Привеление системы линейных уравнений к виду, удобному для итерации

 

Процессы последовательных приближений и Зейделя для линейной системы Х = + Х сходятся к единственному решению независимо от выбора начального вектора, если

Таким образом, для сходимости вышеуказанных итерационных процессов достаточно, чтобы значения элементов матрицы при были небольшими по абсолютной величине. Это равносильно тому, что если для линейной системы AX = B модули диагональных коэффициентов каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов), то итерационные процессы для этой системы сходятся, т.е. если мы имеем систему причем то процессы последовательных приближений и Зейделя для данной системы сходится.

Применяя элементарные преобразования, линейную систему AX = B можно заменить такой эквивалентной системой Х = + Х, для которой условия сходимости будут выполнены.

 

 

Пример 1. Привести данную систему линейных уравнений к виду, удобному для итерации:

Решение. 1) Из данной системы выделяем уравнения с коэффициентами, модули которых больше суммы модулей основанных коэффициентов системы. Каждое выделенное уравнение выписываем в такую строку новой системы, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным.

В уравнении (Б) коэффициент при по модулю больше суммы модулей остальных коэффициентов. Принимаем уравнение (Б) за второе уравнение новой системы.

(1)

2) Из оставшихся неиспользованных уравнений системы оставляем линейно независимые между собой комбинации. Так, за первое уравнение новой системы можно взять линейную комбинацию (2В)+(А), тогда имеем

(2)

За третье уравнение новой системы можно принять линейную комбинацию (2А)-(Б), т.е.

_. (3)

3) В итоге получаем преобразованную систему линейных уравнений (1), (2), (3), эквивалентную исходной и удовлетворяющую условиям сходимости итерационного процесса:

(*)

Приведя систему (*) к нормальному виду, имеем

Остается решить систему одним из итерационных методов.

 

 

ИСПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИБЛИЖЕННОЙ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Пусть дана неособенная матрица А и требуется найти ей обратную А ^-1. Предположим, что мы получили приближенное значение обратной матрицы

_.

Тогда для улучшения точности воспользуемся методом последовательных приближений следующим образом. За нулевое приближение обратной матрицы А ^-1 принимаем значение D ₀ погрешность которого есть матрица

 

Дальнейшие последовательные приближения будем строить по формуле

 

(1)

и соответствующая погрешность

Если все элементы матрицы удовлетворяют неравенству где n- порядок матрицы и то процесс итерации заведомо сходится.

Оценка погрешности данного метода имеет вид

(2)

где под нормой понимается норма 1 и норма 2.

Процесс уточнения элементов обратной матрицы

исправить элементы приближенной обратной матрицы с точностью до 10^-5 .

Решение. 1) Методом Гаусса находим приближенную обратную матрицу

Далее, получаем

Так как то итерационный процесс сходится.

2) Пользуясь формулой (1), находим следующее приближение D ₁. Имеем

3) Аналогичным образом получим приближение D ₂

Следовательно,

 

 

Упражнения

1. Вычислить АВ, если

а)

б)

Ответы: а) б)

 

2. Вычислить 2(А + В)(2 В - А), если

а)

б)

Ответы: а) б)

3. Найти произведение XY, если

а) б)

в)

Ответы: а) б) в) 409.

 

4. Найти произведение АХ, если

а)

б)

Ответы: а) б)

 

5. Вычислить определители

а) б)

в)

Ответы: а) 22; б) -26; в) 4279,1.

6. Вычислить А ^-1 для следующих матриц:

а) б)

в)

 

Ответы: а) б)

в)

 

7. Для матриц

и

вычислить норму 1, 2 и норму 3.

Ответы: а) =1,9; =1,9; =2,55; б) =1,45; =1,07; =1,20.

 

8. Найти АВ, где

Двумя способами: а) разбив А и В на квадратные клетки; б) разбив А и В на клетки окаймлением

 

9. Вычислить А ^-1, применив разбиение на квадратные клетки и окаймление, если:

а) б)

Ответы:

а) б)

10. Матрицы, заданные в упр. 9, разложить на произведение двух треугольных и обратить их, применяя разложение матриц на произведение двух треугольных.

Ответы: а)

 

 

б)

11. Решить матричные уравнения:

а) б)

Ответы: а) б)

 

12. Следующие системы линейных уравнений решить по формулам Крамера:

а) б)

Ответы: а) =0, = -1, =2; б) x =2, y = -2, z =1.

 

 

13. Решить следующие системы по схеме Гаусса:

а) б)

 

Ответы: а) =1, = -1, =1, =-1; б) =-1, = 2, =0, =3.

 

14. С точность до 0,001 решить следующие системы по схеме Гаусса:

а) б)

Ответы: а) =1,120, = -0,341, =-0,008; б) x =0,008, y = -0,231, z =0,042.

 

15. Вычислить определители по схеме Гаусса:

 

а) б)

 

Ответы: а) d =88; б) d =2111,97.

 

16. Обратить следующие матрицы по схеме Гаусса:

 

а) б)

Вычисления вести с тремя десятичными знаками, ответ округлить до двух десятичных знаков.

Ответы:

а) б)

17. Решить следующие системы линейных уравнений с точностью до 0,01 методом последовательных приближений, предварительно определив необходимое количество шагов:

а) б)

Ответы: а) = -0,72, = 1,88, = -0,92, = -1,94; б) x =1.22, y = -0,67, z =0,35.

18. Системы линейных уравнений из упр. 17 решить методом Зейделя, предварительно определив необходимое количество шагов.

 

 

Задания для самостоятельной работы.

N-номер варианта студента, n – последняя цифра номера варианта N студента.

 

Задание 1. Вычислить определители

 

а)

б)

 

Задание 2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера и матричным методом

Задание 3. Даны векторы , , и :

, , , .

Найти: 1) ( + ) ;

2) ( + )х( - );

3) ;

4) площадь параллелограмма, построенного на векторах =2 - и

=3 + ;

5) объем параллелепипеда, построенного на векторах , и ;

6) определить, какую тройку образуют векторы , и .

 

Задание 4. Даны координаты четырех точек A,B,C,D:

А(7n;2;4), В(7n;-1;-2), С(3n;3;1), D(-4n;2;1).

1) написать уравнение плоскости , проходящей через точку А перпендикулярно прямой ВС;

2) написать уравнение плоскости , проходящей через точки А, В, С;

3) найти угол между плоскостями и ;

4) найти уравнение и длину высоты, опущенной на грань АВС;

5) найти координаты точки D, симметричной относительно плоскости ;

6) найти площадь грани АВС;

7) найти объем пирамиды АВСD;

8) найти угол между ребрами АВ и АС.

Задание 5. Найти произведение матриц А и В:

Задание 6. Для матрицы

вычислить норму 1, 2 и норму 3.

 

Задание 7. Дана система векторов α_1; α ₂, α ₃, α ₄, α ₅, α ₆, в которой α₁=(7(n+1),0,9(n+1),16(n+1)), α₂(3,1,4,8), α ₃ = (0, 1, 1, 2), α ₄= (1, 1, 1, 3), α ₅ = (1, 0, -2, -1), α ₆ = (1, 0, 1, 2). Дополнить линейно независимую часть α ₁, α₂ до базиса системы векторов α ₁, α ₂, α ₃, α ₄, α ₅, и все векторы, не вошедшие в базис, разложить по базису.

Задание 8. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Задание 9. Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.

 

Задание 10. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

Задание 11. Найти линейное преобразование неизвестных, приводящее квадратичную форму, заданную своей матрицей, к каноническому виду. Выяснить, является ли квадратичная форма знакоопределенной.

Задание 12. Решить следующую систему линейных уравнений с точностью до 0,01 методом последовательных приближений, предварительно определив необходимое количество шагов:

 

Задание 13. Систему линейных уравнений задания 12 решить методом Зейделя, предварительно определив необходимое количество шагов.

 

Задание 14. Решить транспортные задачи согласно своему варианту N.

Вариант 1

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант2

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант3

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант4

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант5

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант6

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант 7

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

 

Вариант 8

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант9

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант10

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

 

Вариант11

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант12

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант13

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант14

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант15

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант16

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант17

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант18

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант19

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант20

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант21

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант22

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант23

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант24

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант25

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант26

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант27

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант28

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

 

Вариант 29

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант 30

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант 31

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант 32

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант 33

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант 34

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант 35

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант 36

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

Вариант 37

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1
S2
S3
S4
Спрос

 

 

Вариант 38

	D1	D2	D3	D4	Мощность
S1