Уравнение плоскости и прямой

Рис.1

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oxyz. Плоскость P вполне определяется заданием ее точки и ненулевого вектора , перпендикулярной плоскости. Вектор называется нормальным вектором плоскости Р. Пусть - произвольная точка Р; - ее радиус-вектор, a - радиус-вектор точки М₀ (рис.1). Тогда лежит в плоскости Р, а значит перпендикулярен вектору . Это возможно тогда и только тогда (см.свойство 5 скалярного произведения), когда

(1)

Уравнение (1) называется векторным уравнением плоскости. Так как , то в силу теоремы из раздела 4 уравнение (1) равносильно уравнению

(2)

Уравнение (2) задает плоскость Р, которая проходит через заданную точку перпендикулярно вектору нормали . Координаты точек плоскости Р и только они удовлетворяют уравнению (2).

 

Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(1,-1,0), М₂(2,1,-3), М₃(-1,0,1).

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ имеет вид

Так как векторы лежат в искомой плоскости, то их векторное произведение перпендикулярно этой плоскости, а значит, можно принять за ее нормальный вектор:

Таким образом, А=B=С=5 и искомое уравнение имеет вид

или .

 

Теорема. Уравнение

(3)

где , определяет в пространстве некоторую плоскость и наоборот любая плоскость задается уравнением вида (3).

Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости.

Доказательство. Известно, что любая плоскость задается уравнением (2). Раскрывая скобки в (2), получаем уравнение вида (3). Докажем теперь, что уравнение вида (3) определяет некоторую плоскость. Уравнение (3) имеет бесконечно много решений (если, например, , то и можно придать любые значения, а затем найти ). Пусть , , - одно из них, тогда

(4)

Вычитая из (3) равенство (4), получим равносильное (3) уравнение (2), которое задает плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору (А,В,С). Теорема доказана.

Заметим, что если в уравнении (3) D=0, то плоскость Р, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Если, например, А=0, то Р параллельна оси Оx, так как нормальный вектор (0, В, С) плоскости Р лежит в плоскости Оx. Уравнения x=0, y=0, z=0 соответственно определяют плоскости Оyz, Oxz, Oxy.

Пусть плоскости Р₁ и Р₂ заданы соответственно уравнениями

Тогда угол между плоскостями Р₁ и Р₂ равен углу между их нормальными векторами и т.е.

Плоскости Р₁ и Р₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормальные векторы , т.е.

Плоскости Р₁ и Р₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны, т.е. .

Пусть даны точка и плоскость Р, имеющая уравнение . Расстояние между ними, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из этой точки М₁ на плоскость Р, определяется формулой

Прямая в пространстве. Рассмотрим систему уравнений

(5)

 

каждое из которых задает плоскость. Если эти плоскости не параллельны, то система (5) определяет прямую, т.е. координаты точек этой прямой, только они удовлетворяют системе (5). Уравнения (5) называют общими уравнениями прямой.

Положение прямой L в пространстве вполне определяется заданием ее точки и параллельного ей вектора (рис.2), который называется направляющим вектором прямой L. Пусть произвольная точка прямой L, . Так как векторы и коллинеарны, то или

(6)

Уравнение (6) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой L. Приравняв координаты в уравнении (6), получим

(7)

Уравнения (7) называются параметрическими уравнениями прямой. При изменении параметра t изменяются координаты x, y, z и точка M(x,y,z) перемещается по прямой.

Если m, n, p 0, то из (7) непосредственно получаем

(8)

Это каноническое уравнение прямой. Если, например, , то запись (условная)

также допускается. Она означает, что для всех точек прямой L (см.(7))

 

Пример 2. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение. За направляющий вектор этой прямой можно взять вектор . Таким образом, , , и в силу (8) искомое уравнение

т.е.

Очевидно, что угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами, а условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны соответственно условиям коллинеарности и перпендикулярности их направляющих векторов.

Сформулируем простейшие факты о прямой на плоскости Оxy.

1. Общее уравнение прямой:

(9)

, определяет на плоскости некоторую прямую. Наоборот, всякая прямая задается уравнением вида (9). Вектор (А,В) перпендикулярен прямой (он называется нормальным вектором прямой).

2. Если , то из (9) получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом

, где (рис.3).

3. Если В=0, то (9) примет вид x=a.

4. Каноническое уравнение прямой имеет вид

(10)

Здесь вектор параллелен прямой (направляющий вектор), а точка М(x₁,y₁) лежит на прямой.

5. Расстояние от точки (x₀,y₀) до прямой определяется формулой

Отметим еще, что угол между двумя прямыми равен углу между двумя их нормальными (или направляющими) векторами. Прямые параллельны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда

.

 

Пример 3. Дан .

Найти уравнения медианы, высоты и биссектрисы, проведенных из А.

Решение. Пусть D – середина отрезка ВС. Тогда

-

направляющий вектор медианы. Вектор перпендикулярен вектору , так как . Поэтому - направляющий вектор высоты. Далее,

единичный вектор в направлении , а

единичный вектор в направлении , поэтому b+c – направляющий вектор биссектрисы. Остается применить формулу (10).

 

МАТРИЦЫ

 

Рассмотрим прямоугольную числовую таблицу (матрицу)

которая имеет размеры (m строк, n столбцов). Сокращенная запись:

Элемент матрицы А расположен в i – й строке и j – м столбце.

Пример 1. Матрица

имеет две строки и четыре столбца (размеры 2×4).

Если m=n, то А называется квадратной матрицей порядка n.

Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Произведением матрицы на число α называется матрица , элементы которой получаются из элементов матрицы А умножением на .

Пример 2.

,

Если , - матрицы одинакового размера, матрица того же размера , называется суммой матриц А и В (С=А+В).

 

Пример 3.

Пусть А=() – матрица размера m×n, В=() – матрица размера n×p, т.е. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением матрицы А на В называется матрица С=() размера m×p (C=A∙B), элементы которой находят по следующему правилу: элемент i –й строки и j –ого столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i –й строки матрицы А на соответствующие элементы j –ого столбца матрицы В, т.е.

,

Пример 4.

Пример 5. Если

,

то произведение АВ не определено.

Пример 6.

;

Таким образом, коммутативность умножения матриц в общем случае не имеет место. Можно проверить, что умножение матриц ассоциативно, т.е.

во всех случаях, когда умножение определено, а сложение и умножение связаны законами дистрибутивности:

.

Можно сказать также, что если А и В – две квадратные матрицы, то

(1)

Рассмотрим квадратные матрицы вида:

.

Такие матрицы называются единичными, так как если А – произвольная квадратная матрица порядка n, Е – единичная матрица порядка n, то

АЕ=ЕА=А.