А. Д. Романов, О. Д. Агибалова

В г. Северодвинске

А.Д. Романов, О.Д. Агибалова

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ.

Учебное пособие

для студентов заочного отделения

(I I I-й семестр)

Северодвинск

Севмашвтуз

УДК 512

Оглавление

Введение………………………………………………………………………….…4

1. Кратные интегралы……………………………………………………………....5

1.1. Двойной интеграл………………………………………………………………5

1.1.1. Свойства двойного интеграла……………………………………………5

1.1.2. Вычисление двойного интеграла………………………………………...6

1.1.3. Криволинейные координаты. Замена переменных в двойном

интеграле…………………………………………………………………...8

1.2. Тройной интеграл……………………………………………………………...11

1.2.1. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе

координат…………………………………………………………………12

1.2.2. Криволинейные координаты в пространстве. Замена переменных в

тройном интеграле……………………………………………………….13

1.3. Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и

физики………………………………………………………………………….17

1.3.1. Приложения двойных интегралов………………………………………17

1.3.2. Приложения тройных интегралов………………………………………19

2. Векторный анализ……………………………………………………………….22

2.1. Скалярное поле………………………………………………………………..22

2.2. Векторное поле………………………………………………………………..24

2.3. Криволинейные интегралы первого рода……………………………………26

2.4. Криволинейные интегралы второго рода……………………………………27

2.4.1. Независимость криволинейного интеграла второго рода от

пути интегрирования……………………………………………………29

2.5. Поверхностные интегралы первого рода…………………………………… 30

2.6. Поверхностные интегралы второго рода……………………………………32

2.6.1. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода……………33

2.7. Циркуляция и поток векторного поля………………………………………..35

2.8. Интегральные теоремы векторного анализа…………………………………36

3. Контрольная работа. Задания……………………………………………...37

3.1. Пример выполнения контрольной работы Вариант № 0……………...37

3.2. Варианты заданий контрольной работы ………………………………...42

Рекомендуемая литература………………………………………………………...49

 

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие предназначено для студентов, обучающихся заочно. Пособие разработано в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта данной специальности и содержит те разделы курса математики, которые изучаются, в соответствии с учебной программой, в третьем семестре. В пособии кратко изложены основные теоретические положения интегрального исчислений функций многих переменных, векторного анализа, приведено достаточное количество примеров решения задач. После самостоятельного изучения теоретического материала и приобретения навыков решения задач студенты должны выполнить две контрольные работы. Варианты заданий контрольных работ и примеры их выполнения также приведены в пособии.

Следует отметить, что данное пособие должно рассматриваться лишь как основа для изучения, указанных выше, разделов математики. При самостоятельной работе следует обращаться и к другим источникам, перечень рекомендуемой учебной литературы приведен в конце пособия.

 

 

Кратные интегралы

Двойной интеграл

 

Пусть D замкнутая область на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат Oxy. Пусть z и z=f(x, y) – произвольная функция, определенная и непрерывная в этой области. Разобьем область D на n -непересекающихся областей D_i , площади которых обозначим через . В каждой области D_i возьмем произвольную точку M_i (x_i, y_i) и составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой.

Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при и стремлении к нулю максимального из диаметров частичных областей D_i , который не зависит от способа разбиения области на частичные области D_i и выбора точек M_i, то этот предел называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается

, т.е.

Теорема существования двойного интеграла. Если функция непрерывна в области , то двойной интеграл существует.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Рис. 1

Величина двойного интеграла от функции в области равна объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу замкнутой областью плоскости , с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси (Рис.1), т.е. .

В частности, если , то двойной интеграл будет равен площади области D:

.

Свойства двойного интеграла

Будем считать, что все интегралы в перечисленных ниже утверждениях существуют.

· Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

, где .

· Если функции и интегрируемы в области , то функция интегрируема в области , причем

.

· Свойство аддитивности. Если область разбить линией на две области и , причем , а - есть линия, их разделяющая (Рис. 2), то

Рис. 2

· Если функции и непрерывны на области D и всюду в этой области , то

.

·

Теорема о среднем для двойного интеграла. Если функции и непрерывны в области и хотя бы одна из них знакопостоянна в этой области (пусть ), то найдется точка , такая что справедлива формула

Тройной интеграл

Пусть V замкнутая область в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz и непрерывная функция, определенная в этой области. Разобьем область V произвольным образом на n непересекающихся областей V_i с объемами . В каждой области V_i возьмем произвольным образом точку и составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой.

Определение. Предел последовательности интегральных сумм при и стремлении к нулю максимального из диаметров частичных областей V_i, который не зависит от разбиения области на частичные области V_i и выбора точек M_i, называется тройным интегралом от функции по области V и символически обозначается

,

т.е.

.

Теорема существования тройного интеграла. Если функция непрерывна в области V, то тройной интеграл существует.

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла. Отметим лишь, что если область разбить на две части некоторой гладкой поверхностью, то

.

Векторный анализ

Скалярное поле

Определение. Если в каждой точке пространства или части пространства определено значение некоторой скалярной величины, то говорят, что задано скалярное поле этой величины.

Пример скалярных полей дает поле температур, электростатическое поле.

Задание скалярного поля осуществляется заданием скалярной функции точки

.

Если в пространстве введена декартова система координат , то

Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня (в случае плоского поля – линии уровня) – геометрическое место точек, в которых скалярная функция поля принимает одно и то же значение. Поверхность уровня данного поля определяется уравнением

Пример.

Построить поверхности уровня скалярного поля

Решение. Поверхности уровня определяются уравнением где . Это есть однопараметрическое семейство параллельных плоскостей.

Пример 2.

Найти линии уровня скалярного поля

Решение. Линии уровня определяются уравнениями При получаем пару прямых . При получаем семейство гипербол.

Дифференциальными характеристиками скалярного поля являются производная по направлению и градиент скалярного поля.

Пусть - единичный вектор данного направления . Обозначим - приращение скалярного поля в точке по направлению вектора (вектор одинаково направлен с вектором ). Обозначим длину вектора через .

Определение. Производная скалярного поля в точке по направлению , обозначаемая через , определяется соотношением

Отметим еще раз, что в этой формуле - направляющие косинусы вектора , по направлению которого вычисляется производная поля; частные производные вычисляются в точке .

Таким образом, производная скалярного поля по направлению характеризует скорость изменения поля в данном направлении, а сами частные производные характеризуют скорость изменения поля по направлениям координатных осей. Если , то поле возрастает в направлении вектора , если , то убывает.

Определение. Градиентом скалярного поля , обозначаемым символом , называется вектор, определяемый формулой

Отметим свойства градиента и связь между производной поля по направлению и градиентом поля:

· Производная поля по направлению равна проекции градиента на ось, определяемую вектором

.

· Градиент направлен в сторону возрастания поля, направление градиента является направлением быстрейшего изменения поля.

· Градиент скалярного поля в данной точке направлен по нормали к поверхности уровня поля, проходящей через эту точку.

Пример 1.

Найти производную поля в точке по направлению вектора , где .

Решение. Имеем , его длина - . Направляющие косинусы: , , . Далее , , , тогда ().

Ответ: , поле убывает в данном направлении.

 

 

Пример 2.

Найти угол между градиентами поля в точках и .

Решение. Имеем , ; , , ; , , . Обозначим искомый угол через , тогда: , и .

Ответ: .

Векторное поле

Определение. Если в каждой точке пространства или части пространства определена векторная величина , то говорят, что задано векторное поле.

Если в пространстве введена декартова система координат, то задание векторного поля равносильно заданию трех скалярных функций точки , так что

Геометрической характеристикой векторного поля является векторная линия.

Определение. Векторной линией векторного поля называется кривая, в каждой точке которой вектор направлен по касательной к этой кривой.

Пусть векторное поле определяется вектором

где

- непрерывные функции от , имеющие частные производные первого порядка.

Тогда дифференциальные уравнения векторных линий имеют вид

Проинтегрировав эту систему дифференциальных уравнений можно получить уравнения векторных линий поля.

Дифференциальными характеристиками векторного поля являются дивергенция и ротор векторного поля.

Определение. Дивергенцией векторного поля называется скалярная величина, обозначаемая символом , и определяемая формулой

Точки векторного поля , в которых , называются источниками, а точки, в которых , называются стоками векторного поля. Таким образом, дивергенция векторного поля характеризует распределение источников и стоков поля.

Пример.

Найти дивергенцию векторного поля в точке .

Решение. Имеем , , . Подставляя найденные значения частных производных в формулу для вычисления дивергенции, получим

Ответ: .

Определение. Ротором векторного поля называется вектор, обозначаемый символом и определяемый равенством

или в символической, удобной для запоминания, форме

Этот определитель обычно раскрывается по элементам первой строки, при этом операция умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимается как операция дифференцирования, например, .

Ротор (вихрь) векторного поля характеризует завихренность поля. Если в некоторой области имеем , то поле вектора в области называется безвихревым.

Пример.

Найти ротор векторного поля

Решение. Имеем

Ответ: .

Контрольная работа. Тема «Приложение кратных интегралов. Векторный анализ»

Задания

1. Найти объём тела, ограниченного заданными поверхностями (таб. 1).

2. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке (таб. 2).

3. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя) (таб. 3).

4. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура Г (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t) (таб. 4).

Пример выполнения контрольной работы. Вариант № 0

1. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Решение. Объем тела вычисляется по формулу:

Тело V ограничено снизу плоскостью , сверху параболическим цилиндром , боковая поверхность - круговой цилиндр с центром в точке и радиусом 1, .

Для вычисления интеграла удобно перейти к цилиндрическим координатам: .

Запишем уравнения границ в цилиндрических координатах:

1) ;

2)

.

Пределы изменения координат φ и ρ определяем по виду проекции области интегрирования V на плоскость xOy (Рис. 24). Пределы изменения угла φ будут от до . При любом фиксированном угле φ, полярный радиус ρ изменяется от 0 до (уравнение окружности). При каждом значении (φ,ρ) в области D значение координаты z для области V меняются от до .

Рис. 24

Таким образом,

Ответ: .

2. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке .

Решение. Градиент скалярного поля в данной точке - это вектор, определяемый равенством

.

Находим частные производные функции :

, ,

, ,

. Таким образом, .

Аналогично, находим градиент поля в точке :

, , . , , . .

Напомним, что угол между векторами и находится по формуле

.

Тогда: и .

.

.

. Получаем: , то есть угол между градиентами равен нулю.

Ответ: угол между градиентами скалярных полей и в точке равен 0.

3. Найти поток векторного поля через внешнюю сторону замкнутой поверхности .

Решение. Если векторное поле непрерывно дифференцируемо внутри замкнутой поверхности , то можно использовать формулу Гаусса – Остроградского для вычисления потока в направлении внешней нормали:

,

где V – тело, ограниченное замкнутой поверхностью S.

Найдем дивергенцию поля, которая вычисляется по формуле:

.

В нашем случае имеем: ; ; .

, , . Следовательно,

.

Тело V, границей которого является поверхность S, представляет собой треугольную пирамиду (Рис. 25) ограниченную координатными плоскостями и плоскостью ().

Рис. 25

Ответ: .

4. Найти циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура (в направлении, соответствующем возрастанию параметра ).

Решение. Если линия задана параметрически, т. е. , , то циркуляция поля равна:

В нашем случае , , .

, , .

Подставляя эти выражения в формулу для вычисления циркуляции, получаем:

.

Ответ: .

 

 

Варианты заданий контрольной работы

Таблица 1. Варианты задания 1

Вариант	Уравнения поверхностей	Вариант	Уравнения поверхностей
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, , , , ,		, , .
	, ,		, , ,
	1. , , ,		, ,
	, , , , ,		, , ,
	, ,		, , ,
	, , ,		, , ,
	, ,		, , ,
	, ,		, ,
	, , ,		, ,
	, ,		, , , ,
	, ,		, , , ,
	, , ,		, , ,
	, , z=0		, , ,

 

Таблица 2. Варианты задания 2

Вариант	Дано	Вариант	Дано
	, ,		,