Розділ 4. аналітична геометрія у просторі

Площина у просторі

Площина у просторі задається рівнянням першого порядку. Будь-яке лінійне рівняння зі змінними можна розглядати як рівняння у декартових координатах площини у просторі. Існують різні форми рівняння площини:

1. Рівняння площини, що проходить через задану точку та перпендикулярно вектору :

.

(4.1)

2. Загальне рівняння площини:

.

(4.2)

Якщо у рівнянні (4.2) відсутній доданок з якою-небудь змінною, то площина паралельна відповідній координатній осі.

Якщо у рівнянні (4.2) відсутні додатки з двома змінними, то площина паралельна відповідній координатній площині.

Якщо у загальному рівнянні площини відсутній вільний член, тобто рівняння має вигляд , то площина проходить через початок координат.

3. Рівняння площини, яка проходить через три задані точки , та :

.

(4.3)

4. Рівняння площини у відрізках на осях:

,

(4.4)

де – координати точок перетину площини з осями відповідно.

5. Нормальне рівняння площини:

,

(4.5)

де – відстань від початку координат до площини; - кути, які створює нормаль проведена з початку координат з осями .

6. Відстань від точки до площини, заданої рівнянням виду (4.2):

.

(4.6)

Умовою паралельності двох площин є колінеарність їх нормалей

.

(4.7)

Умовою перпендикулярності двох площин є перпендикулярність їх нормалей

.

(4.8)

Кут між площинами дорівнює гострому куту між їх нормалями та

.

(4.9)

Пряма у просторі

Пряму у просторі можна розглядати як лінію перетину двох площин; лінію, будь-які точки якої задають вектор, колінеарний заданому, або траєкторію руху зі сталою швидкістю заданої точки. Різні форми рівнянь прямої у просторі:

1. Загальне рівняння прямої, яка задається як лінія перетину двох площин з нормалями та

.

(4.10)

2. Канонічне та параметричне рівняння прямої

,	(4.11)
.	(4.12)

Пряма, що задана рівняннями виду (4.11) або (4.12), проходить через задану точку з напрямним вектором , який паралельний даній прямій.

3. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки та

.

(4.13)

Кут між двома прямими – це гострий кут, який створено напрямними векторами цих прямих

.

(4.14)

Умовою паралельності двох прямих є колінеарність їх напрямних векторів

.

(4.15)

Умовою перпендикулярності двох прямих є перпендикулярність їх напрямних векторів

.

(4.16)

Гострий кут , який створений нормаллю до площини, заданої рівняння , та напрямним вектором прямої, доповнює кут між прямою та площиною до 90⁰

.

(4.17)

Умовою перпендикулярності прямої та площини є колінеарність нормалі до площини та напрямного вектора прямої

.

(4.18)

Умовою паралельності прямої та площини є перпендикулярність нормалі до площини та напрямного вектора прямої :

.

(4.19)

Індивідуальне завдання за темою „Аналітична геометрія у просторі”

Завдання І. Дано рівняння площини. Знайти:

1) нормальний вектор площини;

2) записати рівняння площини у відрізках;

3) записати рівняння площини в нормальному вигляді;

4) перевірити, чи лежить точка М на площині;

5) побудувати площину.

Варіант 1		(0; 1; -2)
Варіант 2		(2; 1; 2)
Варіант 3		(1; 1; 0)
Варіант 4		(-2; 4; 1)
Варіант 5		(0; 0; 2)
Варіант 6		(1; 2; 3)
Варіант 7		(1; 1; -1)
Варіант 8		(3; 2; 1)
Варіант 9		(2; 1; 1)
Варіант 10		(1; 3; 1)
Варіант 11		(1; 5; -1)
Варіант 12		(2; 1; 1)
Варіант 13		(1; -1; 2)
Варіант 14		(1; 0; 2)
Варіант 15		(1; 3; 2)
Варіант 16		(1; 2; 2)
Варіант 17		(2; 1; 2)
Варіант 18		(0; 3; 1)
Варіант 19		(1; -1; 1)
Варіант 20		(0; 0; -5)
Варіант 21		(5; 3; 1)
Варіант 22		(0; 5; -2)
Варіант 23		(5; 3; 0)
Варіант 24		(1; 1; 1)
Варіант 25		(1; 0; -1)
Варіант 26		(0; 0; 1)
Варіант 27		(0; 0; -1)
Варіант 28		(4; 1; -1)
Варіант 29		(0; 2; 2)
Варіант 30		(1; -1; -1)

Завдання ІІ. Знайти рівняння площини, що проходить через точки і відстань від точки до цієї площини.

Варіант 1	(1; 1; -1)	(2; 3; 1)	(3; 2; 1)	(-3; -7; 6)
Варіант 2	(1; 5; -7)	(-3; 6; 3)	(-2; 7; 3)	(1; -1; 2)
Варіант 3	(2; 3; 1)	(4; 1; -2)	(6; 3; 7)	(-5; -4; 8)
Варіант 4	(1; 1; 2)	(-1; 1; 3)	(2; -2; 4)	(2; 3; 8)
Варіант 5	(2; -1; 2)	(1; 2; -1)	(5; 2; 6)	(-13;-8;-16)
Варіант 6	(14; 4; 5)	(-5; -3; 2)	(-2; -6; -3)	(-1; -8; 7)
Варіант 7	(-2; 0; -4)	(-1; 7; 1)	(4; -8; -4)	(-6; 5; 5)
Варіант 8	(2; -1; -2)	(1; 2; 1)	(5; 0; -6)	(14; -3; 7)
Варіант 9	(5; 2; 0)	(2; 5; 0)	(1; 2; 4)	(-3; -6; -8)
Варіант 10	(0; -1; -1)	(-2; 3; 5)	(1; -5; -9)	(-4; -13; 6)
Варіант 11	(-1; -5; 2)	(-6; 0; -3)	(3; 6; -3)	(10; -8; -7)
Варіант 12	(-3; 4; -7)	(1; 5; -4)	(-5; -2; 0)	(-12; 7; -1)
Варіант 13	(-1; 2; -3)	(4; -1; 0)	(2; 1; -6)	(1; -6; -5)
Варіант 14	(-3; -1; 1)	(-9; 1; -2)	(3; -5; 4;)	(-7; 0; -1)
Варіант 15	(1; -1; 1)	(-2; 0; 3)	(2; 1; -1)	(-2; 4; 2)
Варіант 16	(1; 2; 0)	(1; -1; 2)	(0; 1; -1)	(2; -1; 4)
Варіант 17	(1; 0; 2)	(1; 2; -1)	(2; -2; 1)	(-5; -9; 1)
Варіант 18	(1; 0; 1)	(-2; -1; 6)	(1; 2; -3)	(3; -2; 9)
Варіант 19	(-2; 3; -5)	(-6; 0; -3)	(3; 10; -1)	(-6; 7; -10)
Варіант 20	(-1; -2; -4)	(-1; 2; 4)	(3; 0; -1)	(-2; 3; 5)
Варіант 21	(-4; 1; 2)	(0; -3; 1)	(2; -1; 5)	(-3; 4; 5)
Варіант 22	(-4; 1; 2)	(0; -3; 1)	(2; -1; 5)	(-3; 4; 5)
Варіант 23	(0; 3; 2)	(-2; -1; -1)	(3; 1; -4)	(-11; 10; 6)
Варіант 24	(-3; -5; 6;)	(2; 1; -4)	(0; -3; -1)	(3; 6; 8)
Варіант 25	(2; -4; -3)	(5; -6; 0)	(-1; 3; -3)	(2; -10; 8)
Варіант 26	(1; -1; 2)	(2; 1; 2)	(1; 1; 4)	(-3; 2; 7)
Варіант 27	(1; 3; 6)	(2; 2; 1)	(-1; 0; 1)	(5; -4; 5)
Варіант 28	(-4; 2; 6)	(2; -3; 0)	(-1; 5; 8)	(-12; 1; 8)
Варіант 29	(2; 1; 4)	(7; 5; -2)	(-7; -3; 2)	(-3; 1;8)
Варіант 30	(7; -1; 2)	(7; 2; 4)	(-5; -2; -1)	(10; 1;8)

Завдання ІІІ. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору . Записати рівняння у канонічному та параметричному виді.

Варіант 1	A (1; 0; -2)	B (2; -1; 3)	C (0; -3; 2)
Варіант 2	A (-1; 3; 4)	B (-1; 5; 0)	C (2; 6; 1)
Варіант 3	A (4; -2; 0)	B (1; -1; -5)	C (-2; 1; -3)
Варіант 4	A (-8; 0; 7)	B (-3; 2; 4)	C (-1; 4; 5)
Варіант 5	A (7; -5; 1)	B (5; -1; -3)	C (3; 0; -4)
Варіант 6	A (-3; 5; -2)	B (-4; 0; 3)	C (-3; 2; 5)
Варіант 7	A (1; -1; 8)	B (-4; -3; 10)	C (-1; -1; 7)
Варіант 8	A (-2; 0; -5)	B (2; 7; -3)	C (1; 10; -1)
Варіант 9	A (1; 9; -4)	B (5; 7; 11)	C (3; 5; 0)
Варіант 10	A (-7; 0; 3)	B (1; -5; -4)	C (2; -3; 0)
Варіант 11	A (0; -3; 5)	B (-7; 2; 6)	C (-3; 2; 4)
Варіант 12	A (5; -1; 2)	B (2; -4; 3)	C (4; -1; 3)
Варіант 13	A (-2; 0; -5)	B (2; 7; -3)	C (1; 10; -1)
Варіант 14	A (0; -2; 8)	B (4; 3; 2)	C (1; 4; 3)
Варіант 15	A (1; -2; 5)	B (0; 7; 8)	C (-1; 3; 8)
Варіант 16	A (-10; 0; 9)	B (12; 4; 11)	C (8; 5; 15)
Варіант 17	A (3; -3; -6)	B (1; 9; -5)	C (6; 6; -4)
Варіант 18	A (2; 1; 7)	B (9; 0; 2)	C (9; 2; 3)
Варіант 19	A (-7; 1; -4)	B (8; 11; -3)	C (9; 9; -1)
Варіант 20	A (-7; 2; 1)	B (1; 0; -6)	C (-9; 6; 1)
Варіант 21	A (-3; 1; 0)	B (6; 3; 3)	C (9; 4; -2)
Варіант 22	A (-4; -4; 5)	B (3; -3; -7)	C (9; 3; -7)
Варіант 23	A (0; -8; 10)	B (-5; 5; 7)	C (-9; 0; 4)
Варіант 24	A (1; -5; -2)	B (6; -2; 1)	C (2; -2; -2)
Варіант 25	A (0; 7; 9)	B (-1; 8; -11)	C (-4; 3; -12)
Варіант 26	A (-3; -1; 7)	B (0; 2; -6)	C (2; 3; -5)
Варіант 27	A (5; 3; -1)	B (0; 0; -3)	C (5; -1; 0)
Варіант 28	A (-1; 2; -2)	B (13; 14; 1)	C (14; 15; 2)
Варіант 29	A (7; -5; 0)	B (8; 3; -1)	C (8; 5; 1)
Варіант 30	A (-3; 6; 4)	B (8; -3; 5)	C (10; -3; 7)

Завдання ІV. Записати рівняння прямої загального виду в канонічному та параметричному виглядах.

Варіант 1	Варіант 2	Варіант 3
Варіант 4	Варіант 5	Варіант 6
Варіант 7	Варіант 8	Варіант 9
Варіант 10	Варіант 11	Варіант 12
Варіант 13	Варіант 14	Варіант 15
Варіант 16	Варіант 17	Варіант 18

 

Варіант 19	Варіант 20	Варіант 21
Варіант 22	Варіант 23	Варіант 24
Варіант 25	Варіант 26	Варіант 27
Варіант 28	Варіант 29	Варіант 30

 

 

ЗМІСТ

Вступ ……………………………………………………………………….
Розділ 1. Лінійна алгебра ……………………………………………...
1.1 Матриці та дії над ними …………………………………………………
1.2 Означення та основні властивості визначників ……………………….
1.3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь ……………………………….
Індивідуальне завдання за темою „Лінійна алгебра” ……………………...
Розділ 2. Векторна алгебра …………………………………………...
2.1 Поняття вектора та лінійні операції над векторами …………………...
2.2 Вектори у декартовій системі координат ………………………………
2.3 Скалярний добуток векторів ……………………………………………
2.4 Векторний добуток векторів ……………………………………………
2.5 Змішаний добуток векторів ……………………………………………..
Індивідуальне завдання за темою „Векторна алгебра” ……………………
Розділ 3. аналітична геометрія на площині …………………..
3.1 Пряма лінія на площині …………………………………………………
3.2 Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола та парабола …………..
Індивідуальне завдання за темою „Аналітична геометрія на площині” …
Розділ 4. аналітична геометрія у просторі …………………….
4.1 Площина у просторі ……………………………………………………..
4.2 Пряма у просторі ………………………………………………………...
Індивідуальне завдання за темою „Аналітична геометрія у просторі” …..