Вычисление определителей n-го порядка

 

Полученные в предыдущем параграфе результаты позволяют свести вычисление определителей порядка n к вычислению нескольких определителей порядка n-1.

Действительно, является суммой нескольких членов определителя |A|. Легко подсчитать число этих членов: оно равно числу членов в миноре , т.е. равно (n-1)!.

Рассмотрим теперь все произведения элементов i-ой строки на соответствующие им алгебраические дополнения, т.е. произведения

(2.4.1)

С одной стороны, никакой член определителя |A| не может войти в состав двух разных произведений (2.4.1), так как все члены определителя, входящие в любое произведение , содержат из i-й строки элемент и поэтому отличается от членов, входящих в остальные произведения.

С другой стороны, общее число членов определителя |A|, входящих во все произведения (2.3.1), равно , т.е. совпадает с числом членов определителя порядка n.

Таким образом, мы доказали, что имеет место следующая теорема.

Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки на их алгебраические дополнения, т.е.

(2.4.2)

Аналогично разложение определителя можно получить и по любому его столбцу.

Теорема. Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (другого столбца) равна нулю.

Перепишем выражение (2.4.2) в виде

(2.4.3)

так как алгебраические дополнения не зависит от элементов i-ой строки, то равенство (2.4.3) является тождеством относительно элементов .

Заменив элементы соответствующими элементами любой k-ой строки, , получим

(2.4.4)

Левая часть равенства (2.4.4) есть определитель, содержащий две одинаковые строки и, следовательно, равна нулю. Теорема доказана.

Вычисление определителей n-го порядка производится на основании соотношения (2.4.2) разложением определителя по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. В этом случае необходимо вычислить n определителей порядка n-1. Используя следствие 5, можно свести вычисления определителя порядка n к вычислению лишь одного определителя порядка (n-1). Для этого на основании следствия 5 необходимо так преобразовать определитель порядка n, чтобы некоторая строка (столбец) содержала только один ненулевой элемент.

Пример. Вычислить определитель.

.

Решение. На основании свойства определителей, именно следствия 5, преобразуем данный определитель следующим образом: из элементов второго столбца вычтем удвоенные соответствующие элементы первого столбца:

Элемент a₅₂ = 1 назовем направляющим элементом. Второй столбец преобразуем в единичный с единицей на месте направляющего элемента a₅₂. Для этого ко второй и к четвертой строкам прибавим направляющую пятую строку, соответственно умноженную на 1 и на 2.

Тогда

Разложим определитель по элементам второго столбца

.

Из элементов второй строки вычтем удвоенные соответствующие элементы первой строки

.

Выбирая в качестве направляющего элемента элемент , преобразуем вторую строку в единичную. Для этого ко второму, третьему и четвертому столбцам прибавим первый столбец, умноженный на –1.

.

Разложим определитель по элементам второй строки:

.

Вычтем из второй строки первую и разложим определитель по элементам второй строки. В результате получим

.

2.5. Задания для самостоятельной работы по главе 2

2.1.

 

2.2.

 

2.3.

 

2.4. Доказать, что для равенства нулю определителя второго порядка необходимо и достаточно, чтобы его строки были пропорциональны. То же верно и для столбцов (если некоторые элементы определителя равны нулю, то пропорциональность можно понимать в том смысле, что элементы одной строки получаются из соответствующих элементов другой строки умножением на одно и то же число, быть может, равное нулю).

 

2.5.

 

2.6. Показать, что значение дроби , где по крайней мере одно из чисел с или d отлично от нуля, тогда и только тогда не зависит от значения х, когда

 

2.7. Найти наибольшее значение, которое может принимать определитель 3-го порядка, при условии, что все его элементы равны 1 или (-1).

 

2.8. Найти наибольшее значение, которое может принимать определитель 3-го порядка, при условии, что все его элементы равны 1 или 0.

 

2.9. Доказать, что от любой перестановки чисел 1,2,…,n, содержащей k инверсий, можно перейти к исходному положению путем k смежных транспозиций, но нельзя перейти путем меньшего числа таких транспозиций.

 

2.10. Выбрать значения i и k так, чтобы произведение входило в определитель 6-го порядка со знаком минус.

 

2.11. Вычислить определитель

,

в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

 

2.12. Решить уравнение

 

2.13. Доказать, что определитель не изменится, если к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец.

 

2.14. Разлагая по 3-ей строке, вычислить определитель

 

2.15. Вычислить определитель