Пусть дана квадратная матрица

порядка n. Квадратная матрица А^-1 порядка n называется обратной для А, если АА^-1=А^-1А=Е. Матрица А называется невырожденной, если .

 

Теорема. Матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Доказательство. Пусть . Предположим, что матрица А имеет обратную. Тогда ввиду (1) получаем, что . Противоречие.

Пусть теперь , - алгебраическое дополнение элемента в .

Покажем, что

(2)

Заметим, что здесь алгебраическое дополнение элементов i-ой строки матрицы составляет i-й столбец.

Если , то

В силу свойства 7, 8 определителей (см.раздел 1)

Таким образом, С=Е. Аналогично доказывается, что ВА=Е т.е. В=А^-1. Теорема доказана.

Обратную матрицу для невырожденной матрицы А находят по формуле (2).

Пример 7. Найти А^-1, если

Решение.

По формуле (2)

Проверку сделайте самостоятельно.

 

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

(3)

Обозначим

.

Тогда система (3) равносильна матричному уравнению –

AX=B (4)

Предположим теперь, что , а значит, по теореме существует матрица A^-1. Используя ассоциативность умножения матриц, легко решить матричное уравнение (4). Умножим обе части этого уравнения слева на A^-1:

т. е. .

Пример 8. Решить матричным способом систему уравнений

В нашем случае

найдена в примере 7 данного раздела. Итак,

т.е. x =1, y =0, z =-1.

РАНГ МАТРИЦЫ. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Рассмотрим матрицу

размера m×n. Выберем в А произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, составляют квадратную матрицу k -го порядка, определитель которой называется минором k -го порядка матрицы А. Минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы А.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Ранг матрицы А будем обозначать r (А). Если все элементы А равны нулю, то полагаем r (A)=0. Можно обосновать следующее правило вычисления ранга матрицы: при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор К-го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k +1)-го порядка, окаймляющие минор D (т.е. содержащие его целиком внутри себя). Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен k.

 

Пример 1. Вычислить ранг матрицы

.

Заметим, что в матрице А содержатся отличные от нуля миноры 2-го порядка, например,

.

Оба минора 3-го порядка, окаймляющие минор D, равны нулю:

, .

Таким образом, .

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

(I)

Матрицы

,

называются соответственно матрицей системы и расширенной матрицей системы (I).

 

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений (I) совместна тогда и только тогда, когда r (A) = r (A*).

Эту теорему мы доказывать не будем, но укажем, как практически отыскать все решения системы (I).

Пусть r (A) = r (A*) = r, т.е. система (I) совместна. Если вычислять r (А) методом окаймляющих миноров, то в матрице А найдем минор r –го порядка D 0.

Оставляем в системе лишь те r уравнений, коэффициенты которых вошли в D. Получим систему (2). Оказывается, что каждое из отброшенных уравнений является суммой уравнений (2), умноженных на некоторые числа.

Если r = n, то по теореме Крамера система (2) имеет единственное решение, которое находим, например, по формулам Крамера.

Если же r < n, то в левых частях уравнений системы (2) оставляем те r неизвестных, коэффициенты при которых вошли в D. Остальные члены объявляем свободными и переносим в правые части уравнений. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения и вычисляя значения остальных неизвестных (например, по формулам Крамера), находим все (бесконечно много) решения системы (2). А значит, и системы (I).

В частности справедливо предположение, что совместная система (I) тогда и только тогда обладает единственным решением, когда r (A) = n, т.е. ранг матрицы А равен числу неизвестных.

Следствие. Система n линейных однородных уравнений с n неизвестными

тогда и только тогда имеет ненулевое значение, когда

.

 

Пример 2. Решить систему

 

Здесь

, ,

 

r (A) = 2 (пример 1),

.

Минор матрицы А*, окаймляющий D не входящий в А, равен 0.

Таким образом, r (A*) = 2 и система совместна. Коэффициенты 3-го уравнения не входят в минор D, поэтому 3-е уравнение можно отбросить (действительно, оно является суммой I-го и 2-го, умноженного на 5). Получим

Коэффициенты при х₁ и х₄ не входят в D, объявляем х₁ и х₄ свободными и переносим в правую часть:

По формулам Крамера

Эти равенства определяют общее решение заданной системы. Придавая в них свободным неизвестным х₁, х₄ произвольные числовые значения, получаем все решения нашей системы.

 

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ

 

Для простоты и наглядности ограничимся рассмотрением векторного пространства R² или R³, т.е. совокупности векторов пространства или плоскости. Будем считать, что все векторы исходят из фиксированной точки O.

Пусть задано отображение j пространства в себя, т.е. каждому вектору пространства сопоставлен вектор этого же пространства. Отображение j называется линейным преобразованием, если для любых векторов и пространства и любого числа a выполняются равенства:

I) ,

2) .

 

Пример I. Пусть a₀ – фиксированное число. Полагаем для любого вектора а пространства. Легко проверить, что j - линейное преобразование.

2. Поворот плоскости вокруг точки O на некоторый угол есть линейное преобразование пространства R².

3. Пусть – база (базис) R³. Если – произвольный вектор из R³, то . Пусть j - линейное преобразование R³. Тогда в силу равенств I), 2) . Поэтому достаточно знать действия на элементах базы. Возникает вопрос, существует ли такое линейное преобразование y, которое базисные элементы отображает на произвольно выбранные векторы . Ответ положительный. Если положить

.

то y - линейное преобразование и = с₁, = с₂, = с₃. (Проверьте!)

Зафиксируем в пространстве R³ некоторый базис . Пусть j - линейное преобразование этого пространства. Разложим векторы по базе : = a₁₁ℓ₁ + a₁₂ℓ₂ + a₁₃ℓ₃,

= a₂₁ℓ₁ + a₂₂ℓ₂ + a₂₃ℓ₃,

= a₃₁ℓ₁ + a₃₂ℓ₂ + a₃₃ℓ₃.

Матрица

(I)

называется матрицей линейного преобразования j в базе _.

 

Теорема 1. Пусть B_φ - матрица линейного преобразования j в базе w₁, w₂, w₃. Тогда матрицы А_φ и B_φ подобны, т.е. найдется такая невырожденная матрица Т, что

B_φ = T А_φ T^-1, А_φ = T^-1 B_φ T.

Если Y – линейное преобразование, для которого = ω₁, =ω₂, = ω₃, то в качестве матрицы Т можно взять матрицу преобразования Y в базе _.

Опускаем доказательство, которое можно провести прямым вычислением.

Если l - некоторое неизвестное, Е – единичная матрица 3-го порядка, то многочлен 3-й степени

 

называется характеристическим многочленом преобразования j (матрицы А_φ), уравнение - называется характеристическим уравнением преобразования j (матрицы А_φ), а корни этого уравнения – характеристическими корнями преобразования j (матрицы А_φ).

 

Теорема 2. Подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами, а значит, и одинаковыми характеристическими корнями.

Доказательство. Пусть A = T^-1BT. Тогда

В этой цепочке равенств второе следует из того, что lЕ перестановочна с любой матрицей, третье получается в силу закона дистрибутивности, четвертое равенство выполняется, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, а последнее равенство вытекает из соотношения

.

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования j, если аj = l₀ , где l₀ – некоторое действительное число, оно называется собственным значением преобразования j.

Считаем, что собственный вектор относится к собственному значению l₀. Заметим, что если – собственный вектор, то и – собственный вектор для любого a ¹ 0. Действительно, = = = .

В примере 1 каждый ненулевой вектор является собственным, а в примере 2, если угол поворота не является кратным p, линейное преобразование не имеет собственных векторов.

Рассмотрим линейное преобразование j с матрицей (I) в базе и предположим, что вектор является собственным вектором преобразования j.

(2)

Тогда

.

Из формулы (2), приравнивая координаты, получаем

b₁a₁₁ + b₂a₂₁ + b₃a₃₁=l₀b₁,

b₁a₁₂ + b₂a₂₂ + b₃a₃₂=l₀b₂,

b₁a₁₃ + b₂a₂₃ + b₃a₃₃=l₀b₁.

Так как a ¹ 0, то b₁, b₂, b₃ – ненулевое решение однородной системы

(3)