Понятие вектора. Равные и коллинеарные векторы.

Ответы на коллоквиум

Понятие вектора. Равные и коллинеарные векторы.

Вектором называется направленный отрезок. Векторы AB и CD называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены. Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы AB и CD называются противоположно направленными. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора обозначим | |. Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Сложение и вычитание векторов.

Суммой векторов (a₁;a₂) и (b₁;b₂) называется вектор (a₁+b₁;a₂+b₂)

Разностью векторов (a₁;a₂) и (b₁;b₂) называется такой вектор (c₁;c₂) который в сумме с вектором дает вектор , откуда c ₁ = a ₁– b ₁; c ₂ = a ₂– b ₂.

Суммойтрех векторов называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

 

Умножение вектора на число.

Произведением вектора (a₁;a₂) на число λ называется вектор (λa₁;λa₂).

 

Линейно зависимые и независимые системы векторов.

Скалярным произведением векторов (a₁;a₂)и (b₁;b₂) называется число a₁b₁+a₂b₂

Скалярное произведение векторов и обозначается .

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

 

 

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

Два вектора и называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.Два ненулевых вектора и коллинеарны, Û когда они пропорциональны т.е. = k , k – скаляр.

 

Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

Три вектора , , называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.

Три ненулевых вектора , , компланарны, Û когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е.

= k + l , k,l – скаляры.

 

Операции над векторами, заданными своими координатами.

Проекции вектора на координатные оси Ох, Оу, Оz называются координатами вектора. Обозначение: { a_x, a_y, a_z }.

Длина вектора:

Расстояние между точками и вычисляется по формуле: .

Действия над векторами в координатной форме.

Даны векторы ={ax, ay, az} и ={bx, by, bz}.

1. ( ± )={ax ± bx, ay ± by, az ± bz}.

2. l ={lax, lay, laz}, где l – скаляр.

 

 

Скалярное произведение и его свойства.

Определение: Под скалярным произведением двух векторов и

понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. = , - угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения:

1. × =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , где – скаляры.

6. два вектора перпендикулярны (ортогональны), если .

7. тогда и только тогда, когда .

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: , где и .

Векторное произведение и его свойства.

Определение: Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор, для которого:

-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами и

-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е.

-если векторы неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения:

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е.

2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е.

4.Для любых трех векторов справедливо равенство

5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов и :

Векторное произведение в координатной форме.

Если известны координаты векторов и , то их векторное произведение находится по формуле:

.

Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле:

 

Параметрические и каноническое уравнения прямой на плоскости

Векторно-параметрическое уравнение прямой:

где - фиксированная точка, лежащая на прямой;

- направляющий вектор.

В координатах (параметрические уравнения):

Каноническое уравнение прямой

 

Ответы на коллоквиум

Понятие вектора. Равные и коллинеарные векторы.

Вектором называется направленный отрезок. Векторы AB и CD называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены. Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы AB и CD называются противоположно направленными. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора обозначим | |. Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Сложение и вычитание векторов.

Суммой векторов (a₁;a₂) и (b₁;b₂) называется вектор (a₁+b₁;a₂+b₂)

Разностью векторов (a₁;a₂) и (b₁;b₂) называется такой вектор (c₁;c₂) который в сумме с вектором дает вектор , откуда c ₁ = a ₁– b ₁; c ₂ = a ₂– b ₂.

Суммойтрех векторов называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

 

Умножение вектора на число.

Произведением вектора (a₁;a₂) на число λ называется вектор (λa₁;λa₂).