Линейная зависимость и независимость строк матрицы

 

Введем понятие линейной зависимости и независимости строк матрицы.

Пусть дана некоторая матрица А = и ее строки. Будем говорить, что k -ая () строка матрицы является линейной комбинацией остальных ее строк (линейно выражается через остальные), если

(3.3.1)

где – какие-то числа (некоторые из этих чисел или даже все могут быть равны нулю). Это означает наличие следующих равенств между элементами столбцов:

или , .

Из (3.3.1) вытекает, что

,

(3.3.2)

где – нулевая строка.

Определение. Строки матрицы А линейно зависимы, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

(3.3.3)

Если равенство (3.3.3) справедливо тогда и только тогда, когда , то строки называются линейно независимыми. Соотношение (3.3.2) показывает, что если одна из строк линейно выражается через остальные, то строки линейно зависимы.

Легко видеть и обратное: если строки линейно зависимы, то найдется строка, которая будет линейной комбинацией остальных строк.

Пусть, например, в (3.3.3) , тогда .

Определение. Пусть в матрице А выделен некоторый минор r -го порядка и пусть минор (r +1)-го порядка этой же матрицы целиком содержит внутри себя минор . Будем говорить, что в этом случае минор окаймляет минор (или является окаймляющим для ).

Теперь докажем важную лемму.

Лемма об окаймляющих минорах. Если минор порядка r матрицы А = отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией ее строк (столбцов), составляющих .

Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что отличный от нуля минор r -го порядка стоит в левом верхнем углу матрицы А = :

.

Для первых k строк матрицы А утверждение леммы очевидно: достаточно в линейную комбинацию включить эту же строку с коэффициентом, равным единице, а остальные – с коэффициентами, равными нулю.

Докажем теперь, что и остальные строки матрицы А линейно выражаются через первые k строк. Для этого построим минор (r +1)-го порядка путем добавления к минору k -ой строки () и l -го столбца ():

.

Полученный минор равен нулю при всех k и l. Если , то он равен нулю как содержащий два одинаковых столбца. Если , то полученный минор является окаймляющим минором для и, следовательно, равен нулю по условию леммы.

Разложим минор по элементам последнего l -го столбца:

(3.3.4)

где – алгебраические дополнения к элементам . Алгебраические дополнение есть минор матрицы А, поэтому . Разделим (3.3.4) на и выразим через :

(3.3.5)

где , .

Полагая , получим:

(3.3.6)

Выражение (3.3.6) означает, что k -я строка матрицы А линейно выражается через первые r строк.

Так как при транспонировании матрицы значения ее миноров не изменяются (ввиду свойства определителей), то все доказанное справедливо и для столбцов. Теорема доказана.

Следствие I. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов). Действительно, базисный минор матрицы отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю.

Следствие II. Определитель n -го порядка тогда и только тогда равен нулю, когда он содержит линейно зависимые строки (столбцы). Достаточность линейной зависимости строк (столбцов) для равенства определителя нулю доказана ранее как свойство определителей.

Докажем необходимость. Пусть задана квадратная матрица n -го порядка, единственный минор которой равен нулю. Отсюда следует, что ранг этой матрицы меньше n, т.е. найдется хотя бы одна строка, которая является линейной комбинацией базисных строк этой матрицы.

Докажем еще одну теорему о ранге матрицы.

Теорема. Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов и равно рангу этой матрицы.

Доказательство. Пусть ранг матрицы А = равен r. Тогда любые ее k базисных строк являются линейно независимыми, иначе базисный минор был бы равен нулю. С другой стороны, любые r +1 и более строк линейно зависимы. Предположив противное, мы могли бы найти минор порядка более чем r, отличный от нуля по следствию 2 предыдущей леммы. Последнее противоречит тому, что максимальный порядок миноров, отличных от нуля, равен r. Все доказанное для строк справедливо и для столбцов.

В заключение изложим еще один метод нахождения ранга матрицы. Ранг матрицы можно определить, если найти минор максимального порядка, отличный от нуля.

На первый взгляд, это требует вычисления хотя и конечного, но быть может, очень большого числа миноров этой матрицы.

Следующая теорема позволяет, однако, внести в этот значительные упрощения.

Теорема. Если минор матрицы А отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы равен r.

Доказательство. Достаточно показать, что любая подсистема строк матрицы при S>r будет в условиях теоремы линейно зависимой (отсюда будет следовать, что r – максимальное число линейно независимых строк матрицы или любые ее миноры порядка больше чем k равны нулю).

Предположим противное. Пусть строки линейно независимы. По лемме об окаймляющих минорах каждая из них будет линейно выражаться через строки , в которых стоит минор и которые, ввиду того, что отличен от нуля, линейно независимы:

(3.3.7)

Рассмотрим матрицу К из коэффициентов линейных выражений (3.3.7):

.

Строки этой матрицы обозначим через . Они будут линейно зависимы, так как ранг матрицы К, т.е. максимальное число ее линейно независимых строк, не превышает r<S. Поэтому существуют такие числа , не все равны нулю, что

.

Перейдем к равенству компонент

, .

(3.3.8)

Теперь рассмотрим следующую линейную комбинацию:

или

 

Используя (3.3.7) и (3.3.8), получаем

,

что противоречит линейной независимости строк .

Следовательно, наше предположение неверно и, значит, любые S>r строк в условиях теоремы линейно зависимы. Теорема доказана.

Рассмотрим правило вычисления ранга матрицы – метод окаймляющих миноров, основанный на данной теореме.

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор r-го порядка , отличный от нуля, то требуется вычислить лишь миноры (r +1)-го порядка, окаймляющие минор . Если они равны нулю, то ранг матрицы равен r. Этот метод применяется и в том случае, если мы не только вычисляем ранг матрицы, но и определяем, какие столбцы (строки) составляют базисный минор матрицы.

Пример. Вычислить методом окаймляющих миноров ранг матрицы

.

Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы А, отличен от нуля:

.

Однако все окаймляющие его миноры третьего порядка равны нулю:

;	;
;	;
;	.

Следовательно, ранг матрицы А равен двум: .

Первая и вторая строки, первый и второй столбцы в данной матрице являются базисными. Остальные строки и столбцы являются их линейными комбинациями. В самом деле, для строк справедливы следующие равенства:

В заключение отметим справедливость следующих свойств:

1) ранг произведения матриц не больше ранга каждого из сомножителей;

2) ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А.

Многочленные матрицы

 

Определение. Многочленной матрицей или -матрицей называется прямоугольная матрица, элементы которой являются многочленами от одного переменного с числовыми коэффициентами.

Над -матрицами можно совершать элементарные преобразования. К ним относятся:

1. перестановка двух строк (столбцов);

2. умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3. прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любой многочлен .

Две -матрицы и одинаковых размеров называются эквивалентными: , если от матрицы к можно перейти с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Пример. Доказать эквивалентность матриц

,

.

Решение.

1. Поменяем местами в матрице первый и второй столбцы:

.

2. Из второй строки вычтем первую, умноженную на ():

.

3. Умножим вторую строку на (–1) и заметим, что

.

Получим

.

4. Вычтем из второго столбца первый, умноженный на , получим

.

Множество всех -матриц данных размеров разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных матриц. Матрицы, эквивалентные между собой, образуют один класс, не эквивалентные – другой.

Каждый класс эквивалентных матриц характеризуется канонической, или нормальной, -матрицей данных размеров.

Определение. Канонической, или нормальной, -матрицей размеров называется -матрица, у которой на главной диагонали стоят многочлены , где р – меньшее из чисел m и n (), причем не равные нулю многочлены имеют старшие коэффициенты, равные 1, и каждый следующий многочлен делиться на предыдущий. Все элементы вне главной диагонали равны 0.

Из определения следует, что если среди многочленов имеются многочлены нулевой степени, то они в начале главной диагонали. Если имеются нули, то они стоят в конце главной диагонали.

Матрица предыдущего примера есть каноническая. Матрица

также каноническая.

Каждый класс -матриц содержит единственную каноническую -матрицу, т.е. каждая -матрица эквивалентна единственной канонической матрице, которая называется канонической формой или нормальной формой данной матрицы.

Многочлены, стоящие на главной диагонали канонической формы данной -матрицы, называются инвариантными множителями данной матрицы.

Один из методов вычисления инвариантных множителей состоит в приведении данной -матрицы к канонической форме.

Так, для матрицы предыдущего примера инвариантными множителями являются

, , , .

Из сказанного следует, что наличие одной и той же совокупности инвариантных множителей является необходимым и достаточным условием эквивалентности -матриц.

Приведение -матриц к каноническому виду сводится к определению инвариантных множителей

, ; ,

где r – ранг -матрицы; – наибольший общий делитель миноров k -го порядка, взятый со старшим коэффициентом, равным 1.

Пример. Пусть дана -матрица

.

Решение. Очевидно, наибольший общий делитель первого порядка D₁ =1, т.е. .

Определим миноры второго порядка:

,

и т.д.

Уже этих данных достаточно для того, чтобы сделать вывод: D₂ =1, следовательно, .

Определяем D₃

,

Следовательно, .

Таким образом, канонической формой данной матрицы является следующая
-матрица:

.

Матричным многочленом называется выражение вида

,

где – переменное; – квадратные матрицы порядка n с числовыми элементами.

Если , то S называют степенью матричного многочлена, n – порядком матричного многочлена.

Любую квадратичную -матрицу можно представить в виде матричного многочлена. Справедливо, очевидно, и обратное утверждение, т.е. любой матричный многочлен можно представить в виде некоторой квадратной -матрицы.

Справедливость данных утверждений со всей очевидностью вытекает из свойств операций над матрицами. Остановимся на следующих примерах:

Пример. Представить многочленную матрицу

в виде матричного многочлена можно следующим образом

.

Пример. Матричный многочлен

можно представить в виде следующей многочленной матрицы ( -матрицы)

.

Эта взаимозаменяемость матричных многочленов и многочленных матриц играет существенную роль в математическом аппарате методов факторного и компонентного анализа.

Матричные многочлены одинакового порядка можно складывать, вычитать и умножать аналогично обычным многочленам с числовыми коэффициентами. Следует, однако, помнить, что умножение матричных многочленов, вообще говоря, не коммутативно, т.к. не коммутативно умножение матриц.

Два матричных многочлена называются равными, если равны их коэффициенты, т.е. соответствующие матрицы при одинаковых степенях переменного .

Суммой (разностью) двух матричных многочленов и называется такой матричный многочлен, у которого коэффициент при каждой степени переменного равен сумме (разности) коэффициентов при той же степени в многочленах и .

Чтобы умножить матричный многочлен на матричный многочлен , нужно каждый член матричного многочлена умножить на каждый член матричного многочлена , сложить полученные произведения и привести подобные члены.

Степень матричного многочлена – произведения меньше или равна сумме степеней сомножителей.

Операции над матричными многочленами можно осуществлять с помощью операций над соответствующими -матрицами.

Чтобы сложить (вычесть) матричные многочлены, достаточно сложить (вычесть) соответствующие -матрицы. То же относится к умножению. -матрица произведения матричных многочленов равна произведению -матриц сомножителей.

Пример.

С другой стороны и можно записать в виде

и

Так как умножение матриц не коммутативно, для матричных многочленов определяются два деления с остатком – правое и левое.

Пусть даны два матричных многочлена порядка n

где В ₀ – невырожденная матрица.

При делении на существует однозначно определенное правое частное и правый остаток

,

где степень R₁ меньше степени , или (деление без остатка), а также левое частное и левый остаток

где степень меньше степени , или =0 (деление без остатка).

Обобщённая теорема Безу. При делении матричного многочлена на многочлен правый остаток равен правому значению делимого при , т.е. матрице

,

(3.4.1)

а левый остаток – левому значению делимого при , т.е. матрице

(3.4.2)

Доказательство. Доказательство справедливости обеих формул (3.4.1) и (3.4.2) осуществляется одинаково, непосредственной подстановкой. Докажем одну из них.

Итак, делимое – , делитель – , в качестве частного имеем многочлен

Определим произведение :

т.е.

или

т.е.

что и требовалось доказать.

Следствие. делится справа (слева) на многочлен тогда и только тогда, когда равно 0.

Пример. Показать, что матричный многочлен

делится на матричный многочлен ,

где , слева без остатка.

Решение. В самом деле, справедливо равенство

, где

Подсчитаем значение левого остатка по теореме Безу

.

 

3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3

3.1. Найти обратную матрицу

.

 

3.2. Найти обратную матрицу порядка n

.

 

3.3. Найти обратную матрицу порядка n

.

 

3.4. Найти обратную матрицу порядка n

.

 

3.5. Найти обратную матрицу

.

 

3.6. Найти обратную матрицу порядка (n+1)

.

3.7. Найти обратную матрицу порядка n

.

 

3.8. Как изменится обратная матрица , если в данной матрице :

а) переставить i -ую и j -ую строки?

б) i -ую строку умножить на число с, не равное нулю?

в) к i -ой строке прибавить j -ую, умноженную на число с, или совершить аналогичное преобразование столбцов?

 

3.9. Найти матрицу , обратную для матрицы , где и – единичные матрицы соответственно порядков k и l, U – произвольная матрица порядка , а все остальные элементы равны нулю.

 

3.10. Показать, что операция транспонирования матрицы обладает свойствами:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ,

где с – число, а А и В – матрицы.

 

3.11. Доказать, что если А и В – симметрические квадратные матрицы одинакового порядка, то матрица является симметрической.

 

3.12. Показать, что для любой матрицы В матрица является симметрической.

 

3.13. Квадратная матрица порядка n называется ортогональной, если , где Е – единичная матрица. Показать, что для ортогональности квадратной матрицы А необходимо и достаточно любое из следующих условий:

а) столбцы А образуют ортонормированную систему, т.е.

,

где – символ Кронекера, обозначающий 1 при i=j и 0 при ;

б) строки А образуют ортонормированную систему, т.е.

.

 

3.14. Доказать, что ранг суммы двух матриц не больше суммы их рангов.

 

3.15. Доказать, что если ранг матрицы А равен r, то минор d, стоящий на пересечении любых r линейно независимых строк и r линейно независимых столбцов этой матрицы, отличен от нуля.