Метод Гаусса исключения неизвестных.

 

В отличие от матричного метода и формул Крамера метод Гаусса является универсальным, так как применим для решения и исследования на совместность не только квадратных, но любых СЛАУ. Суть метода: СЛАУ кратко записывается в виде расширенной матрицы, которая с помощью элементарных преобразований над строками приводится к ступенчатому виду. Этот процесс называется прямым ходом метода Гаусса. Тогда каждой строке ступенчатой расширенной матрицы соответствует уравнение ступенчатой СЛАУ. Ступенчатая СЛАУ несовместна, если она содержит уравнение вида 0×х₁ + 0×х₂ +…+0×х_n = С, (где С ¹ 0), соответствующее строке расширенной матрицы, так как такому уравнению соответствует невыполнимое равенство 0 = С. Полностью нулевые строки расширенной матрицы вычеркиваются, так как они соответствуют тождеству 0×х₁ + 0×х₂ +…+0×х_n º 0, которое выполняется при любых значениях неизвестных х₁, х₂, …, х_n.

Решение совместной СЛАУ ступенчатого вида находят так: из последнего уравнения СЛАУ находят значение неизвестной x_n и подставляют в вышестоящее уравнение, чтобы найти значение неизвестной x_n-1. Далее, используя значения этих двух неизвестных, поднимаются на ступеньку выше и находят значение неизвестной x_n-2 и так далее. Последним находят значение неизвестной x₁ из 1-го уравнения ступенчатой СЛАУ. Описанный процесс называется обратным ходом метода Гаусса.

 

Пример 1. Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

~ ~ ~ ~ Þ Число неизвестных n = 3 = r(A) = r(A|B), то есть ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы СЛАУ равны числу неизвестных. Тогда по теореме Кронекера-Капелли данная СЛАУ совместная и определенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ

Проверка: 1+1+1=3 Û 3º3

2×1+3×1+2×1=7 Û 7º7

5×1-1-1=3 Û 3º3

Ответ: х₁ = х₂ = х₃ = 1.

 

Пример 2. Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

 

~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ Þ Число неизвестных n=4=r(A)=r(A|B), то есть ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы СЛАУ равны числу неизвестных. Тогда по теореме Кронекера-Капелли данная СЛАУ совместная и определенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ

Проверка:

2×(-2)-2×1+3+3=0 Û 0º0

2×(-2)+3×1+4-3×3+6=0 Û 0º0

3×(-2)+4×1-4+2×3=0 Û 0º0

-2+3×1+4-3-2=0 Û 0º0

Ответ: х₁ = -2; х₂ = 1; х₃ = 4; х₄ = 3.

 

Пример 3. Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

_-2 ~ ~ ~ ~ Þ Число неизвестных n=4>2=r(A)=r(A|B). По теореме Кронекера-Капелли данная СЛАУ совместная и неопределенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ

В данной ступенчатой СЛАУ число неизвестных больше числа уравнений. Поэтому она является неопределенной. Для любой неопределенной СЛАУ, когда число неизвестных превышает ранг матрицы коэффициентов (n > r(A)), часть неизвестных называют базисными (главными), а остальные – свободными неизвестными. Число базисных неизвестных равно рангу матрицы коэффициентов. В качестве базисных неизвестных берут те, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Поскольку базисных миноров может быть несколько, то и вариантов выбора базисных неизвестных может быть несколько.

В данном примере за базисные неизвестные можно взять любую пару из неизвестных х₁, х₂, х₃, х₄, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Пусть, например, это будет пара х₁, х₂, так как коэффициенты при этих неизвестных образуют базисный минор М₂ = = 11 ¹ 0, который берется из ступенчатой СЛАУ. Следовательно, остальные неизвестные х₃, х₄ являются свободными. Зафиксируем их и, чтобы отличить от базисных неизвестных, переобозначим: х₃ = с₃, х₄ = с₄. Затем перенесем их в правую часть соответствующих уравнений и выразим через них базисные неизвестные х₁ и х₂:

Ответ: х₁ = 1/11×(1-14с₃+2с₄); х₂ = 1/11×(2-6с₃-7с₄); х₃ = с₃; х₄ = с₄, где с₃, с₄ - const.

 

 

Однородная СЛАУ.

 

В однородной СЛАУ столбец свободных членов равен нулю. Эта СЛАУ имеет вид

(4.8)

В однородной СЛАУ нулевой столбец не меняется при элементарных преобразованиях над строками расширенной матрицы. Поэтому в ней ранг матрицы коэффициентов всегда равен рангу расширенной матрицы: r(A) = r(A|B). Тогда, по теореме Кронекера-Капелли любая однородная СЛАУ всегда совместна и, согласно ее виду (4.8), всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: х₁ = … = х_n = 0. Если при этом ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных (r(A) = n), то для однородной СЛАУ нулевое решение является единственно возможным.

Теорема 1.

Для того, чтобы однородная СЛАУ имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы коэффициентов был меньше числа неизвестных (r(A) < n).

Доказательство.

1) Необходимость. Предположим обратное, то есть, что r(A) = n, где n – число неизвестных. Тогда порядок базисного минора M_n будет равен n, так как r(M_n) = r(A) = n. Следовательно, по формулам Крамера однородная СЛАУ будет иметь единственное решение – нулевое: x_i = = 0, где D_i = 0, а D ¹ 0. Таким образом, при r(A) = n однородная СЛАУ ненулевых решений не имеет.

2) Достаточность. Пусть r(A) < n, тогда по следствию 2 теоремы Кронекера-Капелли однородная СЛАУ будет совместной и неопределенной, то есть она будет иметь бесконечное множество решений, в том числе и ненулевых. Fin.

Теорема 2.

Для того, чтобы квадратная однородная СЛАУ имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель равнялся нулю (D = 0).

Доказательство.

1) Необходимость. По вышеприведенной теореме 1, если однородная СЛАУ имеет ненулевые решения, то ранг ее матрицы коэффициентов должен быть меньше числа неизвестных (r(A) < n). Следовательно, главный определитель квадратной однородной СЛАУ должен быть равен нулю (D = 0).

2) Достаточность. Если главный определитель квадратной однородной СЛАУ равен нулю (D = 0), то ранг ее матрицы коэффициентов будет меньше числа неизвестных (r(A) < n). Поэтому такая СЛАУ имеет бесконечное множество ненулевых решений. Fin.

 

Пример. Найти ненулевые решения однородной СЛАУ.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

_-3 ~ ~ = B

Число неизвестных n = 4 > 2 = r(A) = r(А_В), тогда по теореме 1 однородная СЛАУ помимо нулевого решения имеет и ненулевые решения. Найдем их. Полученной ступенчатой расширенной матрице В соответствует ступенчатая СЛАУ

Чтобы решить ее, в качестве базисных можно взять неизвестные х₁ и х₂, так как коэффициенты при них образуют один из базисных миноров М₂ = = 1 ¹ 0. Следовательно, остальные неизвестные – свободные. Переобозначим их: х₃ = с₃, х₄ = с₄ и перенесем в правую часть соответствующих уравнений.

 

Ответ: х₁ = 2с₃-с₄; х₂ = 3с₃+2с₄; х₃ = с₃; х₄ = с₄, где с₃, с₄ - const.

 

 

Приложение 1.

Индивидуальная домашняя работа (ИДР) по теме:

«Линейная алгебра».

1) Пользуясь свойствами определителей, доказать тождество.

2) Вычислить А^Т; А×А^Т и ½А½.

3) Решить квадратную СЛАУ:

а) с помощью обратной матрицы;

б) по формулам Крамера.

4) Выполнить действия над матрицами.

5) Найти значения l, для которых существует обратная матрица А^-1.

6) Найти ранг r(A) матрицы А.

7(а, б) Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

8) Найти ненулевые решения однородной СЛАУ.

 

 

Вариант 1.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А² - В^-1×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 2.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; (А×B)^-1 + B×A^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

Вариант 3.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А×В^-1 + 2B×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 4.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А^-1×B - A×B^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

Вариант 5.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А² - В^-1×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 6.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А² - В×A^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

Вариант 7.

 

 

1) =2

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А×B^-1 + В×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 8.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; B×A^-1 - A×B^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

Вариант 9.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; 2(А×B)^-1 - A×В =?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

Вариант 10.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; 2В^-1×A + B×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 11.

 

 

1) =0

2) А =

3)

4) А= ; В= ; 2(B×А)^-1 + В×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 12.

 

 

1) =0

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А×B^-1 + 2(B×A)^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 13.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; B^-1×А + В×А^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 14.

 

 

1) =0

2) А =

3)

4) А= ; В= ; В×A^-1 + B×А=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 15.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А^-1×B + В^-1×А=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 16.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А×В - В^-1×А^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 17.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; (B×A)^-1 + A×B^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

Вариант 18.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; В^-1×A + 2A×B=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 19.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; A^-1×B + B×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 20.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; (А×В)^-1 + A×B=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 21.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; B×А^-1 - В×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 22.

 

 

1) =

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А×B^-1 + (A×B)^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 23.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; B×A^-1 - A×B^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

Вариант 24.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; 2А×B^-1 + A^-1×В =?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

Вариант 25.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; 2В^-1×A + B×A^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 26.

 

 

1) =0

2) А =

3)

4) А= ; В= ; (B×А)^-1 - 2A×В=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 27.

 

 

1) =0

2) А =

3)

4) А= ; В= ; B^-1×A + (A×B)^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 28.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А^-1×B + A×В^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 29.

 

 

1) =0

2) А =

3)

4) А= ; В= ; B^-1×A - (B×A)^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

 

Вариант 30.

 

 

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; (B×A)^-1 - B×A^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

 

Приложение 2.