Скалярное произведение векторов. Свойства. Применение.

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

Если векторы заданы в координатной форме , ,

то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Свойства скалярного произведения:

1)

2) =0

3)

4)

5)

Векторное произведение векторов. Свойства. Применение.

Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где j - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или .

Свойства векторного произведения векторов

1) ;

2) =0

4)

5) Если заданы векторы в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

-орты осей координат Ox, Oy, Oz, соответственно:

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и : .

Замечание: если требуется вычесть площадь параллелограмма, то нужно посчитать сначала ,

затем =

Смешанное произведение векторов. Свойства. Применение.

Смешанным произведением трех векторов

называется число

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1) , если все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны);

2) циклическая перестановка

4) объем параллелепипеда, построенного на векторах и , равен

если a*b*c>0, то тройка a,b,c – правая, если a*b*c<0, то тройка a,b,c - левая

Замечание =0

Условие компланарности 3х векторов.

=0.

=>

Векторный базис. Координаты вектора. Разложение вектора по базису.

Базис – группа в-в ч/з котор выражают все лин пространство. В 3хмерном простр-ве базис состоит из 3х некомплан-ныхв-в. В пл-ти 2 в-ра.

Ортогональный базис состоит из взаимноперпендик-ныхв-в. ()

Нормированный базис состоит из единичных век-ров().

По умолчанию берут ортогональный базис.

 

Разложение по базису:

-проекции или коорд в-ра .

13.Условия коллинеарности, ортогональности, компланарности векторов.

Условие ортогональности векторов

Два вектора ортогональны при условии равенства нулю их скалярного произведения:

Условие коллинеарности векторов

Если векторы коллинеарны (лежат на одной прямой или напараллельных прямых) т.е. угол между ними или 0, или 180⁰, то их векторное произведение равно нулю:

Условие компланарности векторов

Векторы компланарны (расположены в одной плоскости), если их смешанное произведение равно нулю:

Линейные операторы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Линейные модели обмена.

над полем P, есть линейный оператор, если
1) для любых векторов
2) для любого вектора и любого .

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

1) Матрица линейного оператора:
Пусть φ-Л.О. векторного пространства V над полем P и один из базисов V:

Пусть

Тогда матрица Л.О.φ:

2) Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах:

M(φ) - матрица Л.О. φ в старом базисе.
M1(φ) - матрица Л.О. φ в новом базисе.
Т - матрица перехода от старшего базиса к новому базису.
2)Действия над линейными операторами:
Пусть φ и f - различные Л.О. векторного пространства V.
Тогда φ+f - сумма линейных операторов φ и f.
k·φ - умножение Л.О. на скаляр k.
φ·f - произведение линейных операторов φ и f.
Являюися также Л.О. вектороного пространства V.

4) Ядро линейного оператора:

d(φ) - размерность ядра Л.О. φ (дефект).
5) Образ линейного оператора:

ranφ - ранг Л.О. φ (размерность Jmφ).
6) Собсвенные векторы и собственные значения линейного вектора:

 Пусть φ - Л.О. векторного пространства V над полем P и и
Если то λ - собственное значение
- собственный вектор Л.О. φ, отвечающий λ.

 Характеристическое уравнение Л.О. φ:

 Множество собственных векторов, отвечающих собственному значению λ:

 

 Л.О. вектороного пространства называются Л.О. с простым спектром, если φ, если φ имеет ровно n собственных значений.

 Если φ - Л.О. с простым спектром, то он имеет базис из собственных векторов, относительно которого матрица Л.О. φ диагональна.