Тройной интеграл в декартовых координатах.

 

Тройной интеграл является обобщением интеграла Римана на случай функции трех переменных. Определение тройного интеграла, а также его свойства аналогичны определению и свойствам двойного интеграла.

Определение: Тройным интегралом от непрерывной функции u = f(x, y, z) по ограниченной кубируемой (измеримой по Жордану) области G называется

, где - разбиение области G на кубируемые части G_i, - максимальный диаметр объема разбиения Δ V_i.

Вычисляют тройной интеграл также как и двойной, сведением к повторным интегралам, при этом порядок следования переменных выбирается так, чтобы упростить проводимые вычисления.

Пусть область G из пространства Охуz проектируется в область D плоскости Оху так, что всякая прямая, параллельная оси Оz и проходящая внутри области D, пересекает границу тела только в двух точках. В общем случае такая область ограничена снизу поверхностью , сверху – поверхностью , а с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz (рис.30). В частных случая боковая поверхность цилиндра может превратиться в линию (рис.31).

 

Рис.30 Рис.31

 

Тройной интеграл по такой области вычисляется по формуле:

(15)

Здесь внутренний интеграл берется по z от нижней границы области G до ее верхней границы при фиксированных, но произвольных в области D значениях х и у. В результате получается некоторая функция от х и у, которая затем интегрируется в области D.

Наиболее простой вид формула (15) принимает в случае, когда областью интегрирования является прямоугольный параллелепипед, ограниченный плоскостями x = a, x = b, y = c, y = d, z = p, z = q (a < b, c < d, p < q) и пределы интегрирования по всем трем переменным являются константами

(16)

Если область G имеет более сложную форму, то ее разбивают на конечное число областей, удовлетворяющих приведенным выше условиям.

Замечание: Аналогичные определения и формулы могут получены и тогда, когда область G проектируется в область D, лежащую в плоскости Охz или Оуz.

 

Пример 1: Вычислить интеграл , где G – область, ограниченная плоскостями x =0, y =0, z =0, x + y + z =1.

Решение: Для правильной расстановки пределов интегрирования построим область G (рис.32). Область интегрирования G представляет фигуру, проекция которой на плоскость Oху есть треугольник с координатами вершин (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0).

 

Рис.33

Очевидно, что нижняя граница области G – плоскость z =0, а верхняя – плоскость z =1- х - у, это и будут пределы интегрирования по z. Для расстановки пределов по x и y в области D воспользуемся опытом вычисления двойных интегралов. Область D приведена на рис.33. Из рисунка видно, что x меняется в пределах от 0 до 1, а у от 0 до значения на прямой y =1- x:

 

Пример 2: Вычислить интеграл , если область G ограничена гиперболическим параболоидом z = xу и плоскостями x + y =1 и z =0 (z >0).

Решение: Область G ограничена снизу плоскостью z =0, а сверху- поверхностью гиперболического параболоида (рис.34). Проекцией данной области на плоскость Оху является треугольник, образованный осями координат х =0, у =0 и прямой х + у =1 (рис.33). Поэтому тройной интеграл сводится к повторным следующим образом:

 

Рис.34

 

 

Возможен и другой подход к вычислению интеграла, когда в качестве внешнего интеграла удобно выбрать интеграл по z и расставлять пределы внутренних интегралов, используя сечение фигуры плоскостью z =const. В этом случае применяют формулу:

, (17)

где S (z) –сечение объема плоскостью z =const.

 

Пример 3: Вычислить интеграл , где G - объем, ограниченный плоскостями у =0, y = x, z =1, z = x.

Решение: Построим область интегрирования (рис.35а). Выберем z в качестве внешней переменной интегрирования. Из уравнения границ видно, что z меняется от 0 до 1. Построим сечение фигуры плоскостью z =const (рис 35б) и из

 

 

 

Рис.35а Рис.35б

 

уравнения границ находим значения для переменных x и y. Подставим пределы в интеграл

 

Пример 4: Заменить тройной интеграл однократным.

Решение: Построим область G, ограниченную плоскостями х =0, х =1, у =0, у =1, z =0, z = х + у (рис.36а). Чтобы свести тройной интеграл к однократному, внешний интеграл нужно взять по переменной z, т.к. подынтегральная функция является функцией z. Проведем сечение объема плоскостью z =const, причем при 0< z <1 сечение приведено на рис.36б, а при 1< z <2 – на рис.36в.

 

 

 

 

 

Рис.36а

 

Рис.36б Рис.36в

 

Тогда интеграл можно переписать в виде