Составители: д-р ф-м н., проф. Варбанец П.Д.,

Линейная алгебра

(решение типовых задач)

Часть 2

Методические указания для студентов 1 курса

Одесса – 2008

Составители: д-р ф-м н., проф. Варбанец П.Д.,

К-т ф-м н., доц. Савастру О.В.

 

 

Рецензенты: д-р ф-м н., проф. Евтухов В.М.,

К-т ф-м н., доц. Белозеров Г.С.

 

 

Рекомендовано к печати

Ученым советом ИМЭМ Одесского национального университета им. И. И. Мечникова

протокол № 1 от 5 февраля 2008 г.

.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Обозначения…………………………………………………4

1. Линейные пространства …………………………………...5

1.1. Линейные пространства и подпространства………….5

1.2. Базис пространства, его размерность…………………6

1.3. Координаты вектора в данном базисе…………….…11

1.4. Сумма и пересечение подпространств………………12

2. Евклидовы и унитарные пространства ………….…........17

2.1. Процесс ортогонализации Шмидта………………….17

2.2.Ортогональные дополнения…………………………..19

2.3. Ортогональная проекция и перпендикуляр на подпространство……………………………………………………..20

3. Операторы в линейных пространствах…………….........23

3.1. Образ, ядро линейного оператора……………………28

3.2. Матрица линейного оператора в данных базисах…..29

3.3. Собственные векторы и собственные значения..…...31

3.4. Канонический корневой базис и жорданова нормальная форма…………………………………………………….34

4. Операторы в евклидовых и унитарных пространствах..40

5. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду…………………………………………………………...45

Список литературы………………………………………….51

 

 

Линейные пространства и линейные операторы представляют собой начало абстрактной части математики, с которой студенту в дальнейшем неоднократно придется иметь дело.

Эти методические указания по самостоятельной работе студентов предполагают использование следующего задачника:

И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1974.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

В дальнейшем мы будем придерживаться следующих обозначений (если в тексте нет специальной оговорки):

¾ - произвольные пространства над некоторым полем ;

¾ - пространство - мерных строк (столбцов) с элементами из поля над полем (арифметическое пространство).

В частности

¾ - действительное - мерное арифметическое пространство;

¾ - комплексное - мерное арифметическое пространство;

¾ - пространства геометрических векторов (прямой, плоскости, пространства);

¾ - евклидовы пространства (с указанием размерности или без него);

¾ - подпространства данного пространства ( - индекс, не связанный с размерностью);

¾ векторы рассматриваемого пространства; - нулевой вектор;

¾ скаляры из данного поля, - нуль этого поля;

¾ линейные операторы, в отдельных случаях – матрицы;

¾ матрицы линейных операторов в базисах соответственно ;

¾ размерности пространств ;

¾ ранги операторов (матриц) ;

¾ скалярное произведение в данном пространстве;

¾ векторное произведение в данном пространстве .

 

 

1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

Основными типами задач этого параграфа являются следующие:

А) выяснение вопроса, будет ли данное множество с указанными операциями линейным пространством, подпространством;

В) выделение базиса пространства, определение его размерности;

С) вычисление координат вектора в данном базисе;

D) нахождение суммы, пересечения подпространств, их размерностей и базисов.

 

Координаты вектора в данном базисе.

Решение вопроса о ранге системы векторов, заданных координатами в некотором базисе, выделение из системы ее максимальной линейно независимой подсистемы, выражение остальных векторов в виде линейных комбинаций векторов этой подсистемы сводится к решению этих же задач для системы строк (столбцов) координатной матрицы, которые подробно обсуждались в соответствующем параграфе первой части.

 

ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

Основные типы задач этого параграфа:

· проверка выполнения аксиом скалярного произведения и доказательство его различных свойств (№№1351-1354, 1384);

· ортогонализация данной системы векторов, построение ортогональных и ортонормированных базисов (№№1355-1363);

· построение ортогональных дополнений данных подпространств (№№1364-1368);

· нахождение ортогональных проекций и перпендикуляров на подпространство (№№1369-1372);

· вычисление длин, расстояний, углов (№№1373-1406).

 

Ортогональные дополнения.

Задачи этого раздела не вызовут трудностей, если разобраться в свойствах решений линейной однородной системы как векторов евклидова (унитарного) пространства.

Рассмотрим пространство и систему линейных однородных уравнений над :

(4)

Обозначив и , перепишем систему (4) в виде

(5)

 

Пусть . Тогда уравнения (5) означают, что и, следовательно, , а каждый вектор из является решением системы (4). Итак, множество решений системы (4) и линейная оболочка ее строк коэффициентов являются ортогональными дополнениями друг для друга в пространстве . (Какие изменения надо внести в рассуждения в случае пространства ?)

Задача 2.2. Найти базис ортогонального дополнения подпространства , натянутого на векторы:

.

Найти уравнения, задающие подпространство .

Решение. Так как , то состоит из множества решений системы уравнений

Находим фундаментальную систему ее решений (ранг системы 2)

.

Следовательно, , а система уравнений со строками коэффициентов и

задает подпространство , как множество решений этой системы (убедитесь: системы векторов и , взаимно ортогональны, а объединение их базисов есть базис ).

 

Аналогичные соображения используются при дополнении ортогональной системы до ортогонального базиса.

 

Решение.

1. является отображением. Проверим аддитивность и однородность.

.

.

Все условия выполнены, значит, является линейным оператором.

 

5. .

,

.

.

 

. Теперь проверяем аддитивность и однородность. Напомним: если , то и .

Находим

.

Точно так же

.

Все условия определения линейного оператора выполнены.

- линейный оператор.

 

Линейный оператор нулевой вектор отображает в нулевой (). Поэтому, если , то нелинейный. Рекомендуем в подозрительных случаях прежде, чем начинать проверку аддитивности и однородности, вычислить значение оператора на нулевом векторе. Так в упражнении 2 - нелинейный. В упражнении 3 - нелинейный.

Для доказательства нелинейности достаточно привести пример двух векторов, для которых нарушена аддитивность, или пример вектора или скаляра, для которых не выполнена однородность (равенство может иметь место и для нелинейных операторов). Например: в упражнении 7 настораживает то, что текущий вектор находится под знаком . Поэтому проверку ведем на конкретных векторах.

Очевидное неравенство доказывает неаддитивность и его нелинейность.

В этом же примере можно поступить и так:

Поэтому оператор неоднороден, следовательно, и нелинеен.

Проверку линейности операторов из упражнений 4 и 6 предоставляем читателю.

 

Чтобы глубже понять определение линейного оператора, придумайте примеры:

1. оператора аддитивного, но не однородного;

2. оператора однородного, но не аддитивного.

 

Задача решена.

 

Замечание 1. Если оператор задан своей матрицей, то пункт 1) не нужен.

Замечание 2. Если в процессе решения получилась несовместная система, то допущена ошибка (неверно вычислен характеристический многочлен, найденное не является собственным значением или допущена ошибка в вычислении коэффициентов системы линейных уравнений или в процессе решения системы).

Замечание 3. Полезно помнить, что размерность собственного подпространства, относящегося к собственному значению у любого линейного оператора не превышает (меньше или равна) кратности этого собственного значения, как корня характеристического многочлена (геометрическая кратность собственного значения его алгебраической кратности). Например, в задачах №№1465, 1466, 1481 есть собственные значения с алгебраической кратностью 3, а их геометрическая кратность соответственно равна 1,2 и 3.

Замечание 4. В учебных примерах, как правило, корни характеристического многочлена вычисляются точно. На практике часто приходится довольствоваться их приближениями. Возникающие при этом проблемы достаточно сложны и здесь не обсуждаются.

 

Задача решена.

 

Задача 4.2. В пространстве введено скалярное произведение

и задана матрица линейного оператора в базисе .

Построить матрицу сопряженного оператора в базисе .

Решение. Проверим, является ли базис ортонормированным в заданном евклидовом пространстве.

, ,

, , .

Ортогонализируем систему .

,

,

, ,

.

Осталось нормировать полученную систему

,

,

.

Мы построили ОНБ . Теперь мы должны, используя матрицу перехода от одного базиса к другому, перейти к матрице оператора в ОНБ. Зная, как связаны матрицы сопряженных операторов в ОНБ, можно построить матрицу сопряженного оператора в базисе , а затем вернуться опять к исходному базису.

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид

 

, .

 

.

Мы знаем, как связаны матрицы сопряженных операторов в ОНБ

,

поэтому

 

.

 

Используя матрицу перехода , возвращаемся к исходному базису

.

Задача решена.

Решение.

Перепишем формы и в виде и , где , - матрицы соответствующих квадратичных форм.

Так как , то согласно критерию Сильвестра, форма является положительно определенной. Поэтому по ней можно восстановить соответствующую билинейную форму и ввести в скалярное произведение .

Оно удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения (положительная определенность формы необходима для выполнения аксиомы 4, а именно ).

Рассмотрим стандартный базис в : .

Используя введенное скалярное произведение, ортогонализируем его:

Нормируем вектора и получаем ОНБ в , в котором билинейная форма (следовательно, и квадратичная форма ) будет иметь единичную матрицу.

Матрица перехода от старого базиса к новому задает матрицу невырожденного преобразования переменных квадратичных форм и .

.

Действительно,

 

.

Аналогично,

Далее используем метод приведения квадратичной формы к главным осям.

Характеристический многочлен

имеет три корня , которым соответствуют следующие собственные вектора: . Они являются попарно ортогональными, так как соответствуют разным собственным значениям, и образуют собственный ортогональный базис. Осталось его пронормировать:

.

Теперь составляем ортогональную матрицу, столбцами которой являются векторы , ,

.

Тогда матрица

и будет искомой матрицей невырожденного линейного преобразования переменных

 

приводящего формы и к каноническому виду

,

.

Задача решена.

 

Список литературы

 

1. Завало С.Т., Костарчук В.Н., Хацет Б.И. Алгебра и теория чисел, ч.1. – К.: Вища школа, 1980.

2. Кострикин А. И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.

4. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1974.

 

 

Линейная алгебра

(решение типовых задач)

Часть 2

Методические указания для студентов 1 курса

Одесса – 2008

Составители: д-р ф-м н., проф. Варбанец П.Д.,