Криволинейные координаты. Замена переменных в двойном интеграле

В ряде задач для упрощения вычисления двойного интеграла удобно выполнить замену переменных (перейти к новым, криволинейным координатам). Этот переход определяется видом области интегрирования и видом подынтегральной функции.

В общем случае криволинейные координаты вводятся системой уравнений:

, где u, v – новые координаты.

Тогда замена переменных в двойном интеграле производится по формуле:

, (3)

где D^* - образ области D в плоскости при данном отображении .

Функциональный определитель - называется якобианом перехода к криволинейным координатам ( в области ).

Наиболее употребительным примером криволинейных координат являются полярные координаты, которые связаны с декартовыми координатами соотношениями:

,

здесь - полярный радиус () и - полярный угол ().

Якобиан перехода в этом случае равен

,

и формула (3) записывается в виде

(4).

Если область интегрирования D^* в полярной системе координат можно задать неравенствами:

Рис. 7

и при этом каждый луч, проходящий через внутренние точки области, пересекает границу не более чем в двух точках (Рис. 7), то имеет место формула: (5).

 

 

Пример.

Вычислить двойной интеграл

, где D: .

 

 

Рис. 8

Решение. Область интегрирования D (Рис. 8) ограничена линиями: 1) - окружность с центром в точке (0,4) и радиусом 4 2) - окружность с центром в точке (0,5) и радиусом 5 3) y=x – прямая, проходящая через начало координат, образующая с положительным

направлением оси Ох угол .

4) x= 0 – прямая, совпадающая с осью Оy. Вычисления удобно провести в полярных координатах. Подставляя в уравнения границ области D , получаем их полярные уравнения:

1)

.

2)

.

3) .

4) .

При любом фиксированном луч, выходящий из начала координат пересекает границу области D в двух точках: в точке входа , в которой и в точке выхода , в которой .

Следовательно, область D в полярной системе координат можно задать неравенствами:

С учетом формулы (5) получаем:

Ответ:

Тройной интеграл

Пусть V замкнутая область в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz и непрерывная функция, определенная в этой области. Разобьем область V произвольным образом на n непересекающихся областей V_i с объемами . В каждой области V_i возьмем произвольным образом точку и составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой.

Определение. Предел последовательности интегральных сумм при и стремлении к нулю максимального из диаметров частичных областей V_i, который не зависит от разбиения области на частичные области V_i и выбора точек M_i, называется тройным интегралом от функции по области V и символически обозначается

,

т.е.

.

Теорема существования тройного интеграла. Если функция непрерывна в области V, то тройной интеграл существует.

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла. Отметим лишь, что если область разбить на две части некоторой гладкой поверхностью, то

.