Образ, ядро линейного оператора.

Образом линейного оператора называется множество всех векторов вида . Если , то образ есть подмножество из . Его обозначают или .

Если - линейный оператор, то , где - какой-либо базис пространства .

Ядро линейного оператора - это множество тех , для которых . Ядро линейного оператора (обозначается ) – подпространство пространства . Полезно уметь находить ядра и образы линейных операторов, их размерности (дефект и ранг).

 

Задача 3.2. Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора (оператор двойного векторного умножения).

Решение. Будем считать, что мы уже убедились в линейности оператора .

Вычисление образа. Возьмем стандартный базис пространства : . Находим

(подпространство одномерное).

.

Вычисление ядра. Пусть . Это означает, что или

Отсюда где . Другими словами , а дефект .

(В нашем примере , но это не общее правило). Можно было воспользоваться формулой для двойного векторного произведения. Но решение вряд ли упростилось бы от этого.

Как правило, нахождение ядра в конце концов сводится к решению системы линейных однородных уравнений относительно координат произвольного вектора ядра. В рассмотренном нами примере эта система оказалась очень простой

что позволило нам сразу записать общее решение .

 

Матрица линейного оператора в данных базисах.

 

Обязательно нужно научиться строить матрицу линейного оператора в данных базисах. Но кроме этого, еще раз обратим наше внимание на следующую теорему: каждый линейный оператор из в однозначно определяется своими значениями на каком-либо базисе пространства . Эта теорема позволяет строить примеры различных операторов, удовлетворяющих наперед заданным свойствам.

 

Задача 3.3. Для каждого из нижеперечисленных условий постройте пример линейного оператора :

1. .
2. .
3. .
4. , где .
5. На действует как тождественный, но .
6. Каждое переводит в себя, но .

Решение. 1. Возьмем какой-либо базис в , например, стандартный

.

Так как , то из условия следует . Для определенности возьмем . Определим на базисе так:

Этими условиями линейный оператор полностью определен.

Если то по нашему определению

Легко убеждаемся, что .

Действительно,

- это множество тех , для которых , то есть .

6. Так как необходимо построить такой линейный оператор , который каждое переводит в себя, но , то будем считать, что система является линейно независимой, а значит, является базисом . Определим на базисе так:

Можно проверить, что таким образом введенный операторм является линейным и удовлетворяет всем необходимым условиям.

 

Собственные векторы и собственные значения.

Процедура вычисления собственных значений и собственных векторов (собственных подпространств) линейного оператора вытекает из соответствующего теоретическоо материала. Продемонстрируем ее на конкретном примере.

Задача 3.4. Найдите собственные значения и собственные подпространства оператора (необходимо самостоятельно проверить линейность)

.

Решение. 1) Строим матрицу оператора в стандартном базисе пространства (предполагаем, что линейность оператора проверена):

, .

2) Составляем характеристическую матрицу , вычисляем ее определитель и находим корни характеристического многочлена.

;

;

Оба корня принадлежат полю и являются собственными значениями оператора; - кратности 1; - кратности 2.

3) Составляем систему линейных однородных уравнений с матрицей и находим ее фундаментальную систему решений:

Система ранга 2. Множество ее решений - одномерное пространство, линейно независимых решений. Легко находим ее фундаментальную систему решений - . Собственное подпространство, относящееся к

4) Составляем систему линейных однородных уравнений с матрицей и находим ее фундаментальную систему решений:

Система ранга 2. Множество ее решений также является одномерным пространством. Легко находим ФСР - . Собственное подпространство, относящееся к

Задача решена.

 

Замечание 1. Если оператор задан своей матрицей, то пункт 1) не нужен.

Замечание 2. Если в процессе решения получилась несовместная система, то допущена ошибка (неверно вычислен характеристический многочлен, найденное не является собственным значением или допущена ошибка в вычислении коэффициентов системы линейных уравнений или в процессе решения системы).

Замечание 3. Полезно помнить, что размерность собственного подпространства, относящегося к собственному значению у любого линейного оператора не превышает (меньше или равна) кратности этого собственного значения, как корня характеристического многочлена (геометрическая кратность собственного значения его алгебраической кратности). Например, в задачах №№1465, 1466, 1481 есть собственные значения с алгебраической кратностью 3, а их геометрическая кратность соответственно равна 1,2 и 3.

Замечание 4. В учебных примерах, как правило, корни характеристического многочлена вычисляются точно. На практике часто приходится довольствоваться их приближениями. Возникающие при этом проблемы достаточно сложны и здесь не обсуждаются.