Означення та основні властивості визначників

Вступ

Методичні вказівки та індивідуальні завдання з курсу вищої математики за темами „Лінійна та векторна алгебра” та „Аналітична геометрія на площині та у просторі” складено відповідно до програми курсу.

Мета розробки: перевірка знань студентів з основних понять і методів курсу, прищеплення у студентів навичок самостійної роботи.

Типові розрахунки можуть бути використані викладачами для контролю знань студентів, для проведення аудиторних індивідуальних практичних занять, а також як домашні індивідуальні завдання.

Розділ 1. Лінійна алгебра

Матриці та дії над ними

Поняття матриці та відповідний розділ математики мають важливе значення для економістів, оскільки велика кількість досліджувальних об’єктів і процесів досить просто, а головне – компактно, подається в матричній формі.

Матрицею розміру називається множина з елементів , розміщених у вигляді прямокутної таблиці з рядків і стовпців:

	(1.1)
,	(1.2)

де – елемент матриці; – номер рядка; – номер стовпця.

Матриці бувають різних типів: прямокутні, квадратні, діагональні, одиничні, нульові та інші.

Квадратною матрицею називається матриця, в якій кількість рядків і стовпців однакова. Їх кількість вказує розмір матриці. Головною діагоналлю квадратної матриці називається діагональ, яка проходить через верхній лівий та нижній правий кути матриці, тобто сукупність елементів .

Квадратну матрицю, в якій всі елементи, окрім тих, що розташовані на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називають діагональною матрицею.

Діагональну матрицю, в якій всі елементи дорівнюють одиниці, називають одиничною і позначають літерою .

.

(1.3)

Матриця називається трикутною, якщо всі її елементи під (над) діагоналлю дорівнюють нулю.

Нульовою матрицею називається матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю.

Над матрицями, як і над числами, можна виконувати різні операції, причому деякі з них – аналогічні операціям над числами, а деякі – специфічні.

Розрізняють наступні дії над матрицями:

1. Операція порівняння: дві матриці та називаються рівними , якщо рівні їх відповідні елементи, тобто .

2. Множення матриці на число: добутком матриці на число називається матриця , елементи якої визначаються за формулою

.

(1.4)

3. Додавання та віднімання матриць: сумою двох матриць і називається матриця , елементи якої визначаються за формулою

.

(1.5)

Додавати можна матриці лише однакового розміру, тобто матриці з однаковою кількістю рядків і стовпців.

Властивості операцій додавання та віднімання матриць:

- (комутативність);

- (асоціативність);

- (дистрибутивність);

- (нейтральність нульової матриці).

4. Транспонування матриці: транспонованою матрицею до матриці називається така матриця, в якій рядки та стовпці міняються місцями, і позначається літерою .

5. Множення матриць: добутком двох матриць і називається матриця , елементи якої визначаються за формулою

.

(1.6)

Перемножать можливо лише такі дві матриці, в яких кількість стовпців першої збігається з кількістю рядків другої:

.

(1.7)

Добутком двох матриць є матриця, в якій кількість рядків дорівнює кількості рядків першої матриці, а кількість стовпців – кількості стовпців другої матриці.

Властивості добутку матриць:

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- .

Розділ 2. Векторна алгебра

Проекція вектор на вісь

Нехай існує вектор та вісь (рис. 2.5). Вектор , – кут між вектором та віссю , точки та – проекції точок та на вісь.

Проекцією вектора та вісь буде величина відрізка .

Рис. 2.5

Проекція вектора та вісь дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між напрямком вектора та додатнім напрямком осі :

.

(2.2)

Оскільки може бути в залежності від значення кута додатною або від’ємною величиною, то і проекція вектора на вісь може мати: знак „+”, якщо кут –гострий; знак „–”, якщо кут –тупий.

Властивості проекції на вісь:

-

- ;

- ;

- проекція замкнутої векторної лінії на вісь дорівнює нулю.

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком двох векторів та (рис. 2.8) називається скаляр, який дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними:

.	(2.13)
Рис. 2.8

Фізичне тлумачення скалярного добутку двох векторів полягає в тому, що такий добуток являє собою роботу, виконану при переміщенні матеріальної точки під дією одного вектора вздовж другого.

Беручи до уваги властивості проекції вектора на вісь, маємо (рис. 2.9)

.

(2.14)

Властивості скалярного добутку векторів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , якщо ;

6) добутки ортів , .

Якщо вектори задані в координатній формі та , то скалярний добуток векторів можна записати у вигляді (2.15)

.

(2.15)

Основні задачі, які розв’язуються з використанням скалярного добутку векторів:

1) довжина вектора

;

(2.16)

2) косинус кута між векторами

;

(2.17)

3) проекція вектора на інший вектор

;

(2.18)

4) умова перпендикулярності

.

(2.19)

Векторний добуток векторів

Векторним добутком векторів та називається вектор , який задовольняє умови:

– напрям вектора такий, що він перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори та , тобто ;

– вектор утворює з векторами та так звану праву трійку векторів, тобто вектор проведений так, що спостерігач бачить з його кінця найкоротший шлях від вектора до вектора проти годинникової стрілки (рис. 2.9);

– довжина вектора визначається за формулою (2.20)

.	(2.20)
Рис. 2.9

Геометричний зміст векторного добутку: модуль векторного добутку векторів дорівнює площі паралелограма, сторонами якого є дані вектори.

Властивості векторного добутку векторів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , якщо ;

6) добутки ортів , , , , , , .

Якщо вектори задані в координатній формі та , то векторний добуток векторів можна записати у вигляді (2.21)

.

(2.21)

Основні задачі, які розв’язуються з використанням векторного добутку векторів:

1) площа паралелограма, побудованого на векторах та

;

(2.22)

2) площа трикутника, побудованого на векторах та

;

(2.23)

3) висота паралелограма

;

(2.24)

4) висота трикутника

.

(2.25)

Змішаний добуток векторів

Змішаним (або векторно-скалярним) добутком трьох векторів , та називається сукупність операцій:

.

(2.26)

Змішаний добуток трьох векторів – це скалярний добуток одного з цих векторів на векторний добуток двох інших векторів.

Геометричний зміст змішаного добутку: модуль змішаного добутку трьох векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда (рис. 2.11), побудованого на цих векторах, як на його ребрах.

Рис. 2.11
	(2.27)

Якщо вектори задані в координатній формі , та , то змішаний добуток векторів можна записати у вигляді

.

(2.28)

Властивості змішаного добутку векторів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , якщо вектори , та компланарні;

5) , якщо вектори , та утворюють праву трійку векторів;

6) , якщо вектори , та утворюють ліву трійку векторів.

Основні задачі, які розв’язуються з використанням змішаного добутку векторів:

1) об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , та

;

(2.29)

2) об’єм піраміди, побудованої на векторах , та

;

(2.30)

3) висота паралелепіпеда

;

(2.31)

4) висота піраміди

.

(2.32)

Індивідуальне завдання за темою „Векторна алгебра”

Дано координати точок . Необхідно:

1. Знайти модуль та напрямок вектора у просторі.

2. Знайти кут між векторами та .

3. Знайти проекцію вектора на напрям вектора .

4. Знайти вектор , перпендикулярний до вектора і до .

5. Обчислити площу трикутника АВС.

6. Знайти висоту паралелограма, побудованого на векторах і .

7. Обчислити об’єм піраміди .

8. Перевірити, чи колінеарні вектори і .

9. Перевірити, чи ортогональні вектори і .

10. Перевірити, чи належать точки до однієї площини.

Варіант 1	(0; -1; 2)	(1; 2; 1)	(-3; 2; 1)	(0; 0; -1)	(2; 6; -3)
Варіант 2	(-1; 3; 0)	(2; 1; -1)	(3; -1; 2)	(1; -1; 3)	(5; 2; 2)
Варіант 3	(0; 3; 1)	(2; -1; 3)	(0; 2; 1)	(0; 1; 3)	(1; -1;-4)
Варіант 4	(-1; 2; 3)	(-1; 3; 0)	(0; -1; 2)	(-2;1;-1)	(5; 2; 3)
Варіант 5	(2; -2; 0)	(-2; -1;3)	(1; -2; 0)	(-1; 0; 1)	(7;-2; -5)
Варіант 6	(-2; 0;-1)	(1; -2; 0)	(0; 1; 1)	(2; 0; -3)	(-1; 1; 4)
Варіант 7	(0; 1; -2)	(2; 2; -1)	(-1; -1;0)	(-1;-1;0)	(5; 2; 3)
Варіант 8	(3; 1; -1)	(2; -1; 0)	(2; 1; 0)	(2; 1; 3)	(4; 0; 0)
Варіант 9	(3; 2; 0)	(1; -1; 1)	(2; 0; -1)	(2; 0; -1)	(6; 6; -3)
Варіант 10	(0; -3;-1)	(1; 0; -2)	(-1; 0; 2)	(0; 0; 1)	(-1; 1; 5)
Варіант 11	(2; 1; -2)	(1; 2; 3)	(0; 3; 1)	(-1;-2;-3)	(2;-5;-18)
Варіант 12	(0; 3; -2)	(1; -2; 1)	(-1; 0; 3)	(1; -2; 0)	(-4; 0; 4)
Варіант 13	(2; -1; 3)	(0; 1; -1)	(-2; 3; 1)	(0; -1; 0)	(1; -2; 2)
Варіант 14	(0; 2; -1)	(1; 3; -1)	(-2; 1; 0)	(3; 0; 1)	(0; -1; 3)
Варіант 15	(1; -1; 2)	(3; 1; -2)	(0; 1; -1)	(2; 3; 0)	(1; 2; 2)
Варіант 16	(1; 0; 2)	(-1; 2; 3)	(1; 0; -3)	(2; 1; -1)	(5; 3; -1)
Варіант 17	(1;-3;-2)	(0; -2; 1)	(2; -3; 1)	(-1; 0; 0)	(-4; 3; 9)
Варіант 18	(1; -2; 2)	(0; 1; 3)	(2; 1; -1)	(-3; 1; 0)	(6; 2; 0)
Варіант 19	(2; -1; 0)	(0; 1; 1)	(-2; 0; 1)	(-1;-1;-1)	(0; -2; 0)
Варіант 20	(-3; 0; 1)	(1;-2; -1)	(0; 3; 1)	(-2; 1; 0)	(1; 4; 2)
Варіант 21	(-3;1;-1)	(0; 2; 1)	(-1; 3; 2)	(2; -2; 2)	(-1;-3;0)
Варіант 22	(-1;-2;-3)	(2; 1; 0)	(0; 1; -1)	(-3;1;-1)	(-1; 1; 0)
Варіант 23	(-1; 0; 0)	(1; 2; -3)	(2; 0; -1)	(1; 3; -1)	(-1; 1; 2)
Варіант 24	(0; 0; -2)	(2; 1; -3)	(0; 1; -2)	(-2;-1;0)	(1; 4; 3)
Варіант 25	(-2;-1;-3)	(-3; 1; 0)	(2; 1; -1)	(0; 1; 3)	(-2; 5; 9)
Варіант 26	(0; 1; -4)	(2; 2; -3)	(-1;3; -1)	(1; 1; 1)	(-2; 4; 0)
Варіант 27	(-3;0;1)	(-2; 1; 3)	(0;-1; -2)	(-1;-2;-5)	(1; 0; 3)
Варіант 28	(3; 0; -2)	(2; 1; -3)	(-1; 0; 2)	(2;-1;-1)	(2; 0; -1)
Варіант 29	(-4; 0; 3)	(-3; 1; 2)	(-1; 0; 2)	(0; -3; 1)	(-3; 0; 4)
Варіант 30	(2; 2; 2)	(3; 2; 0)	(-1; 3;-1)	(-2;-1;3)	(-1;-1;-1)

Пряма лінія на площині

Рівняння називається рівнянням лінії, якщо його задовольняють усі точки, що лежать на даній лінії, і не задовольняє жодна точка, що не лежить на даній лінії. Найпростішою у певному розумінні лінією є пряма.

Задавши на площини систему координат, можна положення будь-якої прямої визначати різними способами, тобто за допомогою різних параметрів. В залежності від вибору цих параметрів розрізняють наступні види рівнянь прямої:

1. Рівняння прямої, що проходить через задану точку та перпендикулярно вектору :

.

(3.1)

Орієнтацію прямої (рис. 3.1) на площині можна задати за допомогою нормального вектора (довільного вектора, перпендикулярного до ).

Рис. 3.1

2. Загальне рівняння прямої:

.

(3.2)

Дослідимо рівняння (3.2):

– при рівняння (3.2) має вид , тобто пряма проходить через початок координат;

– при рівняння (3.2) має вид , тобто пряма паралельна осі ;

– при рівняння (3.2) має вид , тобто пряма паралельна осі ;

– при , рівняння (3.2) має вид , тобто отримаємо рівняння осі ;

– при , рівняння (3.2) має вид , тобто отримаємо рівняння осі .

3. Канонічне рівняння прямої (3.3) та параметричне рівняння прямої (3.4):

;	(3.3)
.	(3.4)

Пряма лінія (рис. 3.2), що задана рівняннями виду (3.3) або (3.4), проходить через задану точку з напрямляючим вектором , який паралельний даній прямій.

Рис. 3.2.

4. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки та

	.	(3.5)
Рис. 3.3

5. Рівняння прямої у відрізках на осях

	, де та – відрізки, які відсікає пряма від координатних осей та відповідно.	(3.6)
Рис. 3.4

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (рис. 3.4)

,

(3.7)

де – кутовий коефіцієнт прямої, – відрізок, який відсікає пряма від координатної осі.

7. Рівняння прямої, яка проходить у заданому напряму через задану точку (рівняння в’язки) (рис. 3.4):

.

(3.8)

8. Нормальне рівняння прямої (рис.3.4):

,

(3.9)

де – відстань від початку координат до прямої; – кути, які створює нормаль проведена з початку координат з осями .

9. Відстань від точки до прямої:

– якщо пряма задана рівнянням виду (3.9)

,

(3.10)

– якщо пряма задана рівнянням виду (3.2)

(3.11)

Взаємне розташування двох прямих на площині:

Прямі задані загальним рівнянням:	Прямі задані рівнянням з кутовим коефіцієнтом:
1. Умова паралельності прямих:
2. Умова перпендикулярності прямих
3. Кут між прямими

Завдання ІІІ

Варіант 1	Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що еліпс проходить через точку А(0;-3) та його ексцентриситет дорівнює .
Варіант 2	На параболі знайти точку, відстань якої від директриси дорівнює 10.
Варіант 3	Скласти рівняння кола, що проходить через лівий фокус еліпса і має центр у точці А(-1;-3).