Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола та парабола

Коло – це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки , яку називають центром кола; – радіус кола.

Рівняння кола має вид (3.12). Якщо центр кола співпадає з початком координат, то рівняння кола має вид (3.13)

	;	(3.12)
.	(3.13)
Рис. 3.5

Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней яких від двох заданих точок та , що називаються фокусами, є величина стала , причому ця величина більша за відстань між фокусами.

	та – фокуси еліпса; – велика піввісь; – мала піввісь; – фокусна відстань; – ексцентриситет; – рівняння директрис.
Рис. 3.6

Канонічне рівняння еліпса з фокусами на осі має вид

.

(3.14)

Основна властивість еліпса полягає у співвідношенні

.

(3.15)

Форма еліпса характеризується ексцентриситетом. Значення ексцентриситету оцінює «сплющеність» еліпса.

.

(3.16)

Якщо , то при маємо коло, при , – відрізок. Це випадки виродженого еліпса.

Відстань деякої точки еліпса до його фокусів називаються фокальними радіусами:

– правий, – лівий,	(3.17)
.	(3.18)

Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких від двох заданих точок та , що називаються фокусами, є величина стала , причому ця величина менша за відстань між фокусами.

	та – фокуси гіперболи; – дійсна піввісь; – уявна піввісь; – фокусна відстань; – ексцентриситет; – рівняння директрис; – рівняння асимптот.
Рис. 3.7

Канонічне рівняння гіперболи з фокусами на осі має вид

.

(3.19)

Основна властивість гіперболи полягає у співвідношенні

.

(3.20)

Значення ексцентриситету гіперболи

.

(3.21)

Відстань деякої точки гіперболи до його фокусів називаються фокальними радіусами:

– правий, – лівий,	(3.22)
.	(3.23)

Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки , яка називається фокусом, і від заданої прямої , яка називається директрисою.

	– фокус параболи;   – рівняння директриси.
Рис. 3.8

Канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі має вид

.

(3.24)

Якщо , то вітки параболи розташовані праворуч, а якщо – ліворуч.

Парабола симетрична відносно осі : якщо , то вітки даної параболи розташовані догори, а якщо – донизу.

Індивідуальне завдання за темою „Аналітична геометрія на площині”

Завдання І. Задані координати вершин трикутника АВС. Знайти:

1) рівняння сторони АВ, записати його у вигляді рівняння у відрізках;

2) рівняння прямої BK, що проходить через точку В паралельно стороні АС;

3) рівняння висоти СD та її довжини;

4) кут між висотою CD та медіаною ВМ;

5) побудувати усі лінії.

Варіант 1	A (6;2)	B (30;-5)	C (12;19)
Варіант 2	A (4;3)	B (-12;-9)	C (-5;15)
Варіант 3	A (-1;7)	B (11;2)	C (17;10)
Варіант 4	A (1;1)	B (-15;11)	C (-8;13)
Варіант 5	A (-14;10)	B (10;3)	C (-8;27)
Варіант 6	A (7;1)	B (-5;-4)	C (-9;-1)
Варіант 7	A (-2;1)	B (-18;-11)	C (-11;13)
Варіант 8	A (10;-1)	B (-2;-6)	C (-6;-3)
Варіант 9	A (-12;6)	B (12;-1)	C (-6;23)
Варіант 10	A (8;0)	B (-4;-5)	C (-8;-2)
Варіант 11	A (11;0)	B (-5;4)	C (-1;-1)
Варіант 12	A (10;2)	B (-6;6)	C (-2;1)
Варіант 13	A (14;0)	B (-2;4)	C (2;-1)
Варіант 14	A (13;2)	B (-3;6)	C (1;1)
Варіант 15	A (11;3)	B (-5;7)	C (-1;2)
Варіант 16	A (13;-1)	B (-3;3)	C (1;-2)
Варіант 17	A (11;-2)	B (-5;6)	C (-1;1)
Варіант 18	A (13;0)	B (-3;4)	C (1;-1)
Варіант 19	A (11;-1)	B (-5;3)	C (-1;-2)
Варіант 20	A (13;3)	B (-3;7)	C (1;2)
Варіант 21	A (6;2)	B (30;-5)	C (12;19)
Варіант 22	A (4;3)	B (-12;-9)	C (-5;15)
Варіант 23	A (-1;7)	B (11;2)	C (17;10)
Варіант 24	A (1;1)	B (-15;11)	C (-8;13)
Варіант 25	A (-14;10)	B (10;3)	C (-8;27)
Варіант 26	A (7;1)	B (-5;-4)	C (-9;-1)
Варіант 27	A (-2;1)	B (-18;-11)	C (-6;-3)
Варіант 28	A (10;-1)	B (-2;-6)	C (-6;23)
Варіант 29	A (-12;6)	B (12;-1)	C (-6;23)
Варіант 30	A (8;0)	B (-4;-5)	C (-8;-2)

Завдання ІІ. Звести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку, визначити її вид та знайти всі її параметри. Побудувати криву другого порядку.

Варіант 1
Варіант 2
Варіант 3
Варіант 4
Варіант 5
Варіант 6
Варіант 7
Варіант 8
Варіант 9
Варіант 10
Варіант 11
Варіант 12
Варіант 13
Варіант 14
Варіант 15
Варіант 16
Варіант 17
Варіант 18
Варіант 19
Варіант 20
Варіант 21
Варіант 22
Варіант 23
Варіант 24
Варіант 25
Варіант 26
Варіант 27
Варіант 28
Варіант 29
Варіант 30

Завдання ІІІ

Варіант 1	Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що еліпс проходить через точку А(0;-3) та його ексцентриситет дорівнює .
Варіант 2	На параболі знайти точку, відстань якої від директриси дорівнює 10.
Варіант 3	Скласти рівняння кола, що проходить через лівий фокус еліпса і має центр у точці А(-1;-3).

 

Варіант 4	Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що точки А(;0) та В(;1) лежать на гіперболі.
Варіант 5	Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо його фокуси F1(0; 0), F2(1; 1), а його велика вісь дорівнює 2.
Варіант 6	Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що парабола симетрична відносно осі ординат ОY та проходить через точки O(0;0) і N(6;-2).
Варіант 7	Скласти рівняння кола, що проходить через точку О(0;0) і має центр в точці А, де А – вершина параболи .
Варіант 8	Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що відстань між вершинами дорівнює 8, а відстань між фокусами дорівнює 10.
Варіант 9	Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що його мала вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами дорівнює 10.
Варіант 10	Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що парабола симетрична відносно осі абсцис та проходить через точки O(0;0) і М(1;-4).
Варіант 11	Скласти рівняння кола, що проходить через лівий фокус гіперболи і має центр у точці А(0;-3).
Варіант 12	Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що дійсна вісь гіперболи дорівнює 5, а вершини ділять відстань між центром і фокусом навпіл.
Варіант 13	Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через дві точки А(3;0) та В(2; ).
Варіант 14	Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що парабола має фокус Р(0;2) та вершину в точці О(0;0).
Варіант 15	Скласти рівняння кола, що проходить через фокуси гіперболи і має центр у точці А(0;-8).
Варіант 16	Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що дійсна вісь дорівнює 6, і гіпербола проходить через точку А(9;-4).
Варіант 17	Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що відстань між фокусами дорівнює 6, а ексцентриситет дорівнює .
Варіант 18	Скласти рівняння параболи, якщо відоме рівняння директриси кривої .
Варіант 19	Скласти рівняння кола, що проходить через фокуси еліпса і має центр у точці А, де А – його верхня вершина.
Варіант 20	Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2, а фокуси співпадають з фокусами еліпса з рівнянням .

 

Варіант 21	Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що відстань між фокусами дорівнює 4, а відстань між директрисами дорівнює 5.
Варіант 22	Скласти рівняння параболи, якщо відоме рівняння директриси кривої .
Варіант 23	Скласти рівняння кола, що проходить через фокуси еліпса і має центр у точці А(0;6).
Варіант 24	Скласти канонічне рівняння гіперболи, вершини та фокуси якої знаходяться у відповідних фокусах і вершинах еліпса .
Варіант 25	Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що відстань між директрисами дорівнює 32, а ексцентриситет дорівнює 0,5.
Варіант 26	Скласти канонічне рівняння параболи, якщо вона має вісь симетрії ОХ та проходить через точку А(-2;6).
Варіант 27	Скласти рівняння кола, що проходить через правий фокус еліпса і має центр у точці А(1;7).
Варіант 28	Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомі рівняння її асимптот та фокусна відстань дорівнює .
Варіант 29	Скласти канонічне рівняння еліпса, що має вершини в фокусах, а фокуси у вершинах гіперболи .
Варіант 30	Скласти рівняння кола, що проходить через вершини гіперболи і має центр у точці А(0;4).