![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Правила вычисления определителей.Содержание книги Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Опр. Определитель 1-го порядка – это определитель квадратной матрицы 1-го порядка А1, который равен значению элемента а11, так как матрица А1 состоит из одного этого элемента, который одновременно является ее числовой характеристикой: D=|A1|= a11.
Опр. Определитель 2-го порядка – это определитель квадратной матрицы 2-го порядка А2, который вычисляется по формуле D = |A2| = то есть он равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей (рис.2.1).
Рисунок 2.1 Пример. Опр. Определитель 3-го порядка – это определитель квадратной матрицы 3-го порядка А3, который вычисляется по формуле D = |A3| = = а11×а22×а33 + а12×а23×а31 + а13×а21×а32 - а13×а22×а31 - а12×а21×а33 - а11×а23×а32 (2.2)
Для запоминания формулы (2.2) используют правило треугольников, которое символически изображено на рисунке 2.2.
Рисунок 2.2
Со знаком (+) берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со знаком (-) берутся произведения элементов, стоящих на побочной диагонали, и произведения элементов, стоящих в вершинах треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали.
Пример. D= Опр. Минор Mij элемента aij - это определитель, который получается из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент aij. Например,
М33 = Опр. Алгебраическое дополнение Aij элемента aij - это минор Mij, взятый со знаком (-1)i+j, то есть Aij = (-1)i+j×Mij. Например, if D= Теорема Лапласа (точнее, частный случай теоремы Лапласа). Всякий определитель равен сумме попарных произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения, то есть D = |An| = где Доказательство. Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере разложения определителя 3-го порядка, например, по 1-й строке. По теореме это разложение будет иметь вид: D=
Следствие. Если в i–й строке (j-м столбце) определителя D есть только один ненулевой элемент аij ¹ 0, то результатом разложения определителя по этой строке (столбцу) будет выражение D = аij×Аij.
Свойства определителей.
1) При транспонировании определителя его значение не меняется, (то есть значение определителя не меняется при замене его строк столбцами с теми же номерами). Доказательство: D = NB. Следовательно, строки и столбцы определителя равноправны, поэтому его свойства можно формулировать и доказывать либо для строк, либо для столбцов. 2) При взаимной перестановке любых двух строк (столбцов) определителя его знак меняется на противоположный. Доказательство: D =
3) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю. Доказательство. Пусть определитель D имеет две одинаковые строки. Если поменять их местами, то, с одной стороны, величина определителя не изменится, так как строки одинаковы, а с другой стороны определитель должен поменять свой знак на противоположный по свойству 2. Таким образом, имеем: D = -D Þ D = 0. 4) Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя. Доказательство: D= Следствие: D = NB. Правило умножения определителя на число. Чтобы умножить определитель на число, надо все элементы какой-то одной его строки (столбца) умножить на это число. 5) Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю. Доказательство. По свойству 4 вынесем общий множитель l = 0 элементов нулевой строки (столбца) за знак определителя. Получим 0×D = 0. 6) Определитель с двумя и более пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
Доказательство. Если вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности двух строк (столбцов) l≠0, то получится определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равный нулю по свойству 3. 7) Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представить в виде суммы k слагаемых, то такой определитель равен сумме k определителей, у которых элементы этой строки (столбца) заменены соответствующими слагаемыми, а все остальные элементы такие же как у исходного определителя. Доказательство: D=
Опр. n-ая строка определителя называется линейной комбинацией его остальных (n-1) строк, если ее можно представить в виде суммы произведений этих строк на соответствующие числа l1, l2, …, ln-1. Например, в определителе
3–я строка является линейной комбинацией первых двух строк. NB. Линейная комбинация называется тривиальной, если в ней "li = 0. В противном случае линейная комбинация называется нетривиальной (if $li ¹ 0). 8 а) Если одна строка (столбец) определителя является линейной комбинацией других его строк (столбцов), то такой определитель равен нулю. Доказательство: D =
Доказательство: Пусть D= Þ 9) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) определителя равна нулю, то есть D = Тогда а11А21 + а12А22 + а13А23 = 0, так как выполнено умножение элементов 1-ой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов 2-ой строки. Доказательство: а11А21 + а12А22 + а13А23 = а11×(-1)2+1 ={это есть разложение по 1-й строке определителя (-1)× Если определитель D¹0, то по свойству 8 б) в нем всегда можно «обнулить» i-ю строку (j-й столбец) до единственного ненулевого элемента и разложить определитель по этой строке (столбцу). Применяя эту операцию нужное число раз, всегда можно из определителя n-го порядка получить определитель 2-го порядка. Пример 1. Вычислить определитель D = Решение: Используя свойство 8 б) определителей, проще всего 2-ую строку «обнулить» до единственного ненулевого элемента, так как ее элементы минимальны по абсолютной величине и она уже содержит один ноль. Для этой цели выберем в определителе так называемый активный столбец, ненулевой элемент которого стоящий на пересечении с обнуляемой строкой должен быть минимальным по модулю из всех элементов этой строки (оптимально, если он равен ±1.). В данном случае таких столбцов два: 1-ый и 3-ий. Возьмем в качестве активного 3-ий столбец, так как у него со 2-ой строкой общий элемент а23=1 и по сравнению с 1-ым столбцом его элементы по модулю меньше. Чтобы обнулить 1-ый элемент 2-ой строки, умножим активный столбец на (-1) и прибавим его к 1-му столбцу. Аналогично, чтобы обнулить 4-ый элемент 2-ой строки, умножим активный столбец на (-2) и прибавим его к 4-му столбцу. В результате, во 2-ой строке останется только один ненулевой элемент а23=1 (который принадлежит активному столбцу). Запишем эти действия:
Пример 2. Вычислить определитель D =
NB 1. В случае если обнуляющий элемент активной строки (столбца) не равен ±1, то, используя линейную комбинацию соответствующих строк (столбцов), всегда можно добиться того, чтобы он стал равен ±1. Пример 3. Вычислить определитель
NB 2. Определитель треугольного вида равен произведению его диагональных элементов, то есть
Доказательство. Последовательно разлагая определитель треугольного вида D= D = а11×а22 ×××аnn = Пример 4. Вычислить определитель сведением его к треугольному виду. D= Решение. Чтобы свести определитель к треугольному виду, необходимо в 1-ом столбце обнулить три элемента, во 2-ом – два, в 3-ем – один и опустить их вниз, чтобы все они были под главной диагональю. Начнем обнуление с 1-го столбца. Для этой цели выберем в качестве активной 2-ую строку, у которой 1-ый элемент равен 1, а остальные элементы минимальны по модулю по сравнению с элементами 1-ой и 4-ой строк. С помощью этой активной строки обнулим 1-ый столбец.
Невырожденные матрицы.
Обратная матрица. Опр. Матрица
Опр. Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель |A|=0, и невырожденной, если ее определитель |A|¹0. Опр. Квадратная матрица А-1 называется обратной (инверсной) к квадратной матрице А, если выполняется условие А-1×А = А×А-1= Е (3.2) NB. Обратная матрица А-1 возможна только для невырожденной матрицы А. Теорема. Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная обратная матрица А-1, которая находится по формуле А-1 = Доказательство. 1) Из определения А-1×А = А×А-1 следует, что А и А-1- это квадратные матрицы одного порядка. Пусть матрица А – невырожденная, то есть |A|¹0. Тогда, по правилу умножения матриц, по теореме Лапласа и по свойству 9 определителей, получим А× = |A|× Следовательно, А× Из А× 2) Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что для матрицы А существует еще одна обратная матрица В. Тогда, согласно определению произведение А×В=Е. Обе части последнего равенства умножим слева на обратную матрицу А-1 и получим: А-1×А×В = А-1×Е Þ Е×В = А-1×Е Þ В = А-1. Fin.
Свойства обратной матрицы: 1) |A-1| = 2) (A×B)-1 = B-1×A-1; 3) (A-1)т = (Ат)-1.
3.1.1. Вычисление обратной матрицы А-1 с помощью присоединенной матрицы
Для этого необходимо: 1) Вычислить определитель |A|. Если |A|=0, следовательно матрица А – вырожденная и для нее нет обратной матрицы А-1. Если же |A|¹0, то следует выполнить следующие действия. 2) Вычислить алгебраические дополнения Aij всех элементов aij матрицы А и построить матрицу АА, в которой на местах элементов aij будут стоять их алгебраические дополнения Aij: АА = 3) Транспонировать матрицу АА, чтобы получить присоединенную матрицу
4) Вычислить обратную матрицу А-1 по формуле: А-1 = 5) Выполнить проверку: А-1×А = Е.
Пример. Дано: А= Решение: 1) Вычислим определитель |A|. Для этого сначала «обнулим» первый столбец, а затем приведем определитель к треугольному виду.
А11=(-1)2
А21=(-1)3 А31=(-1)4 3) Составим матрицу АА из алгебраических дополнений Aij и транспонируем ее, чтобы получить присоединенную матрицу АА= 4) Найдем обратную матрицу по формуле: А-1 = NB. В случае, когда |A| ¹ ±1, множитель 5) Проверка: А-1×А = Ответ: А-1 = 3.1.2. Вычисление обратной матрицы А-1 методом элементарных преобразований над строками матрицы.
Элементарными преобразованиями матрицы называются: 1) перестановка строк (столбцов) матрицы; 2) умножение элементов строки (столбца) на число l¹0; 3) прибавление элементов одной строки (столбца) к соответствующим элементам другой строки (столбца); 4) вычеркивание нулевой строки (столбца) матрицы. NB. При элементарных преобразованиях получают только эквивалентные матрицы. Опр. Матрицы А и В называются эквивалентными (A~B), если одна из них получается из другой в результате конечного числа элементарных преобразований. Суть метода элементарных преобразований над строками матрицы. К исходной квадратной матрице An справа через разделительную вертикальную черту приписывают единичную матрицу Е того же порядка, что и А, и таким образом получают расширенную матрицу (A|E). Далее, с помощью элементарных преобразований над строками приводят матрицу (A|E) сначала к ступенчатому виду (А1|B), где А1 – верхняя треугольная матрица, а затем к виду (Е|А-1). Таким образом, имеет место преобразование: (А|Е)Þ(Е|А-1).
Пример. Дано: А=
Проверка: А-1×А =
Ранг матрицы
Если в прямоугольной матрице Аm´n выделить любые k строк и k столбцов (k Опр. Минор k–го порядка Мk матрицы А называется базисным минором, если сам он не равен нулю, а все миноры более высоких порядков равны нулю. NB. В матрице может быть несколько базисных миноров, но все они будут одного порядка. NB. Строки и столбцы базисного минора называются базисными строками и столбцами. Опр. Ранг матрицы есть порядок ее базисного минора. Ранг матрицы А обозначается символом r(A) или rang A. NB.Только для нулевой матрицы О ее ранг r(O)=0.
Ранг матрицы не меняется:
1) при транспонировании матрицы; 2) если в матрице приписать или вычеркнуть нулевую строку (столбец); 3) при элементарных преобразованиях матрицы.
Опр. Матрица называется ступенчатой, если в каждой ее строке, начиная со второй, первый ненулевой элемент от начала строки расположен строго правее, чем первый ненулевой элемент предыдущей строки. Например,
NB. С помощью элементарных преобразований матрицу всегда можно привести к ступенчатому виду Опр. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. NB. В ступенчатой матрице всегда можно выделить базисный минор треугольного вида с ненулевыми диагональными элементами, порядок которого равен числу ненулевых строк. Например, в матрице А можно выделить два таких базисных минора
Пример. Найти ранг матрицы А= Решение. Элементарными преобразованиями приведем матрицу А к ступенчатому виду.
Ответ: r(A) = 3
|
||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; просмотров: 1089; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.137.161.182 (0.011 с.) |