зависимости между внутренними усилиями Q, M и интенсивностью распределённой нагрузки q.

Ньютоновские проверки выполняют для каждой границы между грузовыми участками, где наблюдается изменение характера нагружения, например приложены сила или момент, начинается или заканчивается распределённая нагрузка и др. Эти проверки заключаются в выполнении условий

; , (3.3)

где – разрыв функции I рода (скачок); и – поперечная сила справа и слева от границы k; и – изгибающий момент справа и слева от границы k; – внешняя сосредоточенная сила на k -й границе; – внешний сосредоточенный момент на k -й границе.

Дифференциальные проверки должны выполняться для всех сечений балки. Обычно они записываются в виде

(3.4)

где d – дифференциал; z – абсцисса сечения (аргумент); , , – функции, характеризующие изменение по длине балки распределённой нагрузки, поперечной силы и изгибающего момента.

Полезно помнить, что геометрический смысл первой производной – это тангенс угла наклона касательной к графику функции, а второй производной – кривизна функции в рассматриваемой точке. Угол наклона положителен, если он образован поворотом оси Z против часовой стрелки; кривизна положительна, если имеет выпуклость внизу; распределённая нагрузка положительна, если направлена вверх.

Третий вид проверок – это интегральные зависимости между функциями , и приращениями функций и , которые они получают в пределах каждого грузового участка

(3.5)

Здесь – приращение функции; а, b – абсциссы начала и конца грузового участка.

Полезно помнить, что приращение функции – это число, а интегралы в правой части – это площади, ограниченные графиком функции и осью Z в пределах грузового участка.

При изгибе балки в точках её поперечных сечений появляются два вида напряжений: нормальные и касательные . Нормальные напряжения, играющие решающую роль при разрушении балок, создаются изгибающим моментом и определяются по формуле

где – изгибающий момент в рассматриваемом сечении; – осевой момент инерции относительно главной центральной оси X; y –расстояние от оси X до точки, в которой определяется напряжение; знак

“–” в правой части объясняется тем, что при положительных значениях М и y появляются сжимающие напряжения , которые считаются отрицательными.

Касательные напряжения имеют второстепенное значение при расчётах балок на прочность, так как сравнительно редко являются причиной разрушения. Эти напряжения зависят от поперечной силы и определяются по формуле Д.И. Журавского:

,

где – поперечная сила в рассматриваемом сечении; – статический момент площади сечения, расположенной по одну сторону от исследуемой точки; – осевой момент инерции; b (y) – ширина сечения на расстоянии y от центральной оси X.

С учётом вышесказанного расчёт балок выполняют, исходя из условия прочности по нормальным напряжениям

(3.6)

где – наибольший по модулю изгибающий момент, возникающий в балке; – осевой момент сопротивления поперечного сечения; – допускаемые напряжения при растяжении или сжатии.

При проектировочном расчёте балок на прочность, когда известны внешние нагрузки, типы опор, длина и материал балки, строят эпюру изгибающих моментов