Определители, свойства, вычисление.

Определители, свойства, вычисление.

Определитель (детерминант), матрица (А) = =a1b2-a2b1, называется число равное разности произведений элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях.

Обозн: ▲, IAI, D.

Определ-ль 3го порядка.

= + +

1)Существует удобная схема для вычисления определителя третьего порядка:

2)правило Саррюса:

Дописывание двух первых строк или столбцов.

В этом случае считаем так: a11*а22*а33 + а12*а23*31+а13*а21*а32 — а13*а22*а31 — а11*а23*а32 — а12*а21*а33.

3) разложение по строке:

, ,

Определ-ль n-го порядка им n строк и n столбцов.

Свойства определителей: 1) если у опред-ля произвольная строка (столбец) состоит только из нулей, то опред-ль =0; 2) если производные 2 строки (столбца) опред-ля пропорциональны, то опред-ль = 0; 3) если произ строку (столбец) опред-ля умножить на производное число, то и весь опред-ль умн-ся на это число; 4) если 2 строки (столбца) опред-ля поменять местами, то опред-ль изменит знак; 5) если к произв строке (столбцу) опред-ля прибавить любую другую строку (столбец), умноженную на проиводн число, то опр-ль не изм-ся; 6) опред-ль произведение матриц = произведению их опред-лей.

Матрица, опред-ль котор =0,назыв вырожденной; опред-ль котор 0,назыв невырожденной.

Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Вычисление обратной матрицы. Ранг и его вычисление.

Матрица - -ная табл чисел, содержащая m-строк и n-столбцов.

А= , A =(aij), i=1,2,3…m- № строки, j=1,2,3…, j - № столбца.

Числа aijназыв эл-тами матрицы А. Элементы, стоящие на диаг-ли, идущ из левого верхн угла, образ главнуюd.

Матрицы равны м/усобой, если все соотв-щие эл-ты этих матриц=. А=В, aij=bij.

Матрица, у котор число строк =числу столбцов, назыв квадратной.

Квадратная матрица, у котор все эл-ты, кроме эл-товглd, =0, назыв диагональной.

Диагональная матрица, у которкажд эл-т глd=1, назыв единичной.

Квадратная матрица назыв треуг-ной, если все эл-ты, располож по одну сторону от глd, =0.

Матрица, все эл-ты котор =0,назыв нулевой.

Матрица, содержащая 1 столбец или строку, назыв вектором.

Матрицаполуч из данной заменен производной ее строки столбцом с тем же №, назыв транспонированной.

Пример: А= , = .

Св-во: ()Т = А.

Действия над матрицами.

1) суммой матриц А и В одинакового размера назыв М. С того же размера, причем сij=aij+bij.

1.коммуникативность:.А+В=В+А.

2.ассоциативность: (А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С.

2) произведением М. А на число λназыв М. В того же размера, что и М. А, причем эл-ты М. bij=λaij,Ɏλ, Ɏij.

1.λ(µА)=(λµ)А (ассоц-ть)

2.λ(А+В)=λА+λВ (дистрибутимость)

3.(λ+µ)А=λА+µА.

3) линейной комбинацией матриц А и В одного размера назыв выражение вида αА+βА, где α и β –любые числа.

4) произвед-ем м-ц А и В р-ров (мхn и nxr) назыв М. С такая что Сij=ai1*b1j+ai2*b2j+…aik*bkj+…+ain*bnj

 

Элементарные преобразования.

1)перемена местами 2х строк(столбцов)

2)умножение строки(столбца) на число, отлично от 0.

3)прибавление к элементам одной строки (столбца) соотв эл др строки(столбца).

Матрица Вназыв э квивалентной М.А. В .

Обратная матрица.

Обр м-ца -такая м-ца, котор в произв с данной м-цей А дает единицу и наоборот. А* =Е.

Если опред-ль =0, то квадр м-ца не им обратной и назыв вырожденной.

Если опред-ль ≠0, то обр м-ца не им обратной , Aij-м-ца алгебр дополнений, соотв эл-тов М.А.

Схема нахождения обр. мат-цы:

1) вычисляем опред-ль М.А, опред-ль≠0

2) находим м алгебр-ких дополнений Аij

3) транспонир-ть м.Aij и получить ij

4) находим м по формуле: ,

5) проверка: *А=Е, А* =Е.

Ранг матрицы.

Минором некоторого эл-та aijопред-ляn-го порядка назывопредел-ль (n-1) порядка, которполуч из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечение которых находится выбран эл-т

Mij – минор для эл.

, М22= , М13= , M23= .

Опред-ние

Алгебраич дополнением будет назыв-сяпроизв-ние i-№ строки, j-№ столбца.

Наиб из порядков миноров данной м-цы, отличных от 0, назыв рангом м-цы.

Обозн: r, r(A), rang (A)

Минор, порядок которопредел-ет ранг м-цы, назыв базисным.

Решение с.л.а.у.

переменные

коэффициенты

i= , j= - свободный член.

4. С.л.а.у. с квадратичными матрицами и методы их решения (метод Крамера, Гаусса, матричный способ)

Метод Крамера.

Пусть данасис-маn-лин уравнений с nнеизв-ми.

AX=B, B . Основная м-ца такой сис-мы – квадратная. Определ-ль этой м-цы назыв-ся определителем этой системы.

1)

2) , …

3) ; ;

4)Проверка.

Метод обратной матрицы.

М.обр м-цы применяют как метод, если число уравнений = числу неизвестных.

, А= , X=

B= , A*X=B *

A* *X= *B

E*X= *B X= *B/

Cхема решения:

1) вычислить ≠0; 2)

; 4) проверка.

Метод Гаусса.

-метод последоват. исключения переменных.

Этот м-д состоит в том, что при помощи эл-ных преобразований (умн-нияуравн на число≠0, перестановка уравнений, прибавл-иеур-ния к др-му, умнож-му на число) искл-ся переменные.

Сис-маназыв совместной, если она им хотя бы 1 реш. Назыв несовместной, если не им решений.

. Проверка.

Выводы:1-ое уравнение в мет гаусса оставл, а из остальн исключаем неизвестные. 1-ое и 2-ое оставляем, а из ост иключ неизвестные и т.д.

Если получим уравнение вида 0=а, то система назывнесовместной и не им решений. Если получили уравн вида 0=0, то система имеет бесконечное множество решений.

Проекции вектора на ось.

Ось – прямая, им направление. Числов ось – прямая, с нач отсчета и единичным масштабом.

Проекции сущ 2 вида: геометр-кая и алгебр-кая.

Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:

При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число.

Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:

 

Свойства проекций:1) пр на l = произв на cos м/у вектором и осью.

Проекция в-ра на ось положит-на (отриц-на), если век-р образует с осью острый (тупой) угол и равна 0, если этот угол прямой. Проекции равн век-ров равны м/у собой.

2) проекция суммы неск век-ров на одну и ту же ось = сумме их проекций на эту ось.

3) при умножении на число его проекция на ось также умнож-ся на это число:

.

Квадратичные формы.

Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁ и х₂

Ф(х₁, х₂) = а ₁₁

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁ и х₂.

Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁, х₂ и х₃

 

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁, х₂ и х₃.

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.

Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х₁, х₂.

Если задана квадратичная форма Ф(х₁, х₂) = а ₁₁ , то ее можно рассм-ть как функцию от переменных х₁ и х₂.

Приведение квадратичных форм к каноническому виду.

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂

y₂ = a₁₂x₁ + a₂₂x₂

где у₁ и у₂ – координаты вектора в базисе .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х₁, х₂) = х₁у₁ + х₂у₂.

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х₁ их₂ – скалярное произведение .

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

 

При переходе к новому базису от переменных х₁ и х₂ мы переходим к переменным и . Тогда:

 

Тогда .

 

Выражение называется каноническим видом квадратичной формы.

Полярная система координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа и (см. рис.). Угол при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой).

Символ М(; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и .

Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

, .

В этом же случае формулы

,

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.

Прямая на плоскости.

Прямая на плоскости и плоскость в пространстве обладают тем общим свойством, что дополнительная размерность равна единице. Другими словами, что все нормальные векторы к плоскости являются коллинеарными и все нормальные векторы к прямой на плоскости тоже коллинеарны. Отметим, что прямая в пространстве этим свойством не обладает. Нормальные векторы к ней, если их начала поместить в одну точку, "заполняют" целую плоскость.

Так как формулы (11.1), (11.3), (11.4), (11.5), (11.6), (11.7) основывались на нормальном векторе к плоскости, то они остаются верными и для прямой на плоскости, если из них исключить третью координату. Доказательство этих формул для прямой на плоскости полностью повторяет их доказательство для плоскости в пространстве.

11.1

11.3

11.4 условие перпендикулярности плоскостей: 11.5 условие параллельности плоскостей 11.6 расстояние от точки до плоскости определяется по формуле 11.7

если прямая имеет уравнение , то расстояние от точки до этой прямой получается из формулы отбрасыванием третьей координаты :

Кроме перечисленных выше формул для прямой на плоскости стоит отметить еще одну, связанную с тем, что на плоскости чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом , хорошо известное по школьному курсу математики.

Предложение 11.2 Пусть заданы две прямые и , (). Тогда, если , то угол между этими прямыми можно найти из формулы

(11.10)

Если , то прямые перпендикулярны.

Доказательство. Как известно из школьного курса математики, угловой коэффициент в уравнении прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси . Из рис. 11.10 видно, что .

Рис.11.10.Угол между прямыми

Так как , , то при выполняется равенство

что дает формулу (11.10).

Если же , то , откуда

Следовательно, и .

18. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Рас-ние от точки до прямой.

Пусть даны точка М(Х0; У0) и прямая Ax+By+c=0. Под рас-нием от М до прямой АВ понимается длина перпендик-раd=MN, опущенного из т.М на прямую АВ. Для опред-ния расстояния d нужно: а) составить уравнение прямой MN,перендик-ной данной и проходящий ч/з т. М0(Х0;У0); б) найти т N(x1;y1)пересеч-ния прямых, ршивсис-мууравн этих прямых; в) по формуле

Находим d=MN.

В рез-те получим:

Угол между прямыми.

Пусть заданы 2 прям

И треб-ся определить угол м/у ними. причем , , ,

Тогда

 

 

Окружность.

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Окружность радиуса Rс центром в т. имеет уравнение

Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Пусть F1и F2 – фокусы эллипса. Начало O системы координат расположим на середине отрезка F1F2. Ось Ox направим вдоль этого отрезка, ось Oy – перпендикулярно к этому отрезку.

Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна 2a, а расстояние между фокусами – 2c. Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение

где Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси Ox и Oy, начало координат -- центр симметрии. Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии -- центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины -- большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины -- малой полуосью. Величина называется эксцентриситетом эллипса. Если эллипс задан каноническими уравнениями, то его вершины имеют координаты (-a;0), (a;0),(0;-b),(0;b), большая полуось равна a, малая полуось равна b. Величина c, являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется из формулы (12.5) для величины b, а именно, . Эксцентриситет E эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе экцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса 0<E<1.   F1M=r1, F2M=r2 –фокальные радиусы. r1+r2=2a. r1=a+Ex; r2=a-Ex. X= – прямые директрисы. -основное ур-ние эллипса. . Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.   Пусть расстояние между фокусами F1и F2 гиперболы равно 2c, а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна 2a. Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение где ,где а – действит полуось, в – мнимая пол-сь.

Прямоуг-ник со стор 2а и 2в назыв-ся основным прямоуг-ником гиперболы.

- асимптоты.

Равносторонней гиперболой назыв такую гиперболу, где ее полуоси равны a=b.

Парабола.

Мн-во точек, кажд из котор одинаково удалена от данной точки, назыв фокусом и данной прямой, назыв директрисой. Расст-ние от фокуса F до директрисы назыв параметром(р>0).

 

 

; .

FM- фокальный радиус т-ки М. О(0;0) – вершина параболы.

Т-ма: - общурлин 2го порядка.

Уравнение определ либо окр-ть (А=С), эллипс (А*С>0), гиперболу (А*С<0), параболу(А*С=0). Возможный случай вырождения:

для эллипса(окр-ти)-в точку или мнимый эллипс(окр-ть);

для гиперболы – в пару пересек-сяпрямых;

для параболы-в пар парал-ных прямых.

Определители, свойства, вычисление.

Определитель (детерминант), матрица (А) = =a1b2-a2b1, называется число равное разности произведений элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях.

Обозн: ▲, IAI, D.

Определ-ль 3го порядка.

= + +

1)Существует удобная схема для вычисления определителя третьего порядка:

2)правило Саррюса:

Дописывание двух первых строк или столбцов.

В этом случае считаем так: a11*а22*а33 + а12*а23*31+а13*а21*а32 — а13*а22*а31 — а11*а23*а32 — а12*а21*а33.

3) разложение по строке:

, ,

Определ-ль n-го порядка им n строк и n столбцов.

Свойства определителей: 1) если у опред-ля произвольная строка (столбец) состоит только из нулей, то опред-ль =0; 2) если производные 2 строки (столбца) опред-ля пропорциональны, то опред-ль = 0; 3) если произ строку (столбец) опред-ля умножить на производное число, то и весь опред-ль умн-ся на это число; 4) если 2 строки (столбца) опред-ля поменять местами, то опред-ль изменит знак; 5) если к произв строке (столбцу) опред-ля прибавить любую другую строку (столбец), умноженную на проиводн число, то опр-ль не изм-ся; 6) опред-ль произведение матриц = произведению их опред-лей.

Матрица, опред-ль котор =0,назыв вырожденной; опред-ль котор 0,назыв невырожденной.