Угол между прямой и плоскостью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость .

Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью не превышает , т.е. угол острый.

Пусть – угол между прямой и плоскостью , – их точка пересечения.

Через перпендикулярно плоскости проведем прямую . Для вектор является направляющим и, следовательно, острый угол между прямыми и может быть найден по формуле

.

Но ,

– формула для определения угламежду прямой и плоскостью .

38) Условие перпендикулярности прямой и плоскости -

39) Расстояние от точки до прямой в пространстве- Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

|M₁M₀×a|=|M₁M₀|•|a|•sinφ. sinφ=d/|M₁M₀|, следовательно, d=|M₁M₀|•sinφ. Тогда в силу первого равенства |M₁M₀×a|=d•|a|. d=|M₁M₀×a|/|a|. Так как относительно ПДСК вектор M₁M₀={x₀-x₁, y₀-y₁, z₀-z₁}, a={a, b, c}, то

40) Кратчайшее расстояние между двумя прямыми в пространстве. -

41) Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую –

A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0

42) Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые и :

или

Если , то уравнение плоскости есть

43) Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и

 

Если прямые заданы соответственно уравнениями:

и

то уравнение плоскости есть

44) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данной прямой –

A₁(x - x₀) + B₁(y - y₀) + C₁(z - z₀) = 0

45)Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно
данной плоскости -

46)Определение эллипса(1), вывод канонического уравнения(2). Свойства эллипса(3) –

(1)Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

(2) Обозначим фокусы эллипса буквами и . Расстояние между ними - фокальное расстояние , и . Если - произвольная точка эллипса, то по определению эллипса - характеристическое уравнение эллипса.

Введем систему координат: , и . Тогда фокусами будут точки и .

Пусть - любая точка эллипса, тогда

Запишем характеристическое уравнение эллипса в координатной форме:

Преобразуем равенство:

Перенесем в левую часть равенства выражение, содержащее корень:

Так как , то . Пусть , то

- каноническое уравнение эллипса.

 

(3) -Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

- Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

- Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

- Эллипс имеет центр симметрии.

- Эллипс может быть получен сжатием окружности

47) Определение гиперболы(1), вывод канонического уравнения(2). Свойства гиперболы(3) –

(1) Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости, абсолютная величина разности расстояний, каждое из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная, отличная от ноля.

(2) Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками и проведя процедуру избавления от иррациональности, будем иметь:

Если ввести обозначение b ² = c ² − a ², то уравнение гиперболы примет вид

x ²· b ² − a ²· y ² = a ² b ².

Выполнив преобразование, аналогичное выводу уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы:

(3)

- Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках A (a; 0) и B (– a; 0), которые называются вершинами гиперболы.

- Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

- Гипербола имеет центр симметрии.(Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.)

- Гипербола пересекается с прямой y = kx при в двух точках. Если то общих точек у прямой и гиперболы нет.

 

48) Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы –

Директрисами эллипса называются прямые, параллельные малой оси эллипса и отстоящие от неё на расстояние a/e, где e – эксцентриситет эллипса. Очевидно, что директрисы не пересекают эллипс, так как e<1 и a/e>a.

 

Замечание. Окружность не имеет директрис.

 

Директрисами гиперболы называются прямые, параллельные оси Oy и отстоящие от неё на расстояние a/e, где e – эксцентриситет гиперболы. Существует две директрисы: d1 – соответствующая фокусуv F1 и d2 – соответствующая фокусу F2.

 

 

49) Определение параболы(1), вывод канонического уравнения(2). Свойства параболы(3) –

(1) Параболой называется геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.

(2) Для вывода уравнения параболы введем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус перпендикулярно директрисе, и будем считать ее положительным направлением направление от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Выведем уравнение параболы в выбранной системе координат.
Пусть М (х; у) – произвольная точка плоскости. Обозначим через r расстояние от точки М до фокуса F, пусть r = FM,

Через d – расстояние от точки до директрисы, а через р расстояние от фокуса до директрисы. Величину называют параметром параболы, его геометрический смысл раскрыт далее. Точка М будет лежать на данной параболе в том и только в том случае, когда r = d.
В этом случае имеем

Далее избавимся от иррациональности

Уравнение

y ² = 2 p x

называется каноническим уравнением параболы.

(3) - Парабола имеет ось симметрии.

- Парабола расположена в полуплоскости x ≥ 0.

 

50) Цилиндры. Примеры –

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченной цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра); причём если оснований два, то одно получено из другого параллельным переносом вдоль образующей боковой поверхности цилиндра; и основание пересекает каждую образующую боковой поверхности ровно один раз.

Бесконечное тело, ограниченное замкнутой бесконечной цилиндрической поверхностью, называется бесконечным цилиндром.

Бесконечное тело, ограниченное замкнутым цилиндрическим лучом и его основанием, называется открытым цилиндром. Основание и образующие цилиндрического луча называют соответственно основанием и образующими открытого цилиндра.