Замена переменной и интегрирование по частям под знаком неопределённого интеграла.

Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица основных неопределённых интегралов.

Функция F(x) наз. первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если F(x) дифференцируема на [a,b] и . Множество всех первообразных для данной ф-ции наз. неопределенным интегралом (НИ): . Свойства НИ: , ,

Таблица интегралов:

, , , , , , , , . Доп. св-ва НИ: ,

. ,

, .

Замена переменной и интегрирование по частям под знаком неопределённого интеграла.

, , t – новый аргумент; имеет обратную: t=ψ(x), .

, f(x)- произвольная ф-ция .

Интегрирование по частям: . Отметим, что метод применим к интегралам: и к инт-ам, содержащим обратные триг. ф-ции. Если подинт. выражение содержит многочлен, то этот многочлен берется за u, все ост. – dv. Если подинт. выражние содержит arcsin, arccos, т.е. трансценд. ф-ции, то эта ф-ция выбирается в кач. u, то же самое относится и к степеням трансц. ф-ции. Если встречается многочлен и тр. ф-ция, то u=многочлен.

3). Интегрирование дробей вида: ; ; ; , где .

1). , 2). , 3). .

4). , последний инт-л по рекуррентной ф-ле приведется к интегралу : .

4). Интегралы вида: и .

этот инт-л можно привести к инт-лу от рациональной ф-ции, введя замену: , q – наименьший общий знаменатель дробей: .

инт-л приводится к инт-лу от рац. ф-ции подстановкой: , s-наименьший общий знаменатель дробей: .

5). Интегралы вида: , .

.

. Последний инт-л был уже рассмотрен.

6). Интегралы вида: , .

Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении, чтобы привести инт-л к табличному: .

Пример: .

7). Интегралы вида: .

Тригонометрические подстановки при нахождении неопределённых интегралов.

I).

II).

III). , т.о. придем к инт-лу рац. ф-ции.

IV). Если подинт. ф-ция зависит только от tgx (или ее можно привести к такому виду), то: tgx=t.

V). Если sin и cos в четных степенях, то tgx=t, , .

VI). .

.

. Для нахождения каждого из интегралов с такими ф-лами используются эти преобразованиями.

VII). .

VIII).

IX). .

Интегрирование дифференциальных биномов.

рац. числа. П.А. Чебышев показал, что этот инт-л может быть выражен в простых ф-циях в 3-х случаях:

1.p-целое число -> x= , s-общий знам. m и n.

2. – целое число: , q – знаменатель др. p.

3. – целое число: , q – знаменатель др. p.

10). Понятие определённого интеграла, основные свойства определённого интеграла, его вычисление.

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная линиями. y=f(x), x=0, x=a, x=b. Подсчитаем S криволин. трап. хотя бы прближенно: 1). отрезок [a,b] разобьем точками деления =b.

. 2). внутри кажд. отрезка произвольным образом выберем т-ку и проведем к ней ┴ до пересечения с дугой AB. - интегральная сумма. Тогда площ. всей криволинейной трапеции: , если этот предел сущ-т и не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на части, ни от выбора точек в кажд. части, то он наз-ся определенным интегралом от ф-ции f(x)dx на отрезке [a,b]. Т.о. с геометрич. точки зрения введенный интеграл, представляет собой S криволин. трапеции: . Теорема 1. Если ф-ция f(x) непрерывна на [a,b], то она интегрируема на нем. По определению: . Основные св-ва ОИ (опред. инт-л): 1. , 2. , 3. если на [a,b] 2 непрерывных ф-ции f(x) и удовлетворяют , то , 4. если m и M есть соответственно наименьшее и наибольшее значения ф-ции f(x) на [a,b], M(b-a) , 5. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ: если f(x) интегрируема на [a,b], то внутри этого отрезка, то внутри [a,b] есть точка : , – среднее значение ф-ции f(x) на [a,b]. – S прямоуг. тр., основание кот. явл-ся ab, а высотой .

6. для любых точек a,b,c имеет место быть равенство: .рис->

7.если f(x) –четная ф-ция, то .

8.если f(x) – нечетная ф-ция, то .

Вычисление ОИ. Ф-ла Ньютога-Лейбница. Интеграл с переменным верхним пределом: . Теорема: производная от инт-ла с переменным верхним пределом = подинт. ф-ции, в кот. вместо переменной интегрирования подставлено значения верхнего предела. На основании этой теоремы получили ф-лу, дающую возможность вычислить ОИ (эта ф-ла устанавливает связь между НИ и ОИ). Пусть есть – ф-ла Ньютона-Лейбница. , .

Частные производные функции двух аргументов, их геометрический смысл.

Если ф-ция z=f(x,y) определена в нек. области D, тогда частное приращение . Частная производная (1-го порядка) называется предел отношения частного приращения к приращению аргумента: .

Геометрический смысл производных: частная производная ф-ции z=f(x,y) по х в т.() равна тангенсу угла с осью ОХ касательной к кривой, получаемой при пересечении с повехностью плоскости , , аналогично .

Формула Грина.

Связь между 2-м инт-ом по обл. D и КРИ по границе L этой обл. уст-т ф-ла Остроградского-Грина. Пусть на плоскости Oxy задана область D, ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, || корд. осям не более чем в 2-х точках, т.е. область D – правильная.

Теорема: если P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными и в обл. D, то имеет место ф-ла: , L – граница обл. D и интегр-ние кривой L производится в положит. напр. Эта ф-ла наз-ся Остроградского-Грина.

Замечание: ф-ла Грина справедлива и для произв. области, кот. можно разбить на конечное число правильных областей.

Теорема: пусть - ур. дуги AnB, а – ур. дуги AmB. Найдем сначала . По правилу вычисления 2-го инт-ла, имеем: . Аналогично док-ся, что . Отсюда можно вывести ф-лу Грина.

Градиент.

Вектор, указывающий направление , в кот. производная имеет наибольшее значение, наз-ся градиентом. Вектор, координатами кот. явл. значения частных производных ф-ции U(x,y,z) в точке M(x,y,z), наз-ют градиентом ф-ции и обозначают grad U, т.е.

. Отметим, что grad U есть вект. величина. Говорят: скал. поле U продолжает вект. поле градиента U. Теперь равенство можно записать в виде: , , - угол между вектором grad U и направлением . Из последней ф-лы следует, что произв. по напр. достигает наиб. значения, когда , т.е. . Т.о., направление град. совпадает с напр. , вдоль которого ф-ция (поле) меняется быстрее всего, т.е. градиент ф-ции указывает направление наибыстрейшего возрастаня ф-ции. Наибольшая скор. изменения ф-ции U в точке М равна:

. В этом сосотоит физ. смысл градиента.

Св-ва градиента ф-ции: 1. град. направлен по нормали к пов-ти кровня, проходящей через данную точку. 2. grad(U+V)=gradU+gradV. 3. grad(cU)=cgradU, c=const. 4. grad(UV)=UgradV+VgradU. 5. grad . 6. .

Замечание: эти св-ва градиента ф-ции справедливы и для плоского поля.

Поток векторного поля.

Пусть вект. поле образовано вектором . Представим, что нек. пов-ть S нах-ся в потоке и пропускает жикость. Подсчитаем кол-во жидк., кот. протекает через пов-ть S.

Выберем опред сторону пов-ти S. пусть - единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне пов-ти S. Разобьем пов-ть на эл-ные площ-ки . Выберем в кажд. площ-ке т. и вычислим зн-ния вектора скор. в кажд. точке. Будем приближенно считать кажд. площ-ку плоской, а пост. по модулю и одинаково направленным в кажд. т-ке площ-ки. Тогда за ед. вр. через протекает кол-во жидк., , где - площ. i-ой площ-ки, - высота i-ого цилиндра с образующей . Но явл-ся проекцией на нормаль : = , - единичный вектор нормали к пов-ти в т. . След-но, общее кол-во жидк., протекающее через всю пов-ть S за ед. вр., найдем вычислив сумму .

Независимо от физ. смысла поля полученный инт-л наз-ют потоком вект. поля.

Потоком вект. поля через пов-ть S – инт-л по пов-ти от скал. произв. вектора поля на ед. вектор нормали к поверхности, т.е.: .

Т.к. , где - проекции вектора на соответств. коорд. оси, то поток вектора: . Поток К вектора есть скал. вел-на. Вел-на К = объему жидк., кот. протекает через пов-ть S за ед. вр. В этом состоит физ.смысл потока.

Случай, когда пов-ть замкн. и огран-ет нек. объем V. Тогда поток вектора запис-ся: . В эт. случае за напр. вектора обычно берут напр. внешней нормали и говорят о потоке изнутри пов-ти S. Если вект. поле есть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкн. пов-ть дает разность между кол-ом жидк-ти, вытек-щей из обл. V и втекающей в нее в ед. вр. (в точках пов-ти S, где вект. линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вект-ом острый угол и ; в точках, где вект. линии входят в объем, ).

При этом если K>0, то из обл-ти V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это озн-ет, что внутри обл. имеются доп. ист-ки. Если К<0, то внутри обл. V есть стоки, поглощающие избыток жидкости. Если К=0, то из обл. V вытекает столько же жидк., сколько в нее втекает в ед. вр.; внутри обл. либо нет ни ист-ов, ни ст-ов, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.

Пример: найти поток вект-ра через верхнюю сторону треугольника, полученного при перес-нии плоскости 3x+6y-2z-6=0 с коорд. плоскостями. Решение: . Нормаль к верхней стороне треуг. образует с осью Ox тупой угол, Oy – тупой, Oz – острый. , на верхней стороне , поэтому надо выбрать знак -; получим: . Итак, . Находим их: . . . .

43. Формула Остроградского.

Используя понятия потока и дивергенции вект. поля, запишем ф-лу Остроградского-Гаусса: . Рассматривая обл. V, ограниченную замкн. пов-тью S, в вект. поле , можно утв-ть, что левая часть ф-лы Остроградского есть поток вектора через пов-ть S; подынтегр. ф-ция правой чати ф-лы есть дивергенция вектора . След-но ф-ла Остроградского может выглядеть так: (встречается чаще всего). Ф-ла Остроградского-Гаусса означает, что поток вект. поля через замкн. пов-ть S (в напр. внешней нормали, т.е. изнутри) равен 3-ому инт-лу от див. этого поля по объему V, ограниченному данной пов-тью. Используя ф-лу , можно дать другое определение дивергенции вект. поля в точке М.

По теореме о среднем для 3-ного инт-ла имеем: , – нек. (средняя) точка области V. Тогда ф-лу можно переписать: . Тогда: . Пусть пов-ть S стягивается в точку. Тогда и мы получим выр-ние для в точке М: .

44. Формула Стокса.

Пусть - граница этой пов-ти (нарисуй!!!). Пусть всякая прямая || оси Oz пересекает пов-ть в одной точке. Пусть в кажд. точке пов-ти определен единичный вектор нормали: . В кажд. точке пов-ти определен вектор . При указанных условиях имеет место так называемая ф-ла Стокса: . . Этот инт-л наз-ся циркуляцией вект-ра по этому контуру. Итак циркуляция вект. по границе λ пространственной обл. σ равна потоку вихря векторя по самой пов-ти σ, причем направление обхода контура должно быть согласовано с ориентацией пов-ти. -еще один способ выч-ния циркуляции вектора по нек. контуру.

Оператор Гамильтона.

Действия взятия градиента, дивергенции и ротора наз-ся векторными операциями 1-го порядка (в них уч. 1-ые произв). Их удобно записывать с пом. оператора Гамельтона: . Применяя опретор Гамильтона, получим дифф. операции 1-го порядка:

1. .

2. .

3. .

Оператор Лапласа.

Оператор Лпласа – дифф. оператор, действующий в лин. простр-ве гладких ф-ций и обозначаемый символом . Ф-ции F он ставит в соответствие ф-цию: . Оператор Лапласа послед-ному взятию градиента и дивергенции , т.о. значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.

 

 

Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица основных неопределённых интегралов.

Функция F(x) наз. первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если F(x) дифференцируема на [a,b] и . Множество всех первообразных для данной ф-ции наз. неопределенным интегралом (НИ): . Свойства НИ: , ,

Таблица интегралов:

, , , , , , , , . Доп. св-ва НИ: ,

. ,

, .

Замена переменной и интегрирование по частям под знаком неопределённого интеграла.

, , t – новый аргумент; имеет обратную: t=ψ(x), .

, f(x)- произвольная ф-ция .

Интегрирование по частям: . Отметим, что метод применим к интегралам: и к инт-ам, содержащим обратные триг. ф-ции. Если подинт. выражение содержит многочлен, то этот многочлен берется за u, все ост. – dv. Если подинт. выражние содержит arcsin, arccos, т.е. трансценд. ф-ции, то эта ф-ция выбирается в кач. u, то же самое относится и к степеням трансц. ф-ции. Если встречается многочлен и тр. ф-ция, то u=многочлен.

3). Интегрирование дробей вида: ; ; ; , где .

1). , 2). , 3). .

4). , последний инт-л по рекуррентной ф-ле приведется к интегралу : .

4). Интегралы вида: и .

этот инт-л можно привести к инт-лу от рациональной ф-ции, введя замену: , q – наименьший общий знаменатель дробей: .

инт-л приводится к инт-лу от рац. ф-ции подстановкой: , s-наименьший общий знаменатель дробей: .

5). Интегралы вида: , .

.

. Последний инт-л был уже рассмотрен.

6). Интегралы вида: , .

Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении, чтобы привести инт-л к табличному: .

Пример: .

7). Интегралы вида: .