Физические приложения двойного интеграла.

Пусть D – плоская пластина, лежащая в плоскости Оху с поверхностной плотностью ρ (х, у). Тогда:

1. массу m пластинки находят по формуле

(10)

2. статические моменты и пластинки относительно координатных осей находят по формулам

(11)

3.кординаты центра тяжести и пластинки – по формулам

(12)

4. Моменты инерции , и пластинки соответственно относительно координатных осей Ох и Оу и начала координат находят по формулам

(13)

(14)

Для однородных пластинок поверхностная плотность . В некоторых задачах для простоты полагают .

Пример 1. Найти массу круглой пластины D с поверхностной плотностью ρ (х, у)=3- х - у.

Решение: Массу пластины вычисляем по формуле (10):

Поскольку пластина является круглой, вначале в двойном интеграле переходим к полярным координатам, а затем при вычислении внутреннего интеграла учитываем тот факт, что интеграл по периоду от тригонометрических функций равен нулю.

Пример 2. Найти статический момент однородного прямоугольника со сторонами а и b относительно стороны а, считая, что прямоугольник лежит в плоскости Оху.

Решение: Поместим начало координат в одну из вершин прямоугольника так, чтобы ось Ох совпадала со стороной а, а ось Оу – со стороной b. Статический

момент прямоугольника относительно стороны а будет равен статическому моменту относительно оси Ох. По первой из формул (11) получаем:

Пример 3. Найти координаты центра тяжести однородной пластины плотности , ограниченной параболой и прямой х + у =2.

Решение: Чертеж области приведен на рис.27. Найдем абсциссы точек пересечения графиков. Из системы получаем и . Тогда масса пластины вычисляется по формуле:

Рис.27.

Вычислим статические моменты пластины относительно координатных осей

 

Теперь вычисляем по формулам (12) координаты центра тяжести пластины:

 

Пример 4. Вычислить моменты инерции однородного треугольника со сторонами х + у =1, х +2 у =2, у =0, относительно координатных осей.

Решение: Треугольник приведен на рис 28. Моменты инерции относительно осей вычисляем по формулам (13):

Рис.28

Пример 5. Найти момент инерции однородной области, ограниченной лемнискатой относительно начала координат.

Решение: Полярный момент инерции вычисляем по формуле (14), при этом в двойном интеграле перейдем к полярным координатам. В результате уравнение лемнискаты в полярных координатах принимает вид , а координата (рис. 29). Тогда получаем:

 

Рис.29.

 

1.7. Задачи для самостоятельного решения:

 

Вычислить двойной интеграл:

 

1. , где D – прямоугольник .

2. , где D - ограниченна параболой и прямой у = х.

3. , D ограничена линиями , х =0, 2 у =3 х.

 

Двойной интеграл представить в виде повторного двумя способами:

4. D – треугольник с вершинами А (-1,-1), В (1,3), С (2,-4).

5. D – параллелограмм с вершинами А (-3,1), В (2,1), С (6,4), D (1,4).

6. D ограничена линиями , .

7. D ограничена линиями .

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

 

 

Выбирая подходящие замены переменных, вычислить двойные интегралы:

 

16. , где D ограничена линиями , у = х +1, у = х -3.

17. , где D – параллелограмм со сторонами у = х, у = х +3, у =-2 х +1, у =-2 х+5.

18. , D ограничена кривыми , ху = p, ху = q (0< a < b, 0< p < q).

 

В двойном интеграле перейти к полярным координатам r и φ (х = r cos φ, y = r sin φ) и расставить пределы интегрирования:

 

19. D – круг .

20. D – область, ограниченная окружностями и прямыми у = х и у =2 х.

21. D –область, ограниченная прямыми у = х, у =- х и у =1.

22. D – общая часть кругов и .

Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам:

 

23. .

24. , D ограничена лемнискатой .

25. , где D – круг .

26. , где D – четверть круга .

 

Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:

 

27. , у = х. 28. , .

29., ху =4, х + у -5=0. 30. , х + у = а

31. , у = х, у =0. 32. , у =-1, у =- х.

33. . 34. .

 

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

 

35. . 36. .

37. .

38.

39. Найти площадь части плоскости , лежащей в первом октанте.

40. Найти площадь части поверхности параболоида , отсекаемой цилиндром и плоскостью х =3 а.

41. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми , если ее плотность равна ρ (х, у)= х +2 у.

42. Вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой .

43. Найти координаты центра тяжести однородной пластики, ограниченной параболой и прямой у =2 (а >0).

44. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной окружностью и двумя радиусами у =0 и у = х tg α.

45. Найти статический момент однородного полукруга радиуса R, лежащего в плоскости Оху, относительно диаметра.

46. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу однородной пластины, ограниченной кардиоидой и полярной осью.

47. Найти статические моменты однородной пластины, ограниченной кривой y =sin x и прямой ОА, проходящей через начало координат и точку (,относительно осей Ох и Оу.

48. Найти моменты инерции прямоугольника ОАСВ со сторонами ОА = а и ОВ = b относительно вершины О и сторон ОА и ОВ, если его плотность равна расстоянию до стороны ОВ, считая, что прямоугольник лежит в плоскости Оуz.

49. Найти моменты инерции однородной пластины, ограниченной эллипсом , относительно осей Ох, Оу и относительно начала координат.

50. Найти полярный момент инерции однородной фигуры, ограниченной кардиоидой .

Глава 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.