Проверка правильности построения эпюры М

А. Статическая проверка. Она заключается в проверке равновесия узлов рамы, аналогично рассмотренному выше (пп. 5.3.5, 5.3.6).

; ; .	; ; .	; ; .

Рис. 5.9. Статическая проверка эпюры М

Б. Кинематическая или деформационная проверка. Она заключается в проверке отсутствия перемещений в эквивалентной системе по направлению отброшенных связей. Перемножаем суммарную “единичную” эпюру на окончательную эпюру М, в результате чего получаем сумму перемещений (с точностью до постоянного множителя )

; относительная погрешность составляет %, что указывает на высокую точность вычислений.

На основе выполненных проверок убеждаемся в том, что эпюра изгибающих моментов М построена верно.

 

Подбор номера стального прокатного двутавра

Используем условие прочности при изгибе (5.9), которое в случае одинаковых сечений всех элементов рамы можно записать в виде

.

По условию задания . Наибольший изгибающий момент находим на окончательной эпюре М (рис. 5.5, л): . Вычисляем требуемый момент сопротивления

≃161,2 .

По сортаменту прокатной стали “Балки двутавровые. ГОСТ 8239-72” (табл. 1 приложения) принимаем I № 18 а, у которого , что меньше требуемого на %. Возникающее при этом перенапряжение % нормами расчёта разрешено.

 

ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ НЕОДНОРОДНЫХ

СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Внецентренное сжатие стержней относится к наиболее часто встречающимся в инженерной практике частным случаям сложного сопротивления. При этом виде нагружения внешние силы параллельны геометрической оси стержня и приложены с некоторыми эксцентриситетами относительно главных центральных осей инерции, а точки стержня находятся в линейном (одноосном) напряжённом состоянии, вызванном действием трёх внутренних силовых факторов: продольной силы и изгибающих моментов в перпендикулярных плоскостях. Наряду с однородными стержнями, выполненными из одного материала, иногда встречаются составные стержни, отдельные части которых изготовлены из различных материалов, в силу этого имеющие несхожие упруго-механические характеристики.

Особенность расчёта таких стержней состоит в необходимости учёта упругих и прочностных свойств всего множества точек поперечного сечения. Общая формула для нормального напряжения в произвольной точке K сечения имеет вид

, (6.1)

где – модуль упругости в т. K с координатами , ; – модуль упругости в точке с координатами , ; , , – продольная сила и изгибающие моменты относительно главных осей U и V.

Если модуль упругости остаётся постоянным в пределах конечных областей сечения, то формула (6.1) упрощается к виду

, (6.2)

где – редукционный коэффициент в т. K, имеющий смысл относительного модуля упругости ; – редуцированная площадь всего сечения; , – редуцированные главные моменты инерции сечения; – редукционный коэффициент для i -й области сечения; , – осевые моменты инерции i -й области относительно приведенных главных центральных осей всего сечения; i и n – номер и число конечных областей сечения.

Если стержень изготовлен полностью из однородного материала, то формула (6.2) приводится к общепринятому в инженерных расчётах выражению

.

При расчётах на прочность внецентренно сжатых составных стержней возникает, как правило, два типа задач: проверочный и эксплуатационный расчёты, для решения которых используются условия прочности, составленные для наиболее напряжённых точек в растянутой и сжатой областях сечения. С учётом знаков напряжений эти условия прочности можно представить в виде

(6.3)

где , – экстремальные напряжения в сечении; , – редукционные коэффициенты для сжатой и растянутой областей; , – главные эксцентриситеты точки приложения силы ; , – главные координаты наиболее опасной точки в сжатой области; , – то же в растянутой области; , – квадраты радиусов инерции (, ); , – допускаемые напряжения (с учётом знака) для сжатой и растянутой областей сечения.

Для определения положения наиболее опасных точек необходимо построить нейтральную линию (геометрическое место точек сечения, в которых напряжение равно нулю) и провести две касательные к контуру сечения, параллельные этой линии. Нейтральная линия строится по отрезкам и , отсекаемым ею соответственно на главных центральных осях U и V:

; . (6.4)

Координаты приведенного центра тяжести сечения определяются согласно п. 1.1, а положение главных осей инерции – в соответствии с формулой (1.1) после замены обычных геометрических характеристик их редуцированными значениями:

; (6.5)

. (6.6)

Здесь и ; – соответственно редуцированные статические и центробежный моменты.

После определения всех переменных и их подстановки в неравенства (6.3) вычисляются два значения силы F, из которых наименьшее принимается в качестве допускаемой нагрузки

.

 

6.1. Варианты и исходные данные домашнего задания № 6

Опора станка состоит из чугунного полуцилиндра (рис. 6.1, а), подкреплённого стальным прокатным уголком (рис. 6.1, б). Компоновка сечения стержня осуществляется путём сопряжения характерных точек фигур (0, 1,…, 9 для полукруга и 1, 2, 3 для уголка) после их поворота на углы и , как показано на рис. 6.1. Полученный составной неоднородный стержень сжимается силой F, приложенной в точке, наиболее удалённой от центра тяжести сечения.

 

а)	б)

Рис.6.1. Составные части профиля и их ориентация: а – полукруг диаметром d;

б – неравнобокий прокатный уголок

 

Вариант задания определяется шифром, т. е. двумя последними цифрами зачётной книжки студента. Исходные числовые данные принимаются из табл. 6.1. Модули упругости конструкционных материалов считать независимыми от марок чугуна и стали и принимать для всех вариантов: ­– для чугуна; ­– для стали.

6.2. Условие задания

Для заданного варианта внецентренно сжатого стержня, составленного из элементов с различными упругими и прочностными характеристиками, определить допускаемое значение силы F, приложенной в точке, наиболее удаленной от центра тяжести сечения.

 

 

Таблица 6.1

Геометрические и прочностные параметры стержня

Цифры шифра	Диаметр d, мм	Угол α, гр.	№ уголка	Угол β, гр.	Точки сопряжения	Допускаемые напряжения, МПа
полукруга	уголка
			8/6					–100		–100
			9/5,6					–105		–110
			10/6,3					–110		–120
			10/6,5					–115		–130
			11/7					–120		–140
			12,5/8					–125		–150
			14/9					–130		–160
			16/10					–135		–170
			18/11					–140		–180
			20/12,5					–145		–190
	а	б		б

а – первая цифра шифра; б – вторая цифра шифра.

Пример расчёта и методические указания

Подготовка исходных данных и расчётной схемы

Выписываем из табл. 6.1 исходные числовые данные согласно шифру. В качестве примера рассмотрим следующие данные: ; ; L № 8/5; °; точки сопряжения: 7 – для полукруга; 1 – для уголка; ; ; ; .

Согласно исходным данным поворачиваем полукруг, опирающийся на диаметр (рис. 6.1, а), на угол ° против часовой стрелки (рис. 6.2, а) и неравнобокий уголок, опирающийся на меньшую сторону (рис. 6.1, б), на угол (рис. 6.2. б). Сопряжение повёрнутых элементов сечения в точках 7 и 1_L без наложения фигур невозможно, поэтому осуществляем симметричное преобразование уголка по схеме рис. 6.2, в, где цифрой 1 показано исходное положение (рис. 6.2, б), а цифрами 2 и 3 – положение после симметричного (зеркального) преобразования. Условию рассматриваемого примера удовлетворяет положение 2. Соединив указанные точки элементов, получаем компоновочную схему сечения стержня (рис. 6.2. г).

а)	б)	в)	г)

 

Рис. 6.2. Компоновка расчётной схемы: а – поворот полукруга на 270°;

б – поворот уголка на 180°; в – симметричное преобразование уголка;

г – сопряжение элементов в характерных точках

 

Вычисляем и выписываем из таблицы сортамента (табл. 3 приложения) необходимые для дальнейших расчётов геометрические характеристики “простых” фигур. С целью уменьшения числа ошибок рекомендуется располагать полукруг согласно компоновочной схеме, а уголок – в соответствии с таблицей сортамента (рис. 6.3). Необходимо также обратить внимание на взаимную ориентацию полукруга и его центральных осей. Например, формула справедлива для оси, перпендикулярной диаметру, независимо от того, как она обозначена (в рассматриваемом примере это ось X).

мм см; см; ; ; ; .	L № 8/5 мм см; мм см; мм; мм; мм; см; см; ; ; ; .
а)	б)

Рис. 6.3. Геометрические характеристики фигур: а – полукруга;

б –неравнобокого уголка

Вычерчиваем в разрешённом масштабе поперечное сечение стержня на листе формата А4. Чтобы установить масштаб чертежа находим габариты сечения, используя компоновочную схему (рис. 6.2, г) и геометрические параметры фигур (рис. 6.3).

Габарит сечения по ширине: .

Габарит сечения по высоте: .

Габарит формата А4 (с учётом рамки): , .

Вычисляем масштабные коэффициенты:

; .

Выбираем из двух значений наибольшее и округляем его до ближайшего разрешённого. В результате получаем и, следовательно, масштаб чертежа М 1:1. На рис. 6.4 показана окончательная расчётная схема поперечного сечения стержня.

Рис. 6.4. Расчётная схема поперечного сечения стержня М 1:1