Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если ( для комплексного ), такое, что Число называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или

Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f, - символ Кронекера.

Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где - соответствующие собственные значения.

Предположим, что n стран или к-либо других автономных сообществ людей осуществляют между собой торговлю. Пусть доход i-ой страны от торговли составляет х ден. ед. - доля дохода, которую j-ая страна тратит на закупку товара у i-ой страны. S - НД

A =

Расходы

Вэкономической лит-ре наз-ся структурной матрицей торговли. Ограничимся ситуацией, когда страна тратит все на покупку собственных товаров и товаров из других стран. Тогда (сумма по столбцу)

Произведение представляет собой выручку i-ой страны от продажи товаров j-ой. Поэтому суммарная выручка i-ой страны от продажи товаров на внутреннем и внешнем рынке:

Сбалансированная торговля – НД и выручка равны м-у собой.

В матричном виде: Х(х₁, х₂,…, х_n)^т – вектор доходов.

X=AX

AX=P

Квадратичные формы.

Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁ и х₂

Ф(х₁, х₂) = а ₁₁

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁ и х₂.

Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁, х₂ и х₃

 

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁, х₂ и х₃.

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.

Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х₁, х₂.

Если задана квадратичная форма Ф(х₁, х₂) = а ₁₁ , то ее можно рассм-ть как функцию от переменных х₁ и х₂.

Приведение квадратичных форм к каноническому виду.

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂

y₂ = a₁₂x₁ + a₂₂x₂

где у₁ и у₂ – координаты вектора в базисе .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х₁, х₂) = х₁у₁ + х₂у₂.

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х₁ их₂ – скалярное произведение .

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

 

При переходе к новому базису от переменных х₁ и х₂ мы переходим к переменным и . Тогда:

 

Тогда .

 

Выражение называется каноническим видом квадратичной формы.

Полярная система координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа и (см. рис.). Угол при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой).

Символ М(; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и .

Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

, .

В этом же случае формулы

,

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.

Прямая на плоскости.

Прямая на плоскости и плоскость в пространстве обладают тем общим свойством, что дополнительная размерность равна единице. Другими словами, что все нормальные векторы к плоскости являются коллинеарными и все нормальные векторы к прямой на плоскости тоже коллинеарны. Отметим, что прямая в пространстве этим свойством не обладает. Нормальные векторы к ней, если их начала поместить в одну точку, "заполняют" целую плоскость.

Так как формулы (11.1), (11.3), (11.4), (11.5), (11.6), (11.7) основывались на нормальном векторе к плоскости, то они остаются верными и для прямой на плоскости, если из них исключить третью координату. Доказательство этих формул для прямой на плоскости полностью повторяет их доказательство для плоскости в пространстве.

11.1

11.3

11.4 условие перпендикулярности плоскостей: 11.5 условие параллельности плоскостей 11.6 расстояние от точки до плоскости определяется по формуле 11.7

если прямая имеет уравнение , то расстояние от точки до этой прямой получается из формулы отбрасыванием третьей координаты :

Кроме перечисленных выше формул для прямой на плоскости стоит отметить еще одну, связанную с тем, что на плоскости чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом , хорошо известное по школьному курсу математики.

Предложение 11.2 Пусть заданы две прямые и , (). Тогда, если , то угол между этими прямыми можно найти из формулы

(11.10)

Если , то прямые перпендикулярны.

Доказательство. Как известно из школьного курса математики, угловой коэффициент в уравнении прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси . Из рис. 11.10 видно, что .

Рис.11.10.Угол между прямыми

Так как , , то при выполняется равенство

что дает формулу (11.10).

Если же , то , откуда

Следовательно, и .

18. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Рас-ние от точки до прямой.

Пусть даны точка М(Х0; У0) и прямая Ax+By+c=0. Под рас-нием от М до прямой АВ понимается длина перпендик-раd=MN, опущенного из т.М на прямую АВ. Для опред-ния расстояния d нужно: а) составить уравнение прямой MN,перендик-ной данной и проходящий ч/з т. М0(Х0;У0); б) найти т N(x1;y1)пересеч-ния прямых, ршивсис-мууравн этих прямых; в) по формуле

Находим d=MN.

В рез-те получим:

Угол между прямыми.

Пусть заданы 2 прям

И треб-ся определить угол м/у ними. причем , , ,

Тогда