Получение формулы интеграла Мора

Рассмотрим балку, изображенную на рис. 15.6, а. Обозначим и , соответственно, изгибающий момент и поперечную силу, возникающие в заданной балке от действующей на нее группы нагрузок P. Пусть требуется определить прогиб балки () в точке K.

Введем в рассмотрение вспомогательную балку (та же балка, но нагруженная только единичной силой либо единичным изгибающим моментом). Нагрузим ее только одной силой (рис. 15.6, б). Единичную силу приложим в точке K, где нужно определить прогиб.

Внутренние усилия, возникающие во вспомогательной балке, обозначим и .

Воспользуемся теперь теоремой о взаимности работ, согласно которой работа внешних сил, приложенных к вспомогательной балке на соответствующих перемещениях заданной балки равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил заданной балки на соответствующих перемещениях вспомогательной балки. Тогда .

При определении перемещений в балке, как правило, можно пренебрегать влиянием поперечной силы, (не учитывать второе слагаемое).

Тогда, учитывая, что , окончательно получим формулу интеграла Мора: .

Определение перемещений по формуле интеграла Мора часто называют определением перемещений методом Мора, а саму формулу – интегралом Мора.

Входящие в интеграл Мора изгибающие моменты берутся в произвольном поперечном сечении и поэтому представляют собой аналитические функции от текущей координаты z.

Заметим, что если мы хотим в этой же точке K определить угол поворота поперечного сечения (), то нам необходимо к вспомогательной балке приложить не единичную силу, а единичный момент (рис. 15.6, в).

 

Правило Верещагина

Недостатком метода Мора является необходимость получать значения внутренних силовых факторов, входящих в подинтегральные выражения формул (2.18) и (2.19), в общем виде, как функций от z, что становится достаточно трудоемким уже при двух – трех участках разбиения в балках и особенно – в рамах.

Оказывается, что от этого недостатка можно уйти, если непосредственное интегрирование в формулах Мора заменить так называемым перемножением эпюр. Такая замена возможна в тех случаях, когда хотя бы одна из перемножаемых эпюр является прямолинейной. Этому условию соответствуют все системы, состоящие из прямолинейных стержней. Действительно, в таких системах эпюра, построенная от обобщенной единичной силы, всегда будет прямолинейной.

Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина и заключается в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь) умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой.

Докажем справедливость этого правила. Рассмотрим две эпюры (рис.28). Пусть одна из них (Mn) является грузовой и имеет криволинейное очертание, а вторая соответствует единичной нагрузке и является линейной.

Из рис.28 следует, что Подставим значения в выражение

где - дифференциал площади эпюры Mn.

Рис. 28

Интеграл представляет собой статический момент площади относительно оси О – О1, при этом:

где zc – абсцисса центра тяжести площади , тогда:

Учитывая, что получим:
(2.20)
Выражение (2.20) определяет результат перемножения двух эпюр, а не перемещения. Чтобы получить перемещение, этот результат нужно разделить на жесткость, соответствующую внутренним силовым факторам, стоящим под знаком интеграла.

 

17.6. Способ Верещагина При исследовании изгиба стержневых систем оказывается удобным для определения пе- ремещений использовать графо-аналитический метод, предложенный А. Н. Верещаги- ным (1924). Так как при определении линейных или угловых перемещений единичная на- грузка будет представлять собой либо силу, либо момент, то эпюра внутрен- него изгибающего момента для единичной системы всегда будет ограничена прямыми линиями. В этом случае интеграл Мора можно вычислить следую- щим образом. Пусть «грузовая» эпюра MP имеет криволиней- ное очертание, а «единичная» эпюра M1 пред- ставляет собой наклонную прямую (с углом наклона α). На «грузовой» эпюре MP на рас- стоянии x от начала координат выделим эле- мент шириной dx. Площадь этого элемента, очевидно, равна dA=MP·dx. «Единичный» мо- мент M1, соответствующий координате x, мож- но найти через тангенс угла α: 1 M x = ⋅ α tg. Запишем теперь интеграл Мора и подставим в него найденные соотношения: 1 MP ⋅ ⋅ M dx = dA⋅ x ⋅ tg α =tg α⋅ x ⋅ dA ∫ ∫ ∫. (17.9) Выражение под знаком последнего интеграла есть ничто иное, как статиче- ский момент «грузовой» эпюры относительно оси Oy ∫ Sy = x ⋅ dA. С другой стороны, статический момент можно найти как произведение пло- щади на координату центра тяжести «грузовой» эпюры Sy = xC ⋅ A. В этом случае интеграл (17.9) можно переписать так: 1 M M P C ⋅ ⋅ = dx A⋅ x ⋅ tg ∫ α. Произведение tg Cx ⋅ α представляет собой величину единичного момента в точке с координатой xC: 26 1 tg M x C = C ⋅ α. Таким образом, выражение для определения перемещения балки при изгибе по методу Верещагина запишем в следующем виде: ∑ ⋅ ⋅ ∆ = n E J A M C ос 1, (17.10) где А – площадь «грузовой» эпюры MP на данном участке; – величина «единичного» момента под центром тяжести «грузовой» эпюры на данном участке. M1C Для удобства использования выражения (17.10) запишем формулы для определения площади и координаты центра тяжести для некоторых характерных эпюр: а) прямоугольник – А=h·l, xC=l/2; б) треугольник – А=h·l/2, xC=l/3; в) вогнутая парабола – А=h·l/3, xC=l/4; г) выпуклая парабола – А=2·h·l/3, xC=3·l/8; д) полная парабола – А=2·h·l/3, xC=l/2. В качестве примера рассмотрим консольную балку длиной l, нагру- женную на конце силой F. Определим прогиб свободного края балки. Проанализируем две системы грузо- вую, – нагруженную только силой F, и единичную, – нагруженную единичной силой в направлении искомого пере- мещения. Построим для каждой из систем эпюру внутреннего изгибающего момента (MP и M1). Площадь «грузовой» эпюры найдем как A=F·l·l/2. Значение «единичного» момента под центром тяжести «грузовой» эпюры определим из пропорции 2 3. 1 M l C = ⋅ Тогда искомое перемещение z A z E J F l y E J F l ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 z E J A M C = ⋅ ⋅ ∆ = 3 1. Знак «плюс» показывает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы

 

23.Расчет бруса при изгибе и прочности

Во всех точках поперечного сечения бруса при поперечном изгибе возникают нормальные и касательные напряжения (на рис. 5.1,6 эти напряжения показаны в точках, отстоящих на расстоянии Y от оси X):

Рис. 5.1

Условные обозначения.

Mx, Q - внутренние усилия: изгибающий момент и поперечная сила, они изменяются вдоль бруса и определяются с помощью построения эпюр;

у - координата точек поперечного сечения, в которых определяются напряжения;

b - ширина сечения в месте определения касательных напряжений;

Jx - главный центральный момент инерции -момент инерции относительно центральной оси х,

сx* - статический момент относительно нейтральной оси ж той части площади поперечного сечения, которая расположена выше (или ниже) продольного сечения - выше или ниже уровня у, в точках которого определяются касательные напряжения.

Эти формулы выведены в главных центральных осях поперечного сечения бруса. На рис. 5.1 это оси X, У. При этом ось Y совпадает с осью симметрии сечения, а ось X, перпендикулярная плоскости изгиба, проходит через центр тяжести сечения и является нейтральной осью: нормальные напряжения в точках этой оси равны нулю. Ось Z - ось бруса.

Таким образом, на уровне у напряжения, определяемые вышеприведенными формулами, постоянны, не зависят от координаты X.

С увеличением координаты у нормальные напряжения увеличиваются и в наиболее удаленных от нейтральной оси точках достигают наибольшего значения:

Для расчетов используется специальная геометрическая характеристика - момент сопротивления сечения при изгибе:

Касательные напряжения, наоборот, уменьшаются и в наиболее удаленных от нейтральной оси точках обращаются в нуль, а а области нейтральной оси достигают наибольших значений (рис. 5.1,г). Кроме того, наибольшие значения касательных напряжений значительно меньше максимальных значений нормальных напряжений: так для консольного стержня прямоугольного поперечного сечения, нагруженного сосредоточенной силой на свободном конце, отношение максимальных значений этих напряжений

где l, h - длина бруса и высота его поперечного сечения.

Поэтому, при l >> h, что имеет место в большинстве случаев, касательные напряжения по сравнению с нормальными пренебрежимо малы и при расчетах на прочность не учитываются.

Условие прочности имеет следующий вид:

- допускаемое напряжение.

Процесс расчета бруса на прочность следует вести в определенной последовательности. При этом необходимо:

1. Определить весь комплекс внешних сил, в том числе и реакций опор. Прежде всего, необходимо определить все реакции опор, так как реакции входят в число внешних сил. Если при этом число реакций равно числу линейно независимых уравнений статики, то все реакции находятся из статических уравнений. 2. Построить эпюры внутренних усилий, по которым определить опасные сечения. Построение эпюр внутренних усилий выполняется с использованием метода сечений и начинается с деления бруса на участки. Границами участков служат места приложения сосредоточенных сил или моментов, места начала и конца действия распределенных нагрузок.

Далее на каждом участке выбирается произвольное сечение, для которого составляются выражения для определения внутренних усилий, по которым строятся эпюры (графики) этих усилий.

По эпюрам внутренних усилий определяются опасные сечения, в которых эти усилия достигают наибольших значений.

В большинстве случаев основным внутренним усилием при расчетах бруса на прочность является изгибающий момент и связанные с ним нормальные напряжения.

3. В опасных сечениях определить максимальные нормальные напряжения и для наибольшего из этих напряжений проверить выполнение условия прочности.

После определения положения опасных сечений с наибольшими значениями изгибающих моментов, в этих сечениях вычисляют наибольшие нормальные напряжения:

а) Для брусьев из пластичного материала, при равенстве по величине пределов текучести при растяжении и сжатии, наибольшие расчетные напряжения возникают в "опасных" точках, которые наиболее удалены от нейтральной оси.

Эти напряжения сравниваются с допускаемым напряжением :

после чего делается заключение о прочности бруса.

б) Если же брус изготовлен из хрупкого материала:, то в опасных сечениях наибольшие нормальные напряжения определяются и в растянутых, и в сжатых зонах поперечного сечения и путем сравнения их с соответствующими допускаемыми напряжениями при растяжении и сжатии :

решается вопрос о прочности бруса.