Векторное поле. Дивергенция.

Если каждой точке точке М области простр-ва соответствует нек. вектор , то говорят, что задано векторное поле. Векторная линия – линия, касательная к которой в кажд. ее точке М имеет напр. соответствующего ей вектора . Векторная трубка – совокупность всех вект. линий поля, проходящих через нек. замкнутую кривую. Изучение вект. поля обычно начинают с изучения расположения его вект. линий. Векторные линии поля описываются сист. дифф. ур-ний вида . Действительно, пусть PQ – векторная линия поля, – ее радиус-вектор. Тогда вектор направлен по касательной к линии PQ в точке М. В силу коллинеарности векторов и следует пропорциональность их проекций, т.е.: .

Дивергенция (расходимость) – характеристика вект-го поля, определяющая распределение и интенсивность источников и стоков поля: дивергенцией в точке М наз-ся скаляр вида и обозначается:

Св-ва дивергенции: 1. если - пост. вектор, то .

2. , где с=const.

3. , т.е. дивергенция суммы 2-х векторных ф-ций равна сумме дивергенции слангаемых.

4. если U – скал. ф-ция, - вектор, то .

(1). Дивергенцией векторного поля в точке М наз-ся предел отношения потока поля через (замкнутую) пов-ть S, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой пов-тью, при условии, что вся пов-ть стягивается в точку М (). Это определение эквивав. . Исходя из физ. смысла потока, можно сказать, что точка М представ-т собой источник, откуда жидкость вытекает; при точка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из (1) хар-ет мощность источника или стока в т.М. Это и есть физ. смысл дивергенции. Ясно, что если в объеме V, ограниченном замкн. пов-тью S, нет ни источников, ни стоков, то Векторное поле, в кажд. т. кот. див. поля =0, , наз-ся соленоидальным (трубчатым).

Пример: найти див. поля лин. скоростей v жидкости, вращ-ся как ТВ. тело вокруг неподв. оси с пост. углов. скор. . Решение: примем ось вр. жидк. за ось Oz. Тогда, как, . Имеем: . Поле - соленоидальное.

 

Поток векторного поля.

Пусть вект. поле образовано вектором . Представим, что нек. пов-ть S нах-ся в потоке и пропускает жикость. Подсчитаем кол-во жидк., кот. протекает через пов-ть S.

Выберем опред сторону пов-ти S. пусть - единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне пов-ти S. Разобьем пов-ть на эл-ные площ-ки . Выберем в кажд. площ-ке т. и вычислим зн-ния вектора скор. в кажд. точке. Будем приближенно считать кажд. площ-ку плоской, а пост. по модулю и одинаково направленным в кажд. т-ке площ-ки. Тогда за ед. вр. через протекает кол-во жидк., , где - площ. i-ой площ-ки, - высота i-ого цилиндра с образующей . Но явл-ся проекцией на нормаль : = , - единичный вектор нормали к пов-ти в т. . След-но, общее кол-во жидк., протекающее через всю пов-ть S за ед. вр., найдем вычислив сумму .

Независимо от физ. смысла поля полученный инт-л наз-ют потоком вект. поля.

Потоком вект. поля через пов-ть S – инт-л по пов-ти от скал. произв. вектора поля на ед. вектор нормали к поверхности, т.е.: .

Т.к. , где - проекции вектора на соответств. коорд. оси, то поток вектора: . Поток К вектора есть скал. вел-на. Вел-на К = объему жидк., кот. протекает через пов-ть S за ед. вр. В этом состоит физ.смысл потока.

Случай, когда пов-ть замкн. и огран-ет нек. объем V. Тогда поток вектора запис-ся: . В эт. случае за напр. вектора обычно берут напр. внешней нормали и говорят о потоке изнутри пов-ти S. Если вект. поле есть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкн. пов-ть дает разность между кол-ом жидк-ти, вытек-щей из обл. V и втекающей в нее в ед. вр. (в точках пов-ти S, где вект. линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вект-ом острый угол и ; в точках, где вект. линии входят в объем, ).

При этом если K>0, то из обл-ти V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это озн-ет, что внутри обл. имеются доп. ист-ки. Если К<0, то внутри обл. V есть стоки, поглощающие избыток жидкости. Если К=0, то из обл. V вытекает столько же жидк., сколько в нее втекает в ед. вр.; внутри обл. либо нет ни ист-ов, ни ст-ов, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.

Пример: найти поток вект-ра через верхнюю сторону треугольника, полученного при перес-нии плоскости 3x+6y-2z-6=0 с коорд. плоскостями. Решение: . Нормаль к верхней стороне треуг. образует с осью Ox тупой угол, Oy – тупой, Oz – острый. , на верхней стороне , поэтому надо выбрать знак -; получим: . Итак, . Находим их: . . . .

43. Формула Остроградского.

Используя понятия потока и дивергенции вект. поля, запишем ф-лу Остроградского-Гаусса: . Рассматривая обл. V, ограниченную замкн. пов-тью S, в вект. поле , можно утв-ть, что левая часть ф-лы Остроградского есть поток вектора через пов-ть S; подынтегр. ф-ция правой чати ф-лы есть дивергенция вектора . След-но ф-ла Остроградского может выглядеть так: (встречается чаще всего). Ф-ла Остроградского-Гаусса означает, что поток вект. поля через замкн. пов-ть S (в напр. внешней нормали, т.е. изнутри) равен 3-ому инт-лу от див. этого поля по объему V, ограниченному данной пов-тью. Используя ф-лу , можно дать другое определение дивергенции вект. поля в точке М.

По теореме о среднем для 3-ного инт-ла имеем: , – нек. (средняя) точка области V. Тогда ф-лу можно переписать: . Тогда: . Пусть пов-ть S стягивается в точку. Тогда и мы получим выр-ние для в точке М: .

44. Формула Стокса.

Пусть - граница этой пов-ти (нарисуй!!!). Пусть всякая прямая || оси Oz пересекает пов-ть в одной точке. Пусть в кажд. точке пов-ти определен единичный вектор нормали: . В кажд. точке пов-ти определен вектор . При указанных условиях имеет место так называемая ф-ла Стокса: . . Этот инт-л наз-ся циркуляцией вект-ра по этому контуру. Итак циркуляция вект. по границе λ пространственной обл. σ равна потоку вихря векторя по самой пов-ти σ, причем направление обхода контура должно быть согласовано с ориентацией пов-ти. -еще один способ выч-ния циркуляции вектора по нек. контуру.

Оператор Гамильтона.

Действия взятия градиента, дивергенции и ротора наз-ся векторными операциями 1-го порядка (в них уч. 1-ые произв). Их удобно записывать с пом. оператора Гамельтона: . Применяя опретор Гамильтона, получим дифф. операции 1-го порядка:

1. .

2. .

3. .

Оператор Лапласа.

Оператор Лпласа – дифф. оператор, действующий в лин. простр-ве гладких ф-ций и обозначаемый символом . Ф-ции F он ставит в соответствие ф-цию: . Оператор Лапласа послед-ному взятию градиента и дивергенции , т.о. значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.