Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Пусть и - два произвольных пространства, оба евклидовых или оба унитарных. Рассмотрим линейный оператор . Напомним, что оператор называется сопряженным по отношению к оператору , если и выполняется равенство

.

Для всякого оператора сопряженный оператор существует и единственный. Причем

, (9)

где - какой-либо ортонормированный базис (ОНБ) .

Равенство (9) можно применять за определение сопряженного оператора.

Матрица размерности с элементами называется сопряженной по отношению к матрице размерности с элементами , если .

Заметим, что в любых ОНБ унитарных пространств и сопряженному оператору соответствует соряженная матрица, справедливо и обратное.

Если мы рассматриваем евклидовы пространства и , то таким же образом устанавливается соответствие между сопряженными операторами и транспонированными матрицами.

 

Задача 4.1. Найтисопряженный оператор для оператора

.

В введено естественное скалярное произведение

.

Решение. В заданном унитарном пространстве стандартный базис является ОНБ. Для построения сопряженного оператора воспользуемся равенством (9).

,

,

,

.

Итак, искомый сопряженный оператор имеет вид

.

Задача решена.

 

Задача 4.2. В пространстве введено скалярное произведение

и задана матрица линейного оператора в базисе .

Построить матрицу сопряженного оператора в базисе .

Решение. Проверим, является ли базис ортонормированным в заданном евклидовом пространстве.

, ,

, , .

Ортогонализируем систему .

,

,

, ,

.

Осталось нормировать полученную систему

,

,

.

Мы построили ОНБ . Теперь мы должны, используя матрицу перехода от одного базиса к другому, перейти к матрице оператора в ОНБ. Зная, как связаны матрицы сопряженных операторов в ОНБ, можно построить матрицу сопряженного оператора в базисе , а затем вернуться опять к исходному базису.

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид

 

, .

 

.

Мы знаем, как связаны матрицы сопряженных операторов в ОНБ

,

поэтому

 

.

 

Используя матрицу перехода , возвращаемся к исходному базису

.

Задача решена.

ПРИВЕДЕНИЕ ДВУХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Рассмотрим две вещественные квадратичные формы и . Можно ли заданные формы единым преобразованием привести к каноническому виду? Эту задачу помогают решить результаты, относящиеся к линейным операторам. Мы рассмотрим случай, когда одна из этих квадратичных форм, например , является положительно определенной. Тогда выполняем сначала преобразование , которое приводит форму к нормальному виду (сумме квадратов переменных). При этом форма перейдет в новую форму от переменных . На следующем шаге выполняется ортогональное преобразование , которое приводит форму к каноническому виду. Квадратичная форма при этом не изменится, так как ее матрица является единичной, а .

Итак, результирующим преобразованием, которое приведет обе квадратичные формы к каноническому виду, причем положительно определенную представит в виде суммы квадратов, будет .

 

Задача 5.1. Для заданной пары квадратичных форм найти невырожденное линейное преобразование, которое приводит эти формы к каноническому виду.

Решение.

Перепишем формы и в виде и , где , - матрицы соответствующих квадратичных форм.

Так как , то согласно критерию Сильвестра, форма является положительно определенной. Поэтому по ней можно восстановить соответствующую билинейную форму и ввести в скалярное произведение .

Оно удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения (положительная определенность формы необходима для выполнения аксиомы 4, а именно ).

Рассмотрим стандартный базис в : .

Используя введенное скалярное произведение, ортогонализируем его:

Нормируем вектора и получаем ОНБ в , в котором билинейная форма (следовательно, и квадратичная форма ) будет иметь единичную матрицу.

Матрица перехода от старого базиса к новому задает матрицу невырожденного преобразования переменных квадратичных форм и .

.

Действительно,

 

.

Аналогично,

Далее используем метод приведения квадратичной формы к главным осям.

Характеристический многочлен

имеет три корня , которым соответствуют следующие собственные вектора: . Они являются попарно ортогональными, так как соответствуют разным собственным значениям, и образуют собственный ортогональный базис. Осталось его пронормировать:

.

Теперь составляем ортогональную матрицу, столбцами которой являются векторы , ,

.

Тогда матрица

и будет искомой матрицей невырожденного линейного преобразования переменных

 

приводящего формы и к каноническому виду

,

.

Задача решена.

 

Список литературы

 

1. Завало С.Т., Костарчук В.Н., Хацет Б.И. Алгебра и теория чисел, ч.1. – К.: Вища школа, 1980.

2. Кострикин А. И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.

4. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1974.