Вектори у декартовій системі координат

У прямокутній декартовій системі координат розглянемо довільний вектор (рис..6).

Вектор називають полярним радіусом-вектором точки М. Спроектуємо цей вектор на координатні осі. Інакше кажучи, розкладемо вектор на складові вектори за координатними осями. Як показано на рис. 2.6 точки – проекції точки на відповідні координатні осі.

Вектори – складові вектора за відповідними координатними осями.

Рис. 2.6

Вектор є сумою векторів , тобто

.

(2.3)

Кожний з цих складових векторів можна надати у вигляді: , , , де – базисні вектори декартової системи координат у просторі. Підставляючи ці значення в (2.3), одержуємо:

,

(2.4)

де – скалярні величини, які називаються координатами радіус-вектора у заданому базисі.

Точка має координати свого радіус-вектора , тобто . Координати точки у просторі або її радіус-вектор однозначно вказують на її положення в просторі відносно вибраної системи координат.

Довільний вектор можна надати у вигляді:

.

(2.5)

Подання вектора у вигляді суми компонентів (2.5) називається розкладанням вектора за координатним базисом (рис. 2.7).

Довжина (модуль) вектора визначається за формулою

.	(2.6)
Рис. 2.7

На рисунку 2.7 вектор утворює з координатними осями кути відповідно. Тоді називаються напрямними косинусами вектора . Очевидно, напрямні косинуси та модуль вектора повністю визначають положення вектора у просторі. Враховуючи властивості проекції вектора на вісь, маємо:

, , ;	(2.7)
	(2.8)

Лінійні операції над векторами у координатній формі:

Дано вектори та :

1) додавання та віднімання

;	(2.9)
;	(2.10)

2) множення вектора на скаляр

.

(2.11)

Умови колінеарності двох векторів та визначаються співвідношенням

.

(2.12)

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком двох векторів та (рис. 2.8) називається скаляр, який дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними:

.	(2.13)
Рис. 2.8

Фізичне тлумачення скалярного добутку двох векторів полягає в тому, що такий добуток являє собою роботу, виконану при переміщенні матеріальної точки під дією одного вектора вздовж другого.

Беручи до уваги властивості проекції вектора на вісь, маємо (рис. 2.9)

.

(2.14)

Властивості скалярного добутку векторів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , якщо ;

6) добутки ортів , .

Якщо вектори задані в координатній формі та , то скалярний добуток векторів можна записати у вигляді (2.15)

.

(2.15)

Основні задачі, які розв’язуються з використанням скалярного добутку векторів:

1) довжина вектора

;

(2.16)

2) косинус кута між векторами

;

(2.17)

3) проекція вектора на інший вектор

;

(2.18)

4) умова перпендикулярності

.

(2.19)

Векторний добуток векторів

Векторним добутком векторів та називається вектор , який задовольняє умови:

– напрям вектора такий, що він перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори та , тобто ;

– вектор утворює з векторами та так звану праву трійку векторів, тобто вектор проведений так, що спостерігач бачить з його кінця найкоротший шлях від вектора до вектора проти годинникової стрілки (рис. 2.9);

– довжина вектора визначається за формулою (2.20)

.	(2.20)
Рис. 2.9

Геометричний зміст векторного добутку: модуль векторного добутку векторів дорівнює площі паралелограма, сторонами якого є дані вектори.

Властивості векторного добутку векторів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , якщо ;

6) добутки ортів , , , , , , .

Якщо вектори задані в координатній формі та , то векторний добуток векторів можна записати у вигляді (2.21)

.

(2.21)

Основні задачі, які розв’язуються з використанням векторного добутку векторів:

1) площа паралелограма, побудованого на векторах та

;

(2.22)

2) площа трикутника, побудованого на векторах та

;

(2.23)

3) висота паралелограма

;

(2.24)

4) висота трикутника

.

(2.25)

Змішаний добуток векторів

Змішаним (або векторно-скалярним) добутком трьох векторів , та називається сукупність операцій:

.

(2.26)

Змішаний добуток трьох векторів – це скалярний добуток одного з цих векторів на векторний добуток двох інших векторів.

Геометричний зміст змішаного добутку: модуль змішаного добутку трьох векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда (рис. 2.11), побудованого на цих векторах, як на його ребрах.

Рис. 2.11
	(2.27)

Якщо вектори задані в координатній формі , та , то змішаний добуток векторів можна записати у вигляді

.

(2.28)

Властивості змішаного добутку векторів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , якщо вектори , та компланарні;

5) , якщо вектори , та утворюють праву трійку векторів;

6) , якщо вектори , та утворюють ліву трійку векторів.

Основні задачі, які розв’язуються з використанням змішаного добутку векторів:

1) об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , та

;

(2.29)

2) об’єм піраміди, побудованої на векторах , та

;

(2.30)

3) висота паралелепіпеда

;

(2.31)

4) висота піраміди

.

(2.32)

Індивідуальне завдання за темою „Векторна алгебра”

Дано координати точок . Необхідно:

1. Знайти модуль та напрямок вектора у просторі.

2. Знайти кут між векторами та .

3. Знайти проекцію вектора на напрям вектора .

4. Знайти вектор , перпендикулярний до вектора і до .

5. Обчислити площу трикутника АВС.

6. Знайти висоту паралелограма, побудованого на векторах і .

7. Обчислити об’єм піраміди .

8. Перевірити, чи колінеарні вектори і .

9. Перевірити, чи ортогональні вектори і .

10. Перевірити, чи належать точки до однієї площини.

Варіант 1	(0; -1; 2)	(1; 2; 1)	(-3; 2; 1)	(0; 0; -1)	(2; 6; -3)
Варіант 2	(-1; 3; 0)	(2; 1; -1)	(3; -1; 2)	(1; -1; 3)	(5; 2; 2)
Варіант 3	(0; 3; 1)	(2; -1; 3)	(0; 2; 1)	(0; 1; 3)	(1; -1;-4)
Варіант 4	(-1; 2; 3)	(-1; 3; 0)	(0; -1; 2)	(-2;1;-1)	(5; 2; 3)
Варіант 5	(2; -2; 0)	(-2; -1;3)	(1; -2; 0)	(-1; 0; 1)	(7;-2; -5)
Варіант 6	(-2; 0;-1)	(1; -2; 0)	(0; 1; 1)	(2; 0; -3)	(-1; 1; 4)
Варіант 7	(0; 1; -2)	(2; 2; -1)	(-1; -1;0)	(-1;-1;0)	(5; 2; 3)
Варіант 8	(3; 1; -1)	(2; -1; 0)	(2; 1; 0)	(2; 1; 3)	(4; 0; 0)
Варіант 9	(3; 2; 0)	(1; -1; 1)	(2; 0; -1)	(2; 0; -1)	(6; 6; -3)
Варіант 10	(0; -3;-1)	(1; 0; -2)	(-1; 0; 2)	(0; 0; 1)	(-1; 1; 5)
Варіант 11	(2; 1; -2)	(1; 2; 3)	(0; 3; 1)	(-1;-2;-3)	(2;-5;-18)
Варіант 12	(0; 3; -2)	(1; -2; 1)	(-1; 0; 3)	(1; -2; 0)	(-4; 0; 4)
Варіант 13	(2; -1; 3)	(0; 1; -1)	(-2; 3; 1)	(0; -1; 0)	(1; -2; 2)
Варіант 14	(0; 2; -1)	(1; 3; -1)	(-2; 1; 0)	(3; 0; 1)	(0; -1; 3)
Варіант 15	(1; -1; 2)	(3; 1; -2)	(0; 1; -1)	(2; 3; 0)	(1; 2; 2)
Варіант 16	(1; 0; 2)	(-1; 2; 3)	(1; 0; -3)	(2; 1; -1)	(5; 3; -1)
Варіант 17	(1;-3;-2)	(0; -2; 1)	(2; -3; 1)	(-1; 0; 0)	(-4; 3; 9)
Варіант 18	(1; -2; 2)	(0; 1; 3)	(2; 1; -1)	(-3; 1; 0)	(6; 2; 0)
Варіант 19	(2; -1; 0)	(0; 1; 1)	(-2; 0; 1)	(-1;-1;-1)	(0; -2; 0)
Варіант 20	(-3; 0; 1)	(1;-2; -1)	(0; 3; 1)	(-2; 1; 0)	(1; 4; 2)
Варіант 21	(-3;1;-1)	(0; 2; 1)	(-1; 3; 2)	(2; -2; 2)	(-1;-3;0)
Варіант 22	(-1;-2;-3)	(2; 1; 0)	(0; 1; -1)	(-3;1;-1)	(-1; 1; 0)
Варіант 23	(-1; 0; 0)	(1; 2; -3)	(2; 0; -1)	(1; 3; -1)	(-1; 1; 2)
Варіант 24	(0; 0; -2)	(2; 1; -3)	(0; 1; -2)	(-2;-1;0)	(1; 4; 3)
Варіант 25	(-2;-1;-3)	(-3; 1; 0)	(2; 1; -1)	(0; 1; 3)	(-2; 5; 9)
Варіант 26	(0; 1; -4)	(2; 2; -3)	(-1;3; -1)	(1; 1; 1)	(-2; 4; 0)
Варіант 27	(-3;0;1)	(-2; 1; 3)	(0;-1; -2)	(-1;-2;-5)	(1; 0; 3)
Варіант 28	(3; 0; -2)	(2; 1; -3)	(-1; 0; 2)	(2;-1;-1)	(2; 0; -1)
Варіант 29	(-4; 0; 3)	(-3; 1; 2)	(-1; 0; 2)	(0; -3; 1)	(-3; 0; 4)
Варіант 30	(2; 2; 2)	(3; 2; 0)	(-1; 3;-1)	(-2;-1;3)	(-1;-1;-1)