Пусть дана квадратная матрица



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Пусть дана квадратная матрица



порядка n. Квадратная матрица А-1 порядка n называется обратной для А, если АА-1-1А=Е. Матрица А называется невырожденной, если .

 

Теорема. Матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Доказательство. Пусть . Предположим, что матрица А имеет обратную. Тогда ввиду (1) получаем, что . Противоречие.

Пусть теперь , - алгебраическое дополнение элемента в .

Покажем, что

(2)

Заметим, что здесь алгебраическое дополнение элементов i-ой строки матрицы составляет i-й столбец.

Если , то

В силу свойства 7, 8 определителей (см.раздел 1)

Таким образом, С=Е. Аналогично доказывается, что ВА=Е т.е. В=А-1. Теорема доказана.

Обратную матрицу для невырожденной матрицы А находят по формуле (2).

Пример 7. Найти А-1, если

Решение.

По формуле (2)

Проверку сделайте самостоятельно.

 

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

(3)

Обозначим

.

Тогда система (3) равносильна матричному уравнению –

AX=B (4)

Предположим теперь, что , а значит, по теореме существует матрица A-1. Используя ассоциативность умножения матриц, легко решить матричное уравнение (4). Умножим обе части этого уравнения слева на A-1:

т. е. .

Пример 8. Решить матричным способом систему уравнений

В нашем случае

найдена в примере 7 данного раздела. Итак,

т.е. x=1, y =0, z =-1.

РАНГ МАТРИЦЫ. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Рассмотрим матрицу

размера m×n. Выберем в А произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, составляют квадратную матрицу k-го порядка, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А. Минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы А.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Ранг матрицы А будем обозначать r (А). Если все элементы А равны нулю, то полагаем r (A)=0. Можно обосновать следующее правило вычисления ранга матрицы: при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор К-го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D (т.е. содержащие его целиком внутри себя). Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен k.

 

Пример 1. Вычислить ранг матрицы

.

Заметим, что в матрице А содержатся отличные от нуля миноры 2-го порядка, например,

.

Оба минора 3-го порядка, окаймляющие минор D, равны нулю:

, .

Таким образом, .

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

(I)

Матрицы

,

называются соответственно матрицей системы и расширенной матрицей системы (I).

 

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений (I) совместна тогда и только тогда, когда r (A) = r (A*).

Эту теорему мы доказывать не будем, но укажем, как практически отыскать все решения системы (I).

Пусть r (A) = r (A*) = r, т.е. система (I) совместна. Если вычислять r (А) методом окаймляющих миноров, то в матрице А найдем минор r –го порядка D 0.

Оставляем в системе лишь те r уравнений, коэффициенты которых вошли в D. Получим систему (2). Оказывается, что каждое из отброшенных уравнений является суммой уравнений (2), умноженных на некоторые числа.

Если r = n, то по теореме Крамера система (2) имеет единственное решение, которое находим, например, по формулам Крамера.

Если же r < n, то в левых частях уравнений системы (2) оставляем те r неизвестных, коэффициенты при которых вошли в D. Остальные члены объявляем свободными и переносим в правые части уравнений. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения и вычисляя значения остальных неизвестных (например, по формулам Крамера), находим все (бесконечно много) решения системы (2). А значит, и системы (I).

В частности справедливо предположение, что совместная система (I) тогда и только тогда обладает единственным решением, когда r (A) = n, т.е. ранг матрицы А равен числу неизвестных.

Следствие. Система n линейных однородных уравнений с n неизвестными

тогда и только тогда имеет ненулевое значение, когда

.

 

Пример 2. Решить систему

 

Здесь

, ,

 

r (A) = 2 (пример 1),

.

Минор матрицы А*, окаймляющий D не входящий в А, равен 0.

Таким образом, r (A*) = 2 и система совместна. Коэффициенты 3-го уравнения не входят в минор D, поэтому 3-е уравнение можно отбросить (действительно, оно является суммой I-го и 2-го, умноженного на 5). Получим

Коэффициенты при х1 и х4 не входят в D, объявляем х1 и х4 свободными и переносим в правую часть:

По формулам Крамера

Эти равенства определяют общее решение заданной системы. Придавая в них свободным неизвестным х1, х4 произвольные числовые значения, получаем все решения нашей системы.

 

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ

 

Для простоты и наглядности ограничимся рассмотрением векторного пространства R2 или R3, т.е. совокупности векторов пространства или плоскости. Будем считать, что все векторы исходят из фиксированной точки O.

Пусть задано отображение j пространства в себя, т.е. каждому вектору пространства сопоставлен вектор этого же пространства. Отображение j называется линейным преобразованием, если для любых векторов и пространства и любого числа a выполняются равенства:

I) ,

2) .

 

Пример I. Пусть a0 – фиксированное число. Полагаем для любого вектора а пространства. Легко проверить, что j - линейное преобразование.

2. Поворот плоскости вокруг точки O на некоторый угол есть линейное преобразование пространства R2.

3. Пусть – база (базис) R3. Если – произвольный вектор из R3, то . Пусть j - линейное преобразование R3. Тогда в силу равенств I), 2) . Поэтому достаточно знать действия на элементах базы. Возникает вопрос, существует ли такое линейное преобразование y, которое базисные элементы отображает на произвольно выбранные векторы . Ответ положительный. Если положить

.

то y - линейное преобразование и = с1, = с2, = с3. (Проверьте!)

Зафиксируем в пространстве R3 некоторый базис . Пусть j - линейное преобразование этого пространства. Разложим векторы по базе : = a111 + a122 + a133,

= a211 + a222 + a233,

= a311 + a322 + a333.

Матрица

(I)

называется матрицей линейного преобразования j в базе .

 

Теорема 1. Пусть Bφ - матрица линейного преобразования j в базе w1, w2, w3. Тогда матрицы Аφ и Bφ подобны, т.е. найдется такая невырожденная матрица Т, что

Bφ = T Аφ T-1, Аφ = T-1 Bφ T.

Если Y – линейное преобразование, для которого = ω1, 2, = ω3, то в качестве матрицы Т можно взять матрицу преобразования Y в базе .

Опускаем доказательство, которое можно провести прямым вычислением.

Если l - некоторое неизвестное, Е – единичная матрица 3-го порядка, то многочлен 3-й степени

 

называется характеристическим многочленом преобразования j (матрицы Аφ), уравнение - называется характеристическим уравнением преобразования j (матрицы Аφ), а корни этого уравнения – характеристическими корнямипреобразования j (матрицы Аφ).

 

Теорема 2. Подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами, а значит, и одинаковыми характеристическими корнями.

Доказательство. Пусть A = T-1BT. Тогда

В этой цепочке равенств второе следует из того, что lЕ перестановочна с любой матрицей, третье получается в силу закона дистрибутивности, четвертое равенство выполняется, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, а последнее равенство вытекает из соотношения

.

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования j, если аj = l0 , где l0 – некоторое действительное число, оно называется собственным значением преобразования j.

Считаем, что собственный вектор относится к собственному значению l0. Заметим, что если – собственный вектор, то и – собственный вектор для любого a ¹ 0. Действительно, = = = .

В примере 1 каждый ненулевой вектор является собственным, а в примере 2, если угол поворота не является кратным p, линейное преобразование не имеет собственных векторов.

Рассмотрим линейное преобразование j с матрицей (I) в базе и предположим, что вектор является собственным вектором преобразования j.

(2)

Тогда

.

Из формулы (2), приравнивая координаты, получаем

b1a11 + b2a21 + b3a31=l0b1,

b1a12 + b2a22 + b3a32=l0b2,

b1a13 + b2a23 + b3a33=l0b1.

Так как a ¹ 0, то b1, b2, b3 – ненулевое решение однородной системы

(3)



Последнее изменение этой страницы: 2016-08-14; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.170.64.36 (0.012 с.)