Властивості скалярного добутку.

1. Скалярний добуток володіє переставною властивістю:

□ , а . І тому що як добуток чисел і , то ■

2. Скалярний добуток має сполучну властивість щодо скалярного множина: .

□ .■

3. Скалярний добуток має розподільну властивість:

□ .■

4. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадратові його довжини:

□ ■

Зокрема: .

Якщо вектор піднести скалярно в квадрат і потім добути корінь, то одержимо не первісний вектор, а його модуль , тобто .

Приклад 2.1. Знайти довжину вектора якщо

○ .●

5. Якщо вектори і (ненульові) взаємно перпендикулярні, то їхній скалярний добуток дорівнює нулеві, тобто якщо , то . Справедливо і обернене твердження: якщо і ,то .

□ Тому що то Отже Якщо ж і то Звідси тобто .■

Зокрема:

Вираження скалярного добутку через координати.

Нехай задані два вектори

і

Знайдемо скалярний добуток векторів, перемножуючи їх як многочлени (що законно в силу властивостей лінійності скалярного добутку) і користуючись таблицею скалярного добутку векторів :

 

 

тобто

Отже, скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків їхніх однойменних координат.

Приклад 2.2. Довести, що діагоналі чотирикутника, заданого координатами вершин взаємно перпендикулярні.

○ Знайдемо вектори і , що лежать на діагоналях даного трикутника. Маємо: і Знайдемо скалярний добуток цих векторів:

Звідси випливає, що . Діагоналі чотирикутника взаємно перпендикулярні.●

Деякі застосування скалярного добутку.

Кут між векторами

Знаходження кута між ненульовими векторами і :

тобто

Звідси випливає умова перпендикулярності ненульових векторів і

Проекція вектора на заданий напрямок

Знаходження проекції вектора на напрямок, заданий вектором може здійснюватися по формулі

, тобто

Робота постійної сили

Нехай матеріальна точка переміщається прямолінійно з положення в положення під дією постійної сили , що утворює кут з переміщенням (див. рис. 14).

З фізики відомо, що робота сили при переміщенні дорівнює

рис. 14.

Таким чином, робота постійної сили при прямолінійному переміщенні її точки прикладання дорівнює скалярному добуткові вектора сили на вектор переміщення.

Приклад 2.3. Обчислити роботу, зроблену силою якщо точка її прикладання переміщається прямолінійно з положення в положення Під яким кутом до спрямована сила ?

○ Знаходимо Стало бути,

(од. роботи).

Кут між і знаходимо по формулі тобто

●

 

Тема 2.3. Векторний добуток вектора і його властивості.

Означення векторного добутку.

Три не компланарних вектори і , узятих в зазначеному порядку, утворять праву трійку, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого вектора видний, що здійснюється проти годинникової стрілки, і ліву, якщо по годинниковій (див. рис. 15).

 

рис.15.

Ø Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , що:

1) перпендикулярний векторам і , тобто

2) має довжину, чисельно рівну площі паралелограма, побудованого на векторах і як на сторонах. (див. рис. 16), тобто

;

3) вектори й утворюють праву трійку.

рис. 16. рис.17.

Векторний добуток позначається З означення векторного добутку безпосередньо випливають наступні співвідношення між ортами (див. рис.17):

Властивості векторного добутку.

1. При перестановці співмножників векторний добуток змінює знак, тобто (див. рис. 18).

□ Вектори колінеарні, мають однакові модулі (площа паралелограма залишається незмінної), але протилежно спрямовані (трійки протилежної орієнтації). Стало бути, .■

2. Векторний добуток має сполучну властивість щодо скалярного множника, тобто

рис.18.

□ Нехай . Вектор перпендикулярний векторам і Вектор також перпендикулярний векторам і (вектори , лежать в одній площині). Виходить вектори колінеарні. Очевидно, що і напрямку їх збігаються. Мають однакову довжину:

і

=

Тому Аналогічно доводиться при ■

3. Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нульовому векторові, тобто ║

□ Якщо ║ , то кут між ними дорівнює 0 або 180 . Але тоді Виходить,

Якщо ж , то Але тоді або , тобто ║ .■

v Зокрема,

4. Векторний добуток має розподільну властивість:

Приймемо без доведення.