Криволинейные координаты в пространстве. Замена переменных в тройном интеграле

Так же, как и в случае двойного интеграла при вычислении тройных интегралов в ряде задач для упрощения вычислений, оказывается удобным произвести замену переменных (или перейти к криволинейным координатам). Выбор новых координат определяется в первую очередь видом области интегрирования.

В общем случае криволинейные координаты вводятся системой

.

Тогда замена переменных в тройном интеграле осуществляется по формуле

, (8)

где V^* - образ области V при данном отображении.

- якобиан перехода к криволинейным координатам ( в области ).

Наиболее употребительными из криволинейных координат в пространстве являются:

· Цилиндрические координаты.

В случае цилиндрических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами (Рис. 12):

Рис. 12

r (полярный радиус)- длина вектора , где M1 – проекция точки M на плоскость xOy, j (полярный угол) – угол между осью Ox и вектором , z – аппликата точки M. Цилиндрические координаты связаны с декартовыми координатами соотношениями: , (9) .

Якобиан перехода к цилиндрическим координатам есть ,
Таким образом, формула (8) в случае перехода к цилиндрическим координатам имеет вид

(10),

где V^* образ области при данном отображении.

· Сферические координаты.

В случае сферических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами (Рис. 13):

Рис. 13

r - длина радиус- вектора , j – угол между осью Ox и вектором , где М1 проекция точки М на плоскость xOy, – угол между осью и вектором . Сферические координаты связаны с декартовыми координатами соотношениями: , (11) .

Якобиан перехода к сферическим координатам есть . Тогда формула перехода в тройном интеграле к сферическим координатам будет

(12),

где V^* - образ области при данном отображении.

Замечание 1. При расстановке пределов в цилиндрических координатах внешний интеграл берут, как правило, по j, следующий за ним по r и внутренний по z.

Замечание 2. При расстановке пределов интегрирования в сферических координатах внешний интеграл берут, как правило, по j, следующий за ним по q и внутренний по радиус-вектору r.

Пример 1.

Вычислить , где V область, ограниченная поверхностями: .

Решение. Область интегрирования V (Рис. 14) ограничена сверху плоскостью z=4, снизу параболоидом вращения с вершиной в точке (0,0,4) и боковая поверхность есть круговой цилиндр .

Так как проекцией области V на плоскость xOy является круг (Рис. 15), то при вычислении тройного интеграла целесообразно перейти к цилиндрическим координатам: .

 

Уравнение параболоида в цилиндрических координатах будет (так как ). Подынтегральная функция - . Предельные изменения координат φ и ρ определяем по виду проекции области интегрирования V на плоскость xOy (Рис.15). Очевидно, что изменение угла φ будет от 0 до 2π. При любом фиксированном угле φ полярный радиус ρ изменяется от 0 до 2. Любая прямая, проходящая через проекцию D, параллельно оси Oz, пересекает область интегрирования V в двух точках: в точке входа при и в точке выхода - при .

Таким образом,

Ответ:

Пример 2.

Вычислить , где .

Решение. Поверхность представляет собой сферу с центром в точке и радиусом (Рис. 16), т.к.

.

Для вычисления интеграла целесообразно перейти к сферическим координатам

.

Тогда уравнение сферы примет вид

.

Рис. 16

Подынтегральная функция в сферических координатах имеет вид: . Определим пределы изменения сферических координат φ, ρ, θ. Пусть М произвольная точка области V. Угол φ – это угол между проекцией радиус-вектора и осью Ох. Так как проекцией области V на плоскость xOy является круг, то, очевидно, что пределы изменения угла

φ будут от 0 до 2π. При каждом угол θ (угол между радиус-вектором и осью Oz) будет изменяться от 0 до . При любых φ и θ, из указанной области, ρ изменяется от 0 до (уравнение сферы).

Таким образом,

Ответ: