Полярная система координат в плоскости

Луч, выходящий из заданной точки , называется полярной осью, а. точку полюсом полярной системы координат (рис. 45). Произвольная точка плоскости имеет полярные координаты , где - расстояние от до , а - угол между векторами (направленным отрезком) и полярной осью, отсчитываемый от последней против часовой стрелки.

Введем прямоугольную систему координат , у которой положительная ось совпадает с полярной осью (рис. 46).

Рис. 45 Рис.46

Система уравнений

(1)

осуществляет преобразование полярных координат в декартовые (прямоугольные). Правые части в равенствах (1) - непрерывно дифференцируемые функции с якобианом

. (2)

Уравнение

,

где - непрерывная на отрезке функция, определяет в полярных координатах кривую - геометрическое место точек, полярные координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Будем считать, что . Тогда кривая такова, что любой луч, выходящий из полюса под углом к оси , где пересекает в одной точке (рис.47).

Рис.47

Зададим в плоскости область , ограниченную лучами и кривой . При высказанных условиях любая точка соответствует при помощи уравнений (1) только одной паре , где . Пусть теперь на замыкании нашей области задана непрерывная функция от или она может быть ограниченной на и непрерывной всюду, исключая отдельные точки и гладкие линии. Тогда имеет место равенство

. (3)

Согласно формуле (2) § 2.7 мы заменили через посредством равенства (1) и ввели в качестве множителя абсолютную величину якобиана . Для области пар , соответствующей исходной области , сразу же расставлены пределы - сначала интегрируем по от 0 до , а затем по от до .

Пример 1.

Мы следовали формуле (3). Надо учесть, что область, определяемая в декартовых координатах неравенством , в полярных координатах определяется неравенством .

Формулу (3) можно получить из естественных соображений, не прибегая к общей формуле (2) § 2.7.

Плоскость разбиваем на элементарные фигуры близкими концентрическими окружностями и выходящими из полюса полярной системы лучами (рис. 48). Площадь произвольной элементарной фигуры (возле точки ) или, как говорят, элемент площади в полярных координатах, равна с точностью до бесконечно малых высшего порядка (заштрихованная фигура на рис. 48 может быть приближенно принята за прямоугольник со сторонами и ). Поэтому, если просуммировать по этим элементам, то получим

,

где

.

Пример 2. Вычислить интеграл

.

Переходя к полярным координатам (рис. 49), получаем

1. Рис. 48 Рис.49

21. Поверхности 2-ого порядка (уравнение и рисунки, самостоятельно конспект).

К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии. Здесь же мы ограничимся определениями и иллюстрациями.

Определение 5.12.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.

Рисунок 5.7.1

Свойства эллипсоида.

1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
2. Эллипсоид обладает
• центральной симметрией относительно начала координат,
• осевой симметрией относительно координатных осей,
• плоскостной симметрией относительно начала координат.
3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

Рисунок 5.7.2

Определение 5.13.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом.

Свойства эллиптического параболоида.

1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.
2. Эллиптический параболоид обладает
• осевой симметрией относительно оси Oz,
• плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.
3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Определение 5.14.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом.

Рисунок 5.7.3

Свойства гиперболического параболоида.

1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
2. Гиперболический параболоид обладает
• осевой симметрией относительно оси Oz,
• плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.
3. В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy, – парабола.
4. Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.

Определение 5.15.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом.

Рисунок 5.7.4

Свойства однополостного гиперболоида.

1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
2. Однополостной гиперболоид обладает
• центральной симметрией относительно начала координат,
• осевой симметрией относительно всех координатных осей,
• плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

Определение 5.16.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

Рисунок 5.7.5

Свойства двуполостного гиперболоида.

1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что и неограничен сверху.
2. Двуполостный гиперболоид обладает
• центральной симметрией относительно начала координат,
• осевой симметрией относительно всех координатных осей,
• плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.

 

По аналогии с коническими сечениями существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x ² = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x ² = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x ² – y ² = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнение x ² + y ² + z ² = 0 описывает точку с координатами (0; 0; 0), уравнение x ² + y ² = 1 – круговой цилиндр, уравнение x ² + y ² = z ² – круговой конус. Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии.

- эллипсоид,

-мнимый эллипсоид,

- однополостный гиперболоид,

-двуполостный гиперболоид,

- эллиптический параболоид,

- гиперболический параболоид;

вырождающиеся нераспадающиеся поверхности:

цилиндрические поверхности, -

- эллиптический цилиндр,

-мнимый эллиптический цилиндр,

- гиперболический цилиндр, у ² = 2рх -параболический цилиндр';

конические поверхности -

- коническая поверхность,

-мнимая коническая поверхность;

вырождающиеся распадающиеся поверхности:

- пара пересекающихся плоскостей,

- пара мнимых пересекающихся плоскостей,

- пара параллельных плоскостей,

21. (К.ч.) Комплексные числа и действия над ними в алгебраической форме (в том числе деление), сопряженное , модуль z, argz, Argz, свойства аргумента. Тригонометрическая форма К.ч., умножение и деление в тригонометрической форме. . Показательная формула К.ч.

Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики

и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

 

Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i ² = –1.Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a – 0 i. Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5.

 

2. Комплексное число 0 + bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0 + bi.

 

3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a= c и b= d. В противном случае комплексные числа не равны.

 

Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число (a+ c) + (b+ d) i. Таким образом, при сложениикомплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

 

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число (a – c) + (b – d) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

 

Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:

(ac – bd) + (ad + bc) i. Это определение вытекает из двух требований:

 

1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i ² = – 1.

 

П р и м е р. (a+ bi)(a – bi) = a ² + b ². Следовательно, произведение

двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному

положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р. Найти (8 + i): (2 – 3 i).

Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3 i

и выполнив все преобразования, получим:

 

 

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:

 

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль. __

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan = b / a.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент :