Приложения тройного интеграла.

1. Объем V тела G находится по формуле:

(21)

2. Масса m тела G с объемной плотностью ρ (х, у, z) вычисляется по формуле:

(22)

3.Статические моменты тела G относительно координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz соответственно равны:

(23)

4. Координаты центра тяжести тела G с массой m определяются по формулам:

5. Моменты инерции тела G относительно координатных плоскостей равны:

(24)

6. Моменты инерции относительно координатных осей Ох, Оу, Oz и полярный момент инерции относительно начала координат равны:

(25)

Для однородного тела ρ(x, y, z)=const и в некоторых задачах полагают ρ=1.

 

Пример 1: Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом

Решение: Для вычисления объема в тройном интеграле (21) перейдем к обобщенным сферическим координатам x = a cos φ cos ψ, y = b sin φ cos ψ, z = c sin ψ. Уравнение эллипсоида в них принимает вид r =1, а углы φ и ψ изменяются так же, как для шара. Область Ω является прямоугольным параллелепипедом , , :

Пример 2: Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом z =3- x ²- y ² и плоскостью z =0.

 

Рис.44

Решение:В силу симметрии тела относительно координатных плоскостей Оxz и Oyz (рис.44) , осталось найти . Вначале вычислим массу m тела. Введем цилиндрические координаты: x = r cos φ, y = r sin φ, z = z и расставим пределы интегрирования в области G:

Вычисляем статический момент :

и находим .

 

Пример 3: Вычислить момент инерции однородного шара радиуса 1 относительно его центра.

Решение:Поместим начало координат в центр шара. Тогда момент инерции шара относительно центра будет равен моменту инерции относительно начала координат, т.е. полярному моменту инерции. При вычислении тройного интеграла переходим к сферическим координатам.

 

 

2.6. Задачи для самостоятельного решения.

1. Вычислить тройной интеграл , где область G ограничена гиперболическим параболоидом z = xу и плоскостями у = х, x =1 и z =0.

2. Вычислить тройной интеграл , где область G ограничена цилиндром и плоскостями у =0, z= 0 и .

3. Перейти к новым координатам и вычислить интеграл , где G расположена в первом октанте (x >0, y >0, z >0) и ограничена поверхностями , , у = αx, у = βx, (0< a < b, 0< α < β, 0< m < n).

4. В интеграле перейти к цилиндрическим координатам, если область G ограничена цилиндром x ²+ y ²= R ²и плоскостями z =0, z =1, y = x,

5. В интеграле перейти к цилиндрическим координатам, если G ограничена цилиндром x ²+ y ²=2 х, параболоидом z = x ²+ y ²и плоскостью z =0.

6. Вычислить , где G - область, ограниченная верхней частью конуса x ²+ y ²= z ² и плоскостью z =1.

7. Вычислить , где область G ограничена параболоидом и плоскостью z =3.

8. Вычислить интеграл , переходя к цилиндрическим координатам.

9. Вычислить , где G- область между сферами x ²+ y ²+ z ²= а ²и x ²+ y ²+ z ²= b ²(a < b).

10. Вычислить , где область G ограничена плоскостями x=0, y=0, z=0 и сферой x ²+ y ²+ z ²= а ².

11. Вычислить интеграл , переходя к сферическим координатам.

12. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами z =4- y ² и z = y ²+2 и плоскостями х =-1, х =2.

13. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом z =6- x ²- y ² и конусом z ²= x ²+y².

14. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом 3 z = x ²+ y ² и сферой x ²+ y ²+ z ²=4 (внутренний по отношению к параболоиду).

15. Вычислить объем тела, ограниченного сферами x ²+ y ²+ z ²=1, x ²+ y ²+ z ²=16, конусом z ²= x ²+y² и плоскостями x =0, у =0, z =0 .

16. Найти массу и координаты центра тяжести шара x ²+ y ²+ z ²=2Rz, если плотность в каждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию от нее до начала координат (т.е. , k – коэффициент пропорциональности).

17. Вычислить координаты центра тяжести тела, ограниченного эллипсоидом и плоскостями x =0, у =0, z =0 .

18. Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей тела, ограниченного плоскостями , x =0, у =0, z =0.

19.Найти полярный момент инерции однородного тела, ограниченного параболоидом z = x ²+ y ² и плоскостью z =4 (ρ =1).

20. Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей тела, ограниченного конусом x ²=y²+ z ² и плоскостью x = h (h >0, ρ =1).

Ответы

Глава 1.

1. . 2. . 3. . 4. . 5.

6. . 7. . 8. .

9. . 10. . 11.

12. . 13. .

14. . 15. . 16. -8. 17. 12. 18. . 19. .

20. . 21. .

22. .

23. . 24. . 25. 24 π. 26. . 27. . 28. . 29. .

30. . 31. . 32. . 33. 3 π. 34. . 35. . 36. . 37. . 38. . 39. . 40. . 41. . 42. , 43. . 44. . 45. . 46. . 47. . 48. . 49. . 50. .

 

Глава 2.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. 8. 13. . 14. 15. . 16. , . 17. .

18. . 19. . 20. .

Список литературы

 

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1,2,3. М.: Наука. 1970.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1981.

3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: АСТ Астрель, 2005.

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1969.

5. Сборник задач по курсу высшей математики. Под редакцией Г.И. Кручковича. Учебное пособие для вузов. М. «Высшая школа». 1973.

6. Сборник задач по высшей математике К.Н. Лунгу и др., под ред.С.Н. Федина. М.: Айрис-пресс. 2011.