Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Названные эпюры строим для балки с двумя шарнирными опорами, т. е. для случая, рассмотренного в п. 3.3.2. Расчётная схема для построения эпюр внутренних усилий показана на рис. 3.7, а. Прежде всего, разбиваем длину балки на грузовые участки, т. е. такие отрезки, в пределах которых остаётся постоянным характер нагружения. В рассматриваемом примере получаем пять участков: CA, AD, DF, FB, BG.

В пределах каждого участка проводим текущее сечение i – i (i = 1, 2, 3, …) и привязываем его абсциссой z_i к началу или концу балки в зависимости от сложности учёта нагрузок, расположенных на отсечённой части балки длиной z_i. Трудоёмкость вычислений можно оценить по следующей формуле:

,

где – коэффициент сложности i -го вида нагрузки; – число нагрузок i -го вида.

Вид нагрузки
Коэффициент сложности

 

Например, если для сечения 3–3 (рис. 3.7, а) рассматривать левую отсечённую часть , то сложность расчёта составит . Если рассматривать правую отсечённую часть , то сложность . Так как , то сечение 3–3 легче рассчитать слева, чем справа. Исходя из высказанных соображений, в данном примере будем рассматривать сечения 1–1, 2–2,

3–3 слева, а сечения 4–4, 5–5 справа (рис. 3.7, а).

Используя определения поперечной силы (3.1) и изгибающего момента (3.2), а также их правила знаков, записываем выражения внутренних усилий для каждого грузового участка, анализируем характер их изменения по длине и вычисляем те значения, по которым можно построить графики функций (эпюры Q и М):

I грузовой участок СА

; графиком этой функции является наклонная прямая, которую можно построить по двум точкам – в начале (т. С) и в конце (т. А) грузового участка: кН; кН. Так как функция меняет знак, то она принимает в некоторой точке участка нулевое значение. Вычисляем абсциссу этой точки ;

; (0; 3); ;

графиком этой функции является квадратная парабола, которую можно построить по трём точкам – в начале (т. С), в нулевой точке эпюры и в конце (т. А) грузового участка: ; ; . Замечаем, что при изгибающий момент принимает экстремальное значение на участке СА, так как 20 > (0; 15), что согласуется с дифференциальными проверками (3.4).

 

а)
б)
в)

Рис. 3.7. Расчётная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

II грузовой участок АD

– прямая, параллельная базисной линии, от которой откладываются ординаты; – наклонная прямая:

; .

Замечаем, что на границе участков (т. А) выполняются ньютоновские проверки (3.3):

; ;

; .

III грузовой участок DF

Вычисляем предварительно интенсивность распределённой нагрузки , приложенной к балке в т. О ₃ (рис. 3.7, а). Из подобия треугольников DO ₃ n и DFm находим ; – наклонная прямая, соответствующая схеме нагружения: ; .

Далее составляем выражения поперечной силы и изгибающего момента:

– квадратная парабола: кН; кН; кН. Функция меняет знак, поэтому вычисляем абсциссу нуль-точки эпюры Q:

; , отсюда находим

(5; 8);

– кубическая парабола:

; ; .

Замечаем, что на границе участков (т. D) выполняются ньютоновские проверки (3.3):

; ; ;

; ; .

IV грузовой участок GB

– прямая, параллельная базисной линии; – наклонная прямая; ; .

V грузовой участок BF

– наклонная прямая; кН; кН. Функция меняет знак, поэтому вычисляем абсциссу нуль-точки ;

, отсюда находим (4; 6);

– квадратная парабола; ; ; .

Замечаем, что на границе III и V участков (т. F) выполняются ньютоновские проверки (3.3):

; ; ;

; ; .

Относительная погрешность вычислений

≃0,02 % < 0,2 %.

При изгибающий момент принимает экстремальное значение на участке BF, так как , что согласуется с дифференциальными проверками (3.4).

Необходимо отметить, что рассмотренные проверки особенно наглядно и просто прослеживаются на эпюрах Q и M (рис. 3.7, б, в), которые строим по полученным данным следующим образом. Проводим две базисные линии, параллельные оси балки и от них по перпендикулярам откладываем отрезки, пропорциональные значениям внутренних усилий Q и M. Для каждой эпюры выбираем масштабные коэффициенты, исходя из соображений, чтобы максимальные ординаты не превышали по своей длине четвёртую (третью) часть длины базисных линий. Для рассматриваемого примера принимаем с учётом того, что мм– длина базисной линии, кН – наибольшее значение поперечной силы; – наибольшее по модулю значение изгибающего момента:

масштабный коэффициент для эпюры Q ;

масштабный коэффициент для эпюры М .

На построенных эпюрах подписываем характерные значения, ставим знаки “+” или “–” и показываем абсциссы нуль-точек эпюры Q (рис. 3.7, б, в).