Семерикова Н.П., Лапинова С.А.,



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Семерикова Н.П., Лапинова С.А.,



 

 

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

Электронное учебно-методическое пособие

 

Мероприятие 1.2. Совершенствование образовательных технологий, укрепление материально-технической базы учебного процесса

 

Нижний Новгород

 

 

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Семерикова Н.П., Лапинова С.А. Электронное учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. – 57 с.

 

 

В учебно-методическом пособии рассматриваются задачи по одной из важнейших тем математического анализа – двойным и тройным интегралам. В пособии разбираются такие темы, как расстановка пределов интеграции в двойных интегралах, переход в двойном интеграле к полярным и произвольным криволинейным координатам. Рассмотрены задачи, связанные с вычислением тройных интегралов в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Разобраны задачи на геометрические и механические приложения кратных интегралов – вычисления площадей и объемов тел, вычисление массы, координат центра тяжести, статических моментов и моментов инерции тел. По каждой из тем пособие содержит задачи для самостоятельного решения

Электронное учебно-методическое пособие предназначено для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки 011800.62 «Радиофизика», изучающих курс «Кратные интегралы и ряды», по направлению 010300.62 «Фундаментальная информтика и информационные технологии», изучающих курс «Кратные интегралы и ряды» и по направлению 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем», изучающих курс «Математический анализ».

 

 


ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ГЛАВА 1. Двойные интегралы. ………….…………….………….…………….4

1.1. Двойной интеграл – основные понятия и определения………….……………..………….…………….……………..4

1.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах…………………….…………….………….…………………6

1.3. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)…………… ………….………………….………….……………..15

1.4. Переход к полярным координатам в двойном интеграле……………………….……….………….…………….………..19

1.5. Геометрические приложения двойного интеграла…………………….……….…………….…………….……......24

1.6. Физические приложения двойного интеграла……….……………..27

1.7. Задачи для самостоятельного решения……………………………..29

 

ГЛАВА 2. Тройные интегралы………………………………………………….33

2.1. Тройной интеграл в декартовых координатах……………………...33

2.2. Замена переменных в тройном интеграле…………………………..37

2.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.39

2.4. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах……42

2.5. Приложения тройного интеграла……………………………………47

2.6. Задачи для самостоятельного решения……………………………..49

Ответы……………………………………………………………………………52

Список литературы………………………………………………………………54


Глава 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

 

1.1. Двойной интеграл – основные понятия и определения.

Двойной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных.

 

Пусть в замкнутой области D на плоскости Oxy задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем область D на n «элементарных областей» (i=1,n), площади которых обозначим через (рис.1). В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим интегральную сумму:

 

 

.

Определение двойного интеграла:

Предел при интегральных сумм , не зависящий от способа разбиения области D на части и от выбора в них точек , называется двойным интегралом от функции по области D. и обозначается .

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством . Если разбиение области D проводить прямыми параллельными координатным осям, то элемент площади ds=dxdy и двойной интеграл в декартовых координатах записывается в виде .

В этом случае функция называется интегрируемой в области D и обозначается , а область D называется областью интегрирования. Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области D функция интегрируема в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла:

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z=f(x,y)>0, снизу –замкнутой областью D плоскости Oxy, с боков – цилиндрической поверхностью с образующей - параллельной оси Oz, а направляющей служит граница области D (рис. 2). Такое тело называется цилиндрическим. Составим для функции интегральную сумму , при этом каждое слагаемое в интегральной сумме определяет объем элементарного параллелепипеда с основанием и высотой , т.е. . Тогда объем цилиндрического тела . Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры элементарных областей . Если число площадок неограниченно увеличивается ( ), а каждая площадка стягивается в точку, то за объем цилиндрического тела принимаем величину

.

Итак, геометрический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции – объем цилиндрического тела. В частности, если считать , то численно значение двойного интеграла будет равно площади области D

.

 

Физический смысл двойного интеграла:

Требуется найти массу плоской пластины, если известна ее поверхностная плотность ρ(x,y). Разобьем область D на n «элементарных областей» (i=1,n), с площадями . В каждой области выберем произвольную точку и вычислим плотность в ней . Если области малы, то приближенно можно считать что, плотность в каждой точке мало

отличается от значений и масса площадки . Тогда масса всей пластины задается приближенным равенством . Точное значение массы получим при условии . Таким образом, физический смысл двойного интеграла – это масса плоской области D .

 

Простейшие свойства двойного интеграла.

Эти свойства используются для вычисления двойного интеграла и аналогичны свойствам определенного интеграла. Пусть и и сconst. Тогда:

 

1. .

2.

3. Если область D разбить линией на две области и , такие, что ,а пересечение и состоит лишь из линии, их разделяющей, то .

 

1.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

 

Определение 1: Область D на плоскости Oxy назовем простой областью вида (I) (простой относительно оси Ox), если она ограничена снизу линией , сверху - (где непрерывные функции) и с боков – отрезками прямых x=a, x=b (рис.3). В частных случаях один из этих отрезков (или оба вместе) могут превратиться в точку (рис.4). Область вида (I) задается неравенствами .

Всякая прямая, параллельная оси Oy и проходящая внутри отрезка [a,b] пересекает границу простой области (I) в двух точках (см. рис.3, 4).

В случае простой области (I) ( , где - непрерывные функции на [a,b]), двойной интеграл вычисляется по формуле:

(1) Здесь сначала вычисляется внутренний интеграл по y. Он берется при каждом фиксированном значении от нижней границы области D до верхнейграницы (по координатной линии x=const (рис.3,4)). В результате получается некоторая функция от x , которая затем интегрируется по отрезку [a,b], т.е. .

Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, которые называются повторными.

Для применения формулы (1) область D необходимо спроектировать на ось Ох и получить отрезок [a,b] (рис.3,4), границы x=a и x=b которого являются пределами интегрирования во внешнем интеграле. Затем проводим координатные линии x=const, пересекающие область D и определяем нижнюю и верхнюю границы области. Интегрирование по координатной линии x=const всегда ведется в направлении оси Оу.

 

Определение 2: Область D на плоскости Oxy назовем простой областью вида (II) (относительно оси Oy), если она ограничена слева линией , справа - (где непрерывные функции), а сверху и снизу – отрезками прямых y=c, y=d (рис.5). В частных случаях один из этих отрезков (или оба вместе) могут превратиться в точку (рис.6). Область вида (II) задается неравенствами .

Всякая прямая, параллельная оси Ox и проходящая внутри отрезка[c,d], пересекает границу простой области (II) в двух точках (см. рис.5,6). В случае простой области (II) ( , где -


непрерывные функции на [c,d]), двойной интеграл вычисляется по формуле:

 

(2)

Здесь интегрирование во внутреннем интеграле ведется по х при фиксированном значении от левой границы области до правой границы (т.е. по координатной линии y=const (рис.5,6)).

Для применения формулы (2) область D проектируем на ось Оy и получаем отрезок [c,d] (рис.5,6), границы которого y=c и y=d являются пределами интегрирования во внешнем интеграле. Затем проводим координатные линии y=const, пересекающие область D и определяем левую и правую границы области. Интегрирование по координатной линии y=const всегда ведется в направлении оси Ох.

 

Важно помнить, что во внешнем интеграле в формулах (1) и (2) пределами интегрирования всегда являются числа.

 

Наиболее простой вид формулы (1) и (2) принимают в случае прямоугольной области D, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=c, y=d. Прямоугольник является одновременно простой областью вида (I) и (II) и для вычисления двойного интеграла можно применять любую из формул (1) и (2):

(3)

Замечания:

1. Если область D является простой областью вида (I) и (II), то для вычисления двойного интеграла можно применять и формулу (1), и формулу (2):

2. Если область D не является простой областью вида (I) или (II), то при помощи прямых, параллельных координатным осям ее разбивают на конечное число простых областей и для вычисления двойного интеграла используется третье свойство двойного интеграла.

3. Аналогичные определения и формулы справедливы и тогда, когда замкнутая область D лежит либо в плоскости xOz , либо в плоскости yOz. Например, если ограниченная замкнутая область D лежит в плоскости xOz и является простой относительно оси Oz, а в ней задана непрерывная функция y=f(x,z), то

Пример 1. Вычислить интеграл , где .

Решение: Для прямоугольной области применяем формулу (3):

Сначала вычисляем внутренний интеграл, считая переменную x константой:

.

После подстановки пределов интегрирования по y, получаем функцию от х I(x)=2x+4, которую интегрируем по отрезку [1,2]:

 

Пример 2. Вычислить интеграл , где .

Решение: Как и в примере 1, двойной интеграл сводится к повторному по формуле (3):

При вычислении внутреннего интеграла по у, считаем х константой, которую по первому свойству двойного интеграла (см. п.1.1), выносим за знак интеграла:

В данном примере удобнее воспользоваться еще одним свойством двойного интеграла. Если подынтегральная функция f(x,y)=X(x)Y(y) является произведением двух функций, одна из которых зависит только от x, а вторая - от y, и область интегрирования является прямоугольной , то двойной интеграл равен произведению повторных интегралов, т.е. . В этом случае результат вычисления внутреннего интеграла есть число. Поэтому решение задачи 2 кратко можно записать так:

 

Пример 3. Вычислить интеграл , где область D ограничена линиями x=0, y=0, x=π, y=1+cosx.

Решение: Область D является простой областью типа (I), так как любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области только в двух точках (рис.7). При любом фиксированном значении х из отрезка [0,π] координата y меняется от y=0 до y=1+cosx . Поэтому для вычисления интеграла воспользуемся формулой (1):

 

Отметим, что для вычисления данного интеграла можно было воспользоваться и формулой (2), т.к. область D также является простой областью вида (II). Но в этом случае границы области нужно задавать в виде х=х(у), что приводит к более громоздким вычислениям.

Пример 4. Вычислить интеграл , если область D ограничена кривой x=2+siny и прямыми x=0, y=0, у=2π.

Решение: Область D является простой областью относительно оси Оу, т.е. областью вида (II). Левая ее граница x=0, а правая - x=2+siny (рис.8). При любом фиксированном значении у из отрезка [0,2π] определяем, что координата х изменяется от x=0 до x=2+siny. Поэтому по формуле (2) имеем:

 

 

Пример 5. В двойном интеграле расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D – треугольник с вершинами в точках O(0,0), A(1,0), B(1,1).

Решение: Область D изображена на рис.9. Она является простой областью вида (I) и (II), поэтому для расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле воспользуемся формулами (1) и (2).

Для применения формулы (1) область D проектируем на ось и получим отрезок [0,1] – это пределы интегрирования во внешнем интеграле. Далее для расстановки пределов интегрирования во внутреннем интеграле при любом фиксированном проводим координатные линии y=cоnst и по ним определяем, что нижняя граница области D y=0, а верхняя граница – прямая y=x. Таким образом получим:

.

Для применения формулы (2) область интегрирования D проектируем на ось y и получаем отрезок [0,1],а затем проводим координатные линии x=cоnst и определяем, что левая граница x=0, а правая граница - прямая x=y. Тогда двойной интеграл преобразуется к виду:

.

Пример 6. В двойном интеграле расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена прямыми x=0, x=1, y=1 и кривой

Решение: Построим область D, но вначале нужно понять, как нарисовать кривую . Приведем ее уравнение к каноническому виду. Для этого возведем обе части этого уравнения в квадрат, помня, что и , т.е. . Получаем: . Теперь все слагаемые перенесем в левую часть и выделим полный квадрат по переменной х: или . Таким образом, заданная кривая – это нижняя дуга ( ) окружности радиуса 1 с центром в точке (1,0). Область изображена на рис.10.

Область D является простой областью относительно оси , она находится в полосе между прямыми x=0 и x=1. Ее нижней границей является дуга окружности , а верхней – прямая y=1. Следовательно, .

Для расстановки пределов интегрирования в другом порядке проектируем область D на ось и получаем отрезок [-1,1]. Из рис.10 видно, что область D ограничена слева дугой окружности (при ) и отрезком прямой x=0 (при ). Поэтому ее разбиваем на две простые области и координатной линией y=0. Левая граница области находитсяиз уравнения окружности : . Тогда область определяется неравенствами: , . Область есть прямоугольник , . Применяя формулу (2) и третье свойство двойного интеграла (см. п.1.1), получаем:

Пример 7. В двойном интеграле расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена прямыми x+у=10, x-у=4, y=0 и параболой .

Решение: Область D представлена на рис.11, из которого видно, что она не является простой ни в одном из направлений, поэтому ее необходимо разбить на простые области.

Проектируем D на ось и получаем отрезок [0,7]. При этом нижней границей области D являются прямые y=0 при и у=х-4 при , которые пересекаются в точке (4,0). Верхняя граница так же состоит из двух частей - кубической параболы при и прямой у=10-х при , которые пересекаются в точке (2,8) . Через точки пересечения границ проводим координатные линии х=2 и х=4, которые разбивают D на три простые области , , . В при нижняя граница y=0, а верхняя . В при нижняя граница y=0, а верхняя – прямая у=10-х. В при нижняя граница у=х-4, а верхняя - у=10-х. Расставляя пределы интегрирования для каждой из простых областей, получаем:

Для второго способа расстановки пределов интегрирования проектируем область D на ось и разбиваем ее на две области. В первой области при левая граница описывается выражением , а правая - х=у+4. Во второй области при левая граница по-прежнему остается параболой , а правой границей является прямая х=10-у. В итоге получаем:

В качестве упражнения на расстановку пределов интегрирования рассмотрим задачу о перемене порядка интегрирования в повторном интеграле . Для ее решения необходимо построить область интегрирования D, которая находится в полосе между прямыми x=a, x=b и ограничена снизу линией , а сверху- линией . Затем область D проектируем на ось и находим уравнения прямых y=c, y=d, ограничивающих снизу и сверху полосу, в которой расположена область D. Затем находят левую и правую границы области. Если какая-либо граница состоит из двух или большего числа линий, записанных разными уравнениями, то область D разбиваем на части (простые области типа (II)). Аналогично поступают, если требуется переменить порядок интегрирования в повторном интеграле , только в этом случае область D проектируют на ось .

 

Пример 8. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Решение: Область D расположена между прямыми x=0 и x=1. Ее нижняя граница - прямая у=х, а верхняя - дуга окружности (рис.12). Проектируем область D на ось Оу, в результате получаем отрезок . Левой границей области является прямая х=0, правой - на участке [0,1] прямая х=у, а на участке - дуга окружности

. Поэтому область D разбиваем на две области и , а интеграл – на сумму двух интегралов:

Пример 9. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Решение: Для каждого из повторных интегралов построим свою область. Область находится в полосе между прямыми y=-2 и y=0. Ее левой границей является прямая х=-1, а правой – прямая х=у+1. Область находится в полосе между прямыми y=0 и y=π и имеет левую границу х=-1 и правую границу х=cosy. Сумма этих двух областей и есть искомая область D, она изображена на рис.13. Спроектируем ее на ось Ох, получим отрезок [-1,1]. Относительно оси Ох область D является простой, ее нижней границей является прямая у=х-1, а верхней – у=arccosх.

Рис. 13

 

Повторный интеграл принимает вид:

 

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.172.223.30 (0.026 с.)