Формулы Крамера для решения квадратной СЛАУ.

 

Решение квадратной СЛАУ в матричной форме Х = А^-1×В запишем в виде

Þ Þ

Þ x₁= ,

………………………………

x_n= ,

где A₁₁b₁+A₂₁b₂+…+A_n1b_n есть разложение по первому столбцу определителя D₁:

D₁ = .

Определитель D₁ называется первым побочным определителем квадратной СЛАУ, который получается из ее главного определителя D заменой 1-го столбца на столбец свободных членов. Следовательно, х₁ = . Аналогично находим, что х_n = , где D_n есть n–ый побочный определитель квадратной СЛАУ, который получается из ее главного определителя D заменой n–го столбца на столбец свободных членов. Таким образом, для квадратной СЛАУ значения неизвестных x_i находятся по формулам

x_i = , (4.5)

где D_i есть i–ый побочный определитель квадратной СЛАУ, который получается из ее главного определителя D заменой i–го столбца на столбец свободных членов.

Формулы (4.5) называются формулами Крамера.

Правило Крамера. Если главный определитель квадратной СЛАУ не равен нулю (D¹0), то такая СЛАУ имеет единственное решение в виде (4.5) (т.е. она является совместной и определенной). Если главный определитель квадратной СЛАУ равен нулю (D = 0), то формулы Крамера в виде (4.5) применять нельзя, так как деление на нуль недопустимо. Тогда решение квадратной СЛАУ следует искать в виде

D×x_i = D_i (4.6)

В этом случае, если хотя бы один из побочных определителей D_i ¹ 0 (при D = 0), то такая СЛАУ решений не имеет (то есть она является несовместной), так как при "x_i левая часть i–го уравнения (4.6) равна нулю, а правая – нет, то есть равенство (4.6) не выполняется ни при каких значениях х_i.

Если же D = D₁ = … = D_n = 0, то такая квадратная СЛАУ имеет бесконечное множество решений (то есть является совместной и неопределенной), так как равенства (4.6) выполняются при любых значениях х_i.

Пример 1. Решить СЛАУ

Решение. Это квадратная СЛАУ. Ее главный определитель равен

D= _-2 = = = 10 ¹ 0 Þ данная СЛАУ имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера (4.5).

_{-2 1}

D₁ = = = 1×(-1)⁵ = = 12-7 = 5 Þ х₁ = = 0,5.

₃

D₂ = = =1×(-1)²× = 5×2× = 10×(4-2) = 20 Þ х₂ = = 2.

_-2

D₃ = = =1×(-1)²×(-5)× = -5×(2-5) = 15 Þ х₃ = = 1,5.

Проверка.

0,5+2×2-3×1,5=0 Û 0º0

2×0,5-2+4×1,5=5 Û 5º5

3×0,5+2-1,5=2 Û 2º2

Ответ: х₁ = 0,5; х₂ = 2; х₃ = 1,5.

Пример 2. Решить квадратную СЛАУ

_{-2 -1}

Решение: D = = = 1×(-1)⁴× = 0.

 

_{-4 -1}

D₁ = = = 1×(-1)⁴× = 0.

D₂ = _-2 = = 1×(-1)² = 0.

 

D₃ = _-2 = =1×(-1)²× = 0.

Так как D = D₁ = D₂ = D₃ = 0, то данная СЛАУ является совместной и неопределенной. Это значит, что в СЛАУ из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными, по меньшей мере, одно уравнение представляет собой линейную комбинацию двух других, и, следовательно, эта СЛАУ эквивалентна СЛАУ из 2-х уравнений с 3-мя неизвестными. Поэтому она является неопределенной. Для любой неопределенной СЛАУ, когда число неизвестных превышает ранг основной матрицы (n>r(A)), часть неизвестных называют базисными (главными), а остальные – свободными. Базисными неизвестными называются те, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Поскольку базисных миноров может быть несколько, то и вариантов выбора базисных неизвестных также может быть несколько.

В данном примере за базисные неизвестные можно взять любую пару из неизвестных х₁, х₂, х₃, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Пусть, например, это будет пара из х₁ и х₂, так как коэффициенты при них образуют базисный минор в двух первых уравнениях СЛАУ: D^/= = -3. В данном случае он будет главным определителем новой СЛАУ. Поскольку в определитель D^/ вошли только коэффициенты первых двух уравнений, то в новую СЛАУ 3-е уравнение входить не будет, так как оно является линейной комбинацией первых двух уравнений.

Оставшаяся неизвестная х₃ будет свободной. Зафиксируем ее и чтобы отличить от базисных неизвестных переобозначим: пусть х₃ = с₃. Теперь в обоих уравнениях новой СЛАУ перенесем с₃ в правую часть к свободным членам:

Решим новую СЛАУ по формулам Крамера (4.5).

Главный определитель D^/ = -3; первый побочный определитель =1+3с₃ -2(4-с₃)=5с₃ -7 Þ х₁ = ;

второй побочный определитель = 4-с₃-2(1+3с₃)=2-7с₃ Þ

Þ х₂ = . Ответ: х₁ = ; х₂ = ; х₃ = с₃, где с₃ = const.

Общее решение неопределенной СЛАУ – это множество всех ее частных решений.

Частное решение СЛАУ, получаемое из его общего решения при нулевых значениях свободных неизвестных, называется базисным решением этой СЛАУ. Так, в последнем примере базисным решением СЛАУ будет: х₁ = 7/3, х₂ = -2/3, х₃ = 0.