Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

За допомогою систем лінійних алгебраїчних рівнянь моделюється переважна більшість практичних задач з економіки.

,

(1.14)

де – коефіцієнти рівняння; – невідомі рівняння; – вільні члени рівняння.

Розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь називають таку сукупність чисел, яка перетворює всі рівняння (1.14) на числові тотожності.

Якщо права частина (1.14) дорівнює нулю , то систему рівнянь називають однорідною, або неоднорідною, якщо .

Система рівнянь (1.14) називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо не має жодного розв’язку.

Складемо визначник третього порядку з коефіцієнтів систем – головний визначник системи:

.

(1.15)

Можливі наступні випадки розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

1) , тоді система (1.14) має єдиний розв’язок, який можна знайти або за формулами Крамера, або методом Гаусса, або матричним способом;

2) , тоді система (1.14) або несумісна, або має безліч розв’язків.

Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за формулами Крамера: необхідно скласти три визначники третього порядку з головного визначника (1.15) шляхом перестановки замість 1, 2, 3–го стовпця стовпець вільних членів – це додаткові визначники

.

(1.16)

За формулами Крамера розв’язок системи рівнянь (1.14) має такий вигляд:

.

(1.17)

Метод Гаусса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь: метод послідовних вилучень невідомих, запропонований Гауссом можна розглянути на прикладі системи (1.14), поділивши перше рівняння на , друге – на , третє – на , матимемо:

,

(1.18)

де . Віднявши від другого і третього рівняння перше, дістанемо

,

(1.19)

де .

Поділивши перше рівняння на , а друге – на , отримаємо

.

(1.20)

Віднявши перше рівняння від другого, дістанемо

,

(1.21)

звідки

.

(1.22)

Тепер можна знайти та .

Матричний метод розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь: якщо систему (1.14) записати в матричній формі

.

(1.23)

де – матриця коефіцієнтів системи;

– матриця невідомих;

– матриця вільних членів.

.

(1.24)

Помножимо (1.23) на обернену матрицю . Оскільки , то дістанемо матричний спосіб розв’язування систем:

.

(1.25)

Розглянемо однорідну систему рівнянь:

.

(1.26)

Складемо головний визначник системи. При розв’язанні системи (1.26) можуть бути випадки:

1) , тоді система (1.26) має єдиний нульовий розв’язок, тобто ;

2) , тоді система (1.26) може мати безліч ненульових розв’язків, тобто буде неозначеною. У цьому випадку одне з рівнянь системи є лінійною комбінацією двох інших і може бути відкинуте. Тоді система буде складатися з двох рівнянь з трьома невідомими і матиме, наприклад, вигляд:

.

(1.27)

Нехай із трьох визначників другого порядку цієї системи хоча б один не дорівнює нулеві, наприклад, визначник із коефіцієнтів при невідомих та :

.

(1.28)

Тоді система (1.27) є невизначеною і має безліч розв’язків, які знаходять за формулами:

.

(1.29)

де , , – довільне дійсне число.

Може бути випадок, коли усі три визначники системи (1.27) дорівнюють нулю. Тоді одне з рівнянь системи є наслідком іншого і може бути відкинуто. Залишається одне рівняння системи (1.27), наприклад, перше. Якщо, наприклад, , то система має розв’язок, що знаходять за формулами:

,

(1.30)

де – довільні дійсні числа.

Індивідуальне завдання за темою „Лінійна алгебра”

Завдання І. Задані матриці . Необхідно:

1. Знайти величину визначника матриці () трьома способами:

а) використавши правило трикутника (правило Саррюса);

б) розклавши визначник за елементами того рядка, який містить нуль;

в) одержавши два нулі в будь-якому рядку і розклавши визначник по елементах цього рядка.

2. Знайти матрицю , якщо , де – одинична матриця третього порядку.

3. Знайти два можливі добутки, утворені з матриць .

4. Знайти матрицю , обернену до матриці .

Варіант 1
Варіант 2
Варіант 3
Варіант 4
Варіант 5
Варіант 6
Варіант 7
Варіант 8
Варіант 9
Варіант 10
Варіант 11
Варіант 12
Варіант 13
Варіант 14
Варіант 15
Варіант 16
Варіант 17
Варіант 18
Варіант 19
Варіант 20
Варіант 21
Варіант 22
Варіант 23
Варіант 24
Варіант 25
Варіант 26
Варіант 27
Варіант 28
Варіант 29
Варіант 30

Завдання ІІ. Знайти величину визначника четвертого порядку, скориставшись його властивостями та одержавши три нулі в будь-якому рядку.

Варіант 1	Варіант 2	Варіант 3
Варіант 4	Варіант 5	Варіант 6
Варіант 7	Варіант 8	Варіант 9
Варіант 10	Варіант 11	Варіант 12
Варіант 13	Варіант 14	Варіант 15
Варіант 16	Варіант 17	Варіант 18

 

Варіант 19	Варіант 20	Варіант 21
Варіант 22	Варіант 23	Варіант 24
Варіант 25	Варіант 26	Варіант 27
Варіант 28	Варіант 29	Варіант 30

Завдання ІІІ. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь трьома способами:

а) за формулами Крамера;

б) методом Гаусса;

в) методом оберненої матриці.

Варіант 1	Варіант 2	Варіант 3
Варіант 4	Варіант 5	Варіант 6
Варіант 7	Варіант 8	Варіант 9
Варіант 10	Варіант 11	Варіант 12

 

 

Варіант 13	Варіант 14	Варіант 15
Варіант 16	Варіант 17	Варіант 18
Варіант 19	Варіант 20	Варіант 21
Варіант 22	Варіант 23	Варіант 24
Варіант 25	Варіант 26	Варіант 27
Варіант 28	Варіант 29	Варіант 30

Розділ 2. Векторна алгебра