Ортогональная проекция и перпендикуляр на подпространство.

Известно, что

,

и потому каждый вектор единственным способом представим в виде суммы

где Вектор называют (ортогональной) проекцией вектора на подпространство и обозначают , а - перпендикуляром (ортогональной составляющей) из вектора на подпространство : . Очевидно, что

, . (6)

Если , то

(7)

и тогда

.

Умножаем последнее равенство скалярно на , , с учетом , получаем

(8)

Эта система в силу существования представления (7) совместна. Определитель матрицы этой системы есть определитель Грама . Если - линейно независима, то и система (8) имеет единственное решение. В противном случае у системы (8) решений бесконечно много. Но нам достаточно найти одно (все другие решения дадут нам те же векторы и ). Если система (8) получилась несовместной, ищите ошибку. Вычисления сокращаются, если известны базисы и и если, опираясь на соотношения (6), выбрать то подпространство, размерность которого меньше.

 

Умение находить и позволит успешно справиться с большинством задач на вычисление длин, расстояний и углов.

Задача 2.3. Вычислить расстояние от вектора до плоскости , заданной системой уравнений

.

Решение. Напомним: плоскостью (линейным многообразием) называется множество векторов вида

,

где - вектор сдвига, - данное (направляющее) подпространство. Любая плоскость может быть задана как множество решений некоторой системы линейных уравнений. Частное решение этой системы дает координаты вектора сдвига. Общее решение приведенной системы - направляющее подпространство. Учитывая это, находим, что , где

,

.

Расстояние от вектора до плоскости определяется как или как .

Так как

(применена теорема Пифагора), то

Мы получили формулу

Остается вычислить и его длину. .

и тогда

.

Умножаем последнее равенство скалярно на , , с учетом , получаем

Решая систему, находим .

Тогда

.

.

 

ОПЕРАТОРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

Пусть и - два произвольных линейных пространства. Как известно, оператором, действующим из в называется отображение пространства в пространство . Если отображение обозначить символом , то это записывают так:

.

Образ вектора обозначают или и называют значением оператора на векторе . По определению .

Оператор называют линейным оператором, если и - пространства над одним и тем же полем и при этом

1.

(аддитивность оператора);

2.

(однородность оператора).

Понятие линейного оператора является одним из важнейших в математике. Это подтверждается хотя бы тем, что основные операторы, изучаемые в математическом анализе и алгебре (предельный переход, дифференцирование, интегрирование, проектирование на подпространство, умножение на матрицу и др.) являются линейными.

Оператор называют также преобразованием пространства .

Основные типы задач по этой теме:

a) проверка линейности заданного оператора;

b) нахождение образа, ядра, ранга и дефекта линейного оператора;

c) построение матрицы линейного оператора в данных базисах (в данном базисе);

d) нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора (№№1465-1484);

e) построение канонического базиса и жордановой нормальной формы линейного оператора (№№1529-1536).

 

Основная трудность задач первой группы состоит в том, что примеры операторов могут быть взяты из различных разделов математики и требуют от студента эрудиции и определенной математической культуры. Приведем несколько примеров.

 

Задача 3.1. Проверьте линейность следующих операторов:

1. .

2. ( -пространство многочленов степени над некоторым полем).

.

3. .

4. .

5. .

6. . Определим оператор так: если и , то (оператор проектирования на параллельно ).

7. ( - фиксированный вектор).

Решение.

1. является отображением. Проверим аддитивность и однородность.

.

.

Все условия выполнены, значит, является линейным оператором.

 

5. .

,

.

.

 

. Теперь проверяем аддитивность и однородность. Напомним: если , то и .

Находим

.

Точно так же

.

Все условия определения линейного оператора выполнены.

- линейный оператор.

 

Линейный оператор нулевой вектор отображает в нулевой (). Поэтому, если , то нелинейный. Рекомендуем в подозрительных случаях прежде, чем начинать проверку аддитивности и однородности, вычислить значение оператора на нулевом векторе. Так в упражнении 2 - нелинейный. В упражнении 3 - нелинейный.

Для доказательства нелинейности достаточно привести пример двух векторов, для которых нарушена аддитивность, или пример вектора или скаляра, для которых не выполнена однородность (равенство может иметь место и для нелинейных операторов). Например: в упражнении 7 настораживает то, что текущий вектор находится под знаком . Поэтому проверку ведем на конкретных векторах.

Очевидное неравенство доказывает неаддитивность и его нелинейность.

В этом же примере можно поступить и так:

Поэтому оператор неоднороден, следовательно, и нелинеен.

Проверку линейности операторов из упражнений 4 и 6 предоставляем читателю.

 

Чтобы глубже понять определение линейного оператора, придумайте примеры:

1. оператора аддитивного, но не однородного;

2. оператора однородного, но не аддитивного.