Переход к полярным координатам в двойном интеграле.

Важнейшимчастным случаем криволинейных координат являются полярные координаты (r, φ). Они связаны с прямоугольными координатами формулами: , . Якобиан преобразования в этом случае , а формула перехода к полярным координатам в двойном интеграле имеет вид:

(4)

Переходить к полярным координатам удобно в тех случаях, когда область интегрирования есть круг, кольцо или их часть, а так же в случае, когда подынтегральная функция имеет вид . В полярных координатах выражение . Границей круга является окружность и ее уравнение в полярных координатах принимает вид: r = R. Тогда область D - круг в полярной системе координат на плоскости Оrφ переходит в прямоугольную область Ω, которая задается неравенствами: (рис.17а,б).

Интегрирование в полярных координатах проводится по координатным линиям r =const и φ =const. Линии r =const представляют из себя окружности с центром в начале координат. По окружностям происходит изменение координаты φ. Линии φ =const – это семейства лучей, выходящих из начала координат, по которым происходит изменение координаты r. Координатная сетка в полярных координатах изображена на рис.18.

 

 

 

Рис.17а Рис.17б Рис.18

 

Пусть область D расположена между лучами φ = α и φ = β, где α< β, и ограничена линиями и , где и любой луч, выходящий из полюса φ =const () пересекает ее границу не более чем в

двух точках (простая область относительно r) (рис.19).Тогда двойной интеграл сводится к повторному по формуле:

 

 

 

 

 

Рис.19 Рис.20

(5)

Пусть область D расположена между окружностями r = а и r = b, где а< b и ограничена линиями и , где и любая окружность радиуса r =const () пересекает границу области не более чем в двух точках (правильная относительно φ) (рис.20). В этом случае двойной интеграл сводится к повторному по формуле:

6)

 

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена окружностью .

Решение: Как уже говорилось выше, если интегрирование ведется по кругу, то уравнение его границы в полярных координатах имеет вид r =1, а на плоскости Оrφ область Ω является прямоугольником . Осталось записать в полярных координатах подынтегральную функцию: . Вычисляем интеграл

Пример 2. Вычислить , если область D ограничена окружностью , лежащей в первой четверти, и прямыми y = x и .

Решение: Область D изображена на рис.21. Переведем ее границы в полярные координаты: уравнение окружности имеет вид r = a, а отрезки прямых y = x являются лучами и . Проводя лучи φ =const , определяем, что координата r изменяется от 0 до а. Тогда по формуле (5) получаем:

Рис.21

Пример 3. В двойном интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена кривой .

Решение: Чтобы построить область D, приведем уравнение кривой к каноническому виду, для чего выделяем полный квадрат по переменной х: , . Получаем уравнение окружности с центром на оси Ох в точке х = а, у =0, радиуса а, при этом окружность касается оси Оу (рис.22а,б).

 

Рис.22а Рис.22б

 

Переведем границу области D в полярные координаты, для этого удобнее воспользоваться уравнением окружности в виде : или . Область D находится между лучами и и проводя

лучи при , определяем, что координата r изменяется от 0 в начале координат до значения радиуса на окружности, т.е. до значения (рис.22а). Тогда по формуле (5) расставляем пределы интегрирования:

Чтобы расставить пределы интегрирования в другом порядке, определим границы изменения координаты r. Для этого проведем координатные линии r =const, пересекающие область D, и определим окружности, которые касаются нашей области. Очевидно, что это будут линии r =0 и r =2 а, так что r изменяется в пределах от 0 до а (рис.22б).

Для нахождения границ изменения переменной φ уравнение окружности разрешим относительно φ: или . Для нижней ветви окружности берется знак «-», а для верхней ветви – знак «+». Теперь по координатным линиям r =const, которые пересекают область D, определяем границы изменения φ: от значения на нижней ветви окружности до значения на верхней ветви окружности. В результате по формуле (6) получаем:

 

Пример 4. В двойном интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена линиями

Решение: Кривая является уравнением окружности с центром в точке (0,1): . При выбирается верхняя половина круга – это и будет область D. Переведем границы области в полярные координаты, при этом уравнение окружности имеет вид . Если из него выразить φ, получаем для правой ветки окружности и - для левой. Прямая y=1 в полярных координатах имеет уравнение или и для отрезков прямых, лежащих в первой и во второй четверти соответственно. Нанесем координатные линии φ =const, откуда определяем, что область D расположена между лучами и , а радиус изменяется от значения на отрезке прямой y=1 до значения на дуге окружности (рис.23а). Тогда получаем:

.

 

 

Рис.23а Рис.23б

 

Проведем линии r =const и определяем, что область заключена между координатными линиями r =1 и r =2, а координатная линия проходит через точки (±1,1), в которых пересекаются границы области - окружность и прямая (рис.23б). Поэтому D необходимо разбить на две простые области относительно φ: и и пределы интегрирования в двойном интеграле расставляются так:

 

Замечание: В некоторых случаях, если область интегрирования в двойном интеграле ограничена окружностью , удобнее делать замену . При такой замене осуществляется параллельный перенос системы координат в центр окружности, а якобиан преобразования при этом не изменяется, т.е. J = r (предлагается убедиться в этом самостоятельно). В частности, если в примере 4 ввести замену , то уравнение окружности преобразуется к виду r =1, а область интегрирования Ω в координатах Оrφ становится прямоугольной: .

Пример 5. Вычислить интеграл , где область D – лежащая в первой четверти часть эллиптического кольца .

Замечание: В случае, когда область интегрирования в двойном интеграле является эллипс или его часть, то вводят обобщенные полярные или

эллиптические координаты . При этом J = abr (проверить самостоятельно), а выражение преобразуется в выражение .

Решение: Перейдем к эллиптическим координатам, при этом границы эллиптического кольца принимают вид r =1 и r =2, а вся область расположена между лучами φ =0 и . Поэтому интеграл вычисляем следующим образом: