Вираження векторного добутку через координати.

Ми будемо використовувати таблицю векторного добутку векторів

			-
	-
		-

Щоб не помилитися з знаками користуйтеся схемою:

 

 

якщо напрямок найкоротшого шляху від першого вектора до другого збігається з напрямком стрілки, то добуток дорівнює третьому векторові, якщо не збігається — третій вектор береться зі знаком «мінус».

Нехай задані два вектори Знайдемо векторний добуток цих векторів, перемножуючи їх як багаточлени (згідно властивостей векторного добутку):

тобто

(3.1)

Отриману формулу можна записати ще коротше:

(3.2)

тому що права частина рівності (3.1) відповідає розкладанню визначника третього порядку по елементах першого рядка. Рівність (3.2) легко запам'ятовується.

Деякі застосування векторного добутку.

Встановлення колінеарності векторів

Якщо ║ , то (і навпаки), тобто

║ .

Знаходження площі паралелограма і трикутника

Відповідно до означення векторного добутку векторів і тобто а тому

Визначення моменту сили відносно точки

Нехай у точці прикладена сила і нехай

О — деяка точка простору (див. рис. 19).

 

рис. 19.

З фізики відомо, що моментом сили відносно точки називається вектор , що проходить через точку О і:

перпендикулярний площині, що проходить через

точки

2) чисельно дорівнює добуткові сили на плече

3) утворює праву трійку з векторами і

Отже

Знаходження лінійної швидкості обертання

Швидкість точки М твердого тіла, що обертається

з кутовою швидкістю навколо нерухомої осі, визначається формулою Ейлера ; де де

О — деяка нерухома точка осі (див. рис. 20).

рис. 20.

Тема 2.4. Мішаний добуток і його властивості.

Визначення мішаного добутку, його геометричний зміст.

Розглянемо добуток векторів і , складений в такий спосіб: Тут перші два вектори перемножуються векторно, а їхній результат скалярно на третій вектор. Такий добуток називається векторно-скалярним, або мішаним, добутком трьох векторів. Мішаний добуток являє собою деяке число.

З'ясуємо геометричний зміст виразу Побудуємо паралелепіпед, ребрами якого є вектори й і вектор (див. рис. 21.).

рис. 21.

Маємо: де - площа паралелограма, побудованого на векторах і , для правої трійки векторів і для лівої, де - висота паралелепіпеда. Одержуємо: , тобто , де V – об'єм паралелепіпеда, утвореного векторами і .

Таким чином, мішаний добуток трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, узятому зі знаком «плюс», якщо ці вектори утворюють праву трійку, і зі знаком «мінус», якщо вони утворюють ліву трійку.

Властивості мішаного добутку.

1. Мішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці його співмножників, тобто

Дійсно, у цьому випадку не змінюється ні об'єм паралелепіпеда, ні орієнтація його ребер.

2. Мішаний добуток не міняється при зміні місцями знаків векторного і скалярного множення, тобто

Дійсно, і . Знак у правій частині цих рівностей беремо той самий, тому що трійки векторів - однієї орієнтації. Отже, Це дозволяє записувати мішаний добуток векторів у виді без знаків векторного, скалярного множення.

3. Мішаний добуток змінює свій знак при зміні місць будь-яких двох векторів-співмножників, тобто , ,

Дійсно, така перестановка рівносильна перестановці співмножників у векторному добутку, що змінює в добутку знак.

4. Мішаний добуток ненульових векторів і дорівнює нулеві тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

□ Якщо то - компланарні.

Допустимо, що це не так. Можна було б побудувати паралелепіпед з обсягом Але тому що , те одержали б, що Це суперечить умові:

Назад, нехай вектори - компланарні. Тоді вектор буде перпендикулярний площини, у якій лежать вектори , і, отже, Тому тобто ■

Вираження мішаного добутку через координати.

Нехай задані вектори . Знайдемо їхній мішаний добуток, використовуючи вираження в координатах для векторного і скалярного добутку:

(4.1)

Отриману формулу можна записати коротше:

(4.2)

тому що права частина рівності (4.1) являє собою розкладання визначника третього порядку по елементах третього рядка.

Отже, мішаний добуток векторів дорівнює визначникові третього порядку, складеному з координат векторів, що перемножуються.