Розкладання вектора по ортах координатних осей. Модуль вектора. Направляючі косинуси.

Розглянемо в просторі прямокутну систему координат Виділимо на координатних осях , й одиничні вектори (орти), що позначаються відповідно (див. рис. 11).

 

рис. 11.

Виберемо довільний вектор простору і сполучимо його початок з початком координат:

Знайдемо проекції вектора на координатні осі.

Проведемо через кінець вектора площини, паралельні координатним площинам. Точки перетину – цих площин з осями позначимо відповідно - через і Одержимо прямокутний паралелепіпед, однією з діагоналей якого є вектор . Тоді . По означенню суми декількох векторів знаходимо

А тому що то

(1.1)

Але

(1.2)

Позначимо проекції вектора на осі і відповідно через і тобто Тоді з рівності (1.1) і (1.2) одержуємо

(1.3)

Ця формула є основною у векторному численні і називається розкладанням вектора по ортах координатних осей. Числа називаються координатами вектора , тобто координати вектора є його проекції на відповідні координатні осі.

Векторну рівність (1.3) часто записують у символічному виді:

Рівність означає, що

Знаючи проекції вектора , можна легко знайти вираз для модуля вектора. Спираючись на теорему про довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда, можна записати тобто

(1.4)

Звідси

тобто модуль вектора дорівнює квадратному кореневі із суми квадратів його проект цій на осі координат.

Нехай кути вектора з осями і відповідно рівні По властивості проекції вектора на вісь, маємо

(1.5)

Або, що те ж саме,

Числа називаються направляючими косинусами вектора .

Підставимо вираз (1.5) у рівність (1.4), одержуємо

Скоротивши на , одержимо співвідношення

тобто сума квадратів направляючих косинусів ненульового вектора дорівнює одиниці.

Легко помітити, що координатамиодиничного вектора є числа тобто

Отже, задавши координати вектора, завждиможна визначити його модуль і напрямок, тобто сам вектор.

Дії над векторами, заданими проекціями.

Нехай вектори і задані своїми проекціями на осі координат або, що те ж саме

,

Лінійні операції над векторами

Тому що лінійні операції над векторами зводяться до відповідних лінійних операцій над проекціями цих векторів, то можна записати:

1. або коротко

Тобто при додаванні (відніманні) векторів їхні однойменні координати додаються (віднімаються).

2. або коротше

Тобто при множенні вектора на скляр координати вектора збільшуються на цей скляр.

Рівність векторів

З означення вектора як напрямленого відрізка, який можна пересувати в просторі паралельно самому собі, випливає, що два вектори і рівні тоді і тільки тоді, коли виконуються рівності: тобто

Колінеарність векторів

З'ясуємо умови колінеарності векторів і , заданих своїми координатами. Оскільки ║ , то можна записати де - деяке число. Тобто

Звідси

тобто або

Таким чином, проекції колінеарних векторів пропорційні. Вірно і зворотне твердження: вектори, що мають пропорційні координати, колінеарні.

Координати точки

Ø Нехай у просторі задана прямокутна декартова система координат Для будь-якої точки координати вектора називаються координатами точки .

Ø Вектор називається радіусом-вектором точки , позначається тобто Отже, координати точки – це координати її радіуса-вектора

або .

Координати точки записуються у виді

рис. 12.

Координати вектора

Знайдемо координати вектора якщо відомі координати точок і . Маємо (див. рис. 12.):

Отже, координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат його кінця і початку:

Тема 2.2. Скалярний добуток вектора і його властивості.

Означення скалярного добутку.

Ø Скалярнимдобутком двох ненульових векторів і називається число, рівне добуткові довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Позначається або . Отже, за означенням,

(2.1)

де

рис.13.

Формулі (2.1) можна надати інший вид. Тому що

,

(див. рис. 13.), а , то

, (2.2)

тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює модулеві одного з них, помноженому на проекцію іншого на вісь, співнаправлену з першим вектором.