Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Учебно-научный и инновационный комплексСтр 1 из 7Следующая ⇒
Учебно-научный и инновационный комплекс "Физические основы информационно-телекоммуникационных систем"
Основная образовательная программа 011800.62 «Радиофизика», общий профиль, квалификация (степень) бакалавр Учебно-методический комплекс по дисциплине «Кратные интегралы и ряды» Основная образовательная программа 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», общий профиль, квалификация (степень) бакалавр Учебно-методический комплекс по дисциплине «Кратные интегралы и ряды» Основная образовательная программа 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем», общий профиль, квалификация (степень) специалист Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математический анализ» Семерикова Н.П., Лапинова С.А.,
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Электронное учебно-методическое пособие
Мероприятие 1.2. Совершенствование образовательных технологий, укрепление материально-технической базы учебного процесса
Нижний Новгород
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Семерикова Н.П., Лапинова С.А. Электронное учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. – 57 с.
В учебно-методическом пособии рассматриваются задачи по одной из важнейших тем математического анализа – двойным и тройным интегралам. В пособии разбираются такие темы, как расстановка пределов интеграции в двойных интегралах, переход в двойном интеграле к полярным и произвольным криволинейным координатам. Рассмотрены задачи, связанные с вычислением тройных интегралов в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Разобраны задачи на геометрические и механические приложения кратных интегралов – вычисления площадей и объемов тел, вычисление массы, координат центра тяжести, статических моментов и моментов инерции тел. По каждой из тем пособие содержит задачи для самостоятельного решения Электронное учебно-методическое пособие предназначено для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки 011800.62 «Радиофизика», изучающих курс «Кратные интегралы и ряды», по направлению 010300.62 «Фундаментальная информтика и информационные технологии», изучающих курс «Кратные интегралы и ряды» и по направлению 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем», изучающих курс «Математический анализ».
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 1. Двойные интегралы. ………….…………….………….…………….4 1.1. Двойной интеграл – основные понятия и определения………….……………..………….…………….……………..4 1.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах…………………….…………….………….…………………6 1.3. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)…………… ………….………………….………….……………..15 1.4. Переход к полярным координатам в двойном интеграле……………………….……….………….…………….………..19 1.5. Геометрические приложения двойного интеграла…………………….……….…………….…………….……......24 1.6. Физические приложения двойного интеграла……….……………..27 1.7. Задачи для самостоятельного решения……………………………..29
ГЛАВА 2. Тройные интегралы………………………………………………….33 2.1. Тройной интеграл в декартовых координатах……………………...33 2.2. Замена переменных в тройном интеграле…………………………..37 2.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.39 2.4. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах……42 2.5. Приложения тройного интеграла……………………………………47 2.6. Задачи для самостоятельного решения……………………………..49 Ответы……………………………………………………………………………52 Список литературы………………………………………………………………54 Глава 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1. Двойной интеграл – основные понятия и определения. Двойной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных.
Пусть в замкнутой области D на плоскости Oxy задана непрерывная функция z=f (x,y). Разобьем область D на n «элементарных областей» (i= 1 ,n), площади которых обозначим через (рис.1). В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим интегральную сумму:
. Определение двойного интеграла: Предел при интегральных сумм , не зависящий от способа разбиения области D на части и от выбора в них точек , называется двойным интегралом от функции по области D. и обозначается .
Таким образом, двойной интеграл определяется равенством . Если разбиение области D проводить прямыми параллельными координатным осям, то элемент площади ds = dxdy и двойной интеграл в декартовых координатах записывается в виде . В этом случае функция называется интегрируемой в области D и обозначается , а область D называется областью интегрирования. Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области D функция интегрируема в этой области. Геометрический смысл двойного интеграла: Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z=f (x,y)>0, снизу –замкнутой областью D плоскости Oxy, с боков – цилиндрической поверхностью с образующей - параллельной оси Oz, а направляющей служит граница области D (рис. 2). Такое тело называется цилиндрическим. Составим для функции интегральную сумму , при этом каждое слагаемое в интегральной сумме определяет объем элементарного параллелепипеда с основанием и высотой , т.е. . Тогда объем цилиндрического тела . Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры элементарных областей . Если число площадок неограниченно увеличивается (), а каждая площадка стягивается в точку, то за объем цилиндрического тела принимаем величину . Итак, геометрический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции – объем цилиндрического тела. В частности, если считать , то численно значение двойного интеграла будет равно площади области D .
Физический смысл двойного интеграла: Требуется найти массу плоской пластины, если известна ее поверхностная плотность ρ (x, y). Разобьем область D на n «элементарных областей» (i= 1 ,n), с площадями . В каждой области выберем произвольную точку и вычислим плотность в ней . Если области малы, то приближенно можно считать что, плотность в каждой точке мало отличается от значений и масса площадки . Тогда масса всей пластины задается приближенным равенством . Точное значение массы получим при условии . Таким образом, физический смысл двойного интеграла – это масса плоской области D .
Простейшие свойства двойного интеграла. Эти свойства используются для вычисления двойного интеграла и аналогичны свойствам определенного интеграла. Пусть и и с – const. Тогда:
1. . 2. 3. Если область D разбить линией на две области и , такие, что ,а пересечение и состоит лишь из линии, их разделяющей, то .
1.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Определение 1: Область D на плоскости Oxy назовем простой областью вида (I) (простой относительно оси Ox), если она ограничена снизу линией , сверху - (где непрерывные функции) и с боков – отрезками прямых x = a, x = b (рис.3). В частных случаях один из этих отрезков (или оба вместе) могут превратиться в точку (рис.4). Область вида (I) задается неравенствами . Всякая прямая, параллельная оси Oy и проходящая внутри отрезка [ a, b ] пересекает границу простой области (I) в двух точках (см. рис.3, 4). В случае простой области (I) (, где - непрерывные функции на [ a, b ]), двойной интеграл вычисляется по формуле: (1) Здесь сначала вычисляется внутренний интеграл по y. Он берется при каждом фиксированном значении от нижней границы области D до верхнейграницы (по координатной линии x = const (рис.3,4)). В результате получается некоторая функция от x , которая затем интегрируется по отрезку [ a, b ], т.е. .
Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, которые называются повторными. Для применения формулы (1) область D необходимо спроектировать на ось Ох и получить отрезок [ a, b ] (рис.3,4), границы x = a и x = b которого являются пределами интегрирования во внешнем интеграле. Затем проводим координатные линии x = const, пересекающие область D и определяем нижнюю и верхнюю границы области. Интегрирование по координатной линии x = const всегда ведется в направлении оси Оу.
Определение 2: Область D на плоскости Oxy назовем простой областью вида (II) (относительно оси Oy), если она ограничена слева линией , справа - (где непрерывные функции), а сверху и снизу – отрезками прямых y = c, y = d (рис.5). В частных случаях один из этих отрезков (или оба вместе) могут превратиться в точку (рис.6). Область вида (II) задается неравенствами . Всякая прямая, параллельная оси Ox и проходящая внутри отрезка[ c,d ], пересекает границу простой области (II) в двух точках (см. рис.5,6). В случае простой области (II) (, где - непрерывные функции на [ c, d ]), двойной интеграл вычисляется по формуле:
(2) Здесь интегрирование во внутреннем интеграле ведется по х при фиксированном значении от левой границы области до правой границы (т.е. по координатной линии y=const (рис.5,6)). Для применения формулы (2) область D проектируем на ось Оy и получаем отрезок [ c, d ] (рис.5,6), границы которого y = c и y = d являются пределами интегрирования во внешнем интеграле. Затем проводим координатные линии y = const, пересекающие область D и определяем левую и правую границы области. Интегрирование по координатной линии y = const всегда ведется в направлении оси Ох.
Важно помнить, что во внешнем интеграле в формулах (1) и (2) пределами интегрирования всегда являются числа.
Наиболее простой вид формулы (1) и (2) принимают в случае прямоугольной области D, ограниченной прямыми x = a, x = b, y = c, y = d. Прямоугольник является одновременно простой областью вида (I) и (II) и для вычисления двойного интеграла можно применять любую из формул (1) и (2): (3) Замечания: 1. Если область D является простой областью вида (I) и (II), то для вычисления двойного интеграла можно применять и формулу (1), и формулу (2): 2. Если область D не является простой областью вида (I) или (II), то при помощи прямых, параллельных координатным осям ее разбивают на конечное число простых областей и для вычисления двойного интеграла используется третье свойство двойного интеграла.
3. Аналогичные определения и формулы справедливы и тогда, когда замкнутая область D лежит либо в плоскости xOz, либо в плоскости yOz. Например, если ограниченная замкнутая область D лежит в плоскости xOz и является простой относительно оси Oz, а в ней задана непрерывная функция y = f (x, z), то Пример 1. Вычислить интеграл , где . Решение: Для прямоугольной области применяем формулу (3): Сначала вычисляем внутренний интеграл, считая переменную x константой: . После подстановки пределов интегрирования по y, получаем функцию от х I (x)=2 x +4, которую интегрируем по отрезку [1,2]:
Пример 2. Вычислить интеграл , где . Решение: Как и в примере 1, двойной интеграл сводится к повторному по формуле (3): При вычислении внутреннего интеграла по у, считаем х константой, которую по первому свойству двойного интеграла (см. п.1.1), выносим за знак интеграла: В данном примере удобнее воспользоваться еще одним свойством двойного интеграла. Если подынтегральная функция f (x, y)= X (x) Y (y) является произведением двух функций, одна из которых зависит только от x, а вторая - от y, и область интегрирования является прямоугольной , то двойной интеграл равен произведению повторных интегралов, т.е. . В этом случае результат вычисления внутреннего интеграла есть число. Поэтому решение задачи 2 кратко можно записать так:
Пример 3. Вычислить интеграл , где область D ограничена линиями x =0, y =0, x = π, y =1+cos x. Решение: Область D является простой областью типа (I), так как любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области только в двух точках (рис.7). При любом фиксированном значении х из отрезка [0,π] координата y меняется от y =0 до y =1+cos x. Поэтому для вычисления интеграла воспользуемся формулой (1):
Отметим, что для вычисления данного интеграла можно было воспользоваться и формулой (2), т.к. область D также является простой областью вида (II). Но в этом случае границы области нужно задавать в виде х = х (у), что приводит к более громоздким вычислениям. Пример 4. Вычислить интеграл , если область D ограничена кривой x =2+sin y и прямыми x =0, y =0, у=2π. Решение: Область D является простой областью относительно оси Оу, т.е. областью вида (II). Левая ее граница x =0, а правая - x =2+sin y (рис.8). При любом фиксированном значении у из отрезка [0,2π] определяем, что координата х изменяется от x =0 до x =2+sin y. Поэтому по формуле (2) имеем:
Пример 5. В двойном интеграле расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D – треугольник с вершинами в точках O (0,0), A (1,0), B (1,1). Решение: Область D изображена на рис.9. Она является простой областью вида (I) и (II), поэтому для расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле воспользуемся формулами (1) и (2). Для применения формулы (1) область D проектируем на ось Oх и получим отрезок [0,1] – это пределы интегрирования во внешнем интеграле. Далее для расстановки пределов интегрирования во внутреннем интеграле при любом фиксированном проводим координатные линии y = cоns t и по ним определяем, что нижняя граница области D y =0, а верхняя граница – прямая y = x. Таким образом получим:
. Для применения формулы (2) область интегрирования D проектируем на ось y и получаем отрезок [0,1],а затем проводим координатные линии x = cоnst и определяем, что левая граница x =0, а правая граница - прямая x = y. Тогда двойной интеграл преобразуется к виду: . Пример 6. В двойном интеграле расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена прямыми x =0, x =1, y =1 и кривой Решение: Построим область D, но вначале нужно понять, как нарисовать кривую . Приведем ее уравнение к каноническому виду. Для этого возведем обе части этого уравнения в квадрат, помня, что и , т.е. . Получаем: . Теперь все слагаемые перенесем в левую часть и выделим полный квадрат по переменной х: или . Таким образом, заданная кривая – это нижняя дуга () окружности радиуса 1 с центром в точке (1,0). Область изображена на рис.10. Область D является простой областью относительно оси Oх, она находится в полосе между прямыми x =0 и x =1. Ее нижней границей является дуга окружности , а верхней – прямая y =1. Следовательно, . Для расстановки пределов интегрирования в другом порядке проектируем область D на ось Oу и получаем отрезок [-1,1]. Из рис.10 видно, что область D ограничена слева дугой окружности (при ) и отрезком прямой x =0 (при ). Поэтому ее разбиваем на две простые области и координатной линией y =0. Левая граница области находитсяиз уравнения окружности : . Тогда область определяется неравенствами: , . Область есть прямоугольник , . Применяя формулу (2) и третье свойство двойного интеграла (см. п.1.1), получаем: Пример 7. В двойном интеграле расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена прямыми x + у =10, x - у =4, y =0 и параболой . Решение: Область D представлена на рис.11, из которого видно, что она не является простой ни в одном из направлений, поэтому ее необходимо разбить на простые области. Проектируем D на ось Oх и получаем отрезок [0,7]. При этом нижней границей области D являются прямые y =0 при и у = х -4 при , которые пересекаются в точке (4,0). Верхняя граница так же состоит из двух частей - кубической параболы при и прямой у =10- х при , которые пересекаются в точке (2,8). Через точки пересечения границ проводим координатные линии х =2 и х =4, которые разбивают D на три простые области , , . В при нижняя граница y =0, а верхняя . В при нижняя граница y =0, а верхняя – прямая у =10- х. В при нижняя граница у = х -4, а верхняя - у =10- х. Расставляя пределы интегрирования для каждой из простых областей, получаем: Для второго способа расстановки пределов интегрирования проектируем область D на ось Oу и разбиваем ее на две области. В первой области при левая граница описывается выражением , а правая - х = у +4. Во второй области при левая граница по-прежнему остается параболой , а правой границей является прямая х =10- у. В итоге получаем: В качестве упражнения на расстановку пределов интегрирования рассмотрим задачу о перемене порядка интегрирования в повторном интеграле . Для ее решения необходимо построить область интегрирования D, которая находится в полосе между прямыми x = a, x = b и ограничена снизу линией , а сверху- линией . Затем область D проектируем на ось Oу и находим уравнения прямых y = c, y = d, ограничивающих снизу и сверху полосу, в которой расположена область D. Затем находят левую и правую границы области. Если какая-либо граница состоит из двух или большего числа линий, записанных разными уравнениями, то область D разбиваем на части (простые области типа (II)). Аналогично поступают, если требуется переменить порядок интегрирования в повторном интеграле , только в этом случае область D проектируют на ось Oх.
Пример 8. Изменить порядок интегрирования в интеграле . Решение: Область D расположена между прямыми x =0 и x =1. Ее нижняя граница - прямая у = х, а верхняя - дуга окружности (рис.12). Проектируем область D на ось Оу, в результате получаем отрезок . Левой границей области является прямая х =0, правой - на участке [0,1] прямая х = у, а на участке - дуга окружности . Поэтому область D разбиваем на две области и , а интеграл – на сумму двух интегралов: Пример 9. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле . Решение: Для каждого из повторных интегралов построим свою область. Область находится в полосе между прямыми y =-2 и y =0. Ее левой границей является прямая х =-1, а правой – прямая х = у +1. Область находится в полосе между прямыми y =0 и y =π и имеет левую границу х =-1 и правую границу х =cos y. Сумма этих двух областей и есть искомая область D, она изображена на рис.13. Спроектируем ее на ось Ох, получим отрезок [-1,1]. Относительно оси Ох область D является простой, ее нижней границей является прямая у = х -1, а верхней – у =arccos х. Рис. 13
Повторный интеграл принимает вид:
Глава 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Ответы Глава 1. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. 12. . 13. . 14. . 15. . 16. -8. 17. 12. 18. . 19. . 20. . 21. . 22. . 23. . 24. . 25. 24 π. 26. . 27. . 28. . 29. . 30. . 31. . 32. . 33. 3 π. 34. . 35. . 36. . 37. . 38. . 39. . 40. . 41. . 42. , 43. . 44. . 45. . 46. . 47. . 48. . 49. . 50. .
Глава 2. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. 8. 13. . 14. 15. . 16. , . 17. . 18. . 19. . 20. . Список литературы
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1,2,3. М.: Наука. 1970. 2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1981. 3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: АСТ Астрель, 2005. 4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1969. 5. Сборник задач по курсу высшей математики. Под редакцией Г.И. Кручковича. Учебное пособие для вузов. М. «Высшая школа». 1973. 6. Сборник задач по высшей математике К.Н. Лунгу и др., под ред.С.Н. Федина. М.: Айрис-пресс. 2011.
Учебно-научный и инновационный комплекс "Физические основы информационно-телекоммуникационных систем"
Основная образовательная программа 011800.62 «Радиофизика», общий профиль, квалификация (степень) бакалавр Учебно-методический комплекс по дисциплине «Кратные интегралы и ряды» Основная образовательная программа 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», общий профиль, квалификация (степень) бакалавр Учебно-методический комплекс по дисциплине «Кратные интегралы и ряды» Основная образовательная программа 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем», общий профиль, квалификация (степень) специалист Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математический анализ»
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; просмотров: 332; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.142.128 (0.121 с.) |