Определение скалярного произведения. Свойства скалярного произведения

Умножение вектора на число

Любой n-мерный вектор А можно умножить на любое число λ, при этом все его координаты умножаются на это число:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Пример: A=(1,2,3); λ=2; A*λ=(1*2,2*2,3*2)=(2,4,6)

Сложение векторов

Два вектора одинаковой размерности можно сложить, при этом их соответствующие координаты складываются:

Свойства линейных операций:

§ А + В = В + А

§ (А + В) + С = А+(В + С)

§ λ(А + В) = λА + λВ

§ (λ+ μ)А = λА + μ А

§ λ(μ А) = (λμ)А

Пример:

 

Определение скалярного произведения. Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется величина, вычисляемая по формуле:

Свойства произведения:

§

§

§ λ(A*B)=λ*A*B

Пример:

 

Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника (док-во)

Угол между n-мерными векторам. Теорема о равенстве векторов

Угол между векторами

Теорема: Ненулевые n-мерные вектора |A| и |B| равны, когда угол φ между ними равен 0 и |A| и |B| совпадают.

Док-во: A=B (*A)=> AA=AB => AA=BB => √(AA)=√(BB) => |A|=|B|

A=B => AA/|A||A| => A²/ |A|²=1 => φ=0

 

Коллинеарные вектора

A и B коллинеарны, если AˆB=0 или AˆB=π; а) если AˆB=0, одинаково направленные вектора; б) если AˆB=π, противоположно-направленные вектора.

Теорема: Ненулевые вектора A и B коллинеарны, когда можно подобрать такое число K, чтобы B=KA.

 

Разложение вектора по системе векторов. Свойства разложения

 

Говорят, что вектор B линейно выражается через вектора A1,A2…Ak, если вектор B равен некоторой линейной комбинации векторов A1,A2…Ak, т.е. существует набор чисел такой, что B=L1A1+L2A2+…+LkAk. L1,L2…Lk - коэффициент разложения вектора B по системе векторов A1,A2…Ak.

Ненулевой вектор θ разлагается по любой системе векторов.

Если вектор B разлагается по части системы векторов, то он разлагается по всей системе векторов.

Каждый n-мерный вектор B=(b1,b1…bn) разлагается по диагональной системе n-мерных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора B.

 

7) Элементарные преобразования системы векторов

 

Система векторов {A1,…Am,B}. Запись в виде матрицы, столбцы которой совпадают с координатами векторов: A1 A2 … Am | B

a1 a2 … am | b1

……………. | …

an an … anm | bn

a) вычеркивание из матрицы нулевой строки

b) умножение j-ой координаты векторов на числа, отличное от 0

c) прибавление к j-ой строки i-ой строки, умноженной на любое число

 

Подобные системы векторов

Если систему векторов A1,A2…Am можно при помощи конечного числа элементарых преобразований превратить в систему B1,B2…Bm

Подобные системы векторов всегда содержат одно и то же число векторов; размерности векторов в этих системах могут не совпадать.

 

Свойства:

1) Если A1,…Am подобна B1,…Bm, то B1,…Bm подобна A1,…Am

2) Если система А подобна системе В, а система В подобна системе С, то система А подобна системе С

3) Пусть система А подобна системе В. Если нулевой вектор разлагается по системе векторов А, то он разлагается по системе векторов В с теми же коэффициентами.

Линейная зависимость систем векторов

A1,A2…Am линейна зависима, если имеется 2 различных разложения нулевого вектора по системе векторов A1,…Am

 

Теорема о разложении вектора по линейно независимой системе векторов. Теорема об условии равносильности линейно зависимой системы векторов.

Теорема: Дана система А, тогда след. условие равносильно:

А) система А линейно зависима/ линейно не зависима

Б) есть ненулевое разложение нулевого вектора по системе А/ есть только нулевое разложение нулевого вектора по системе А

В) хотя бы один из векторов системы А разлагается по остальным/ ни один из векторов системы А не разлагается по остальным векторам этой системы.

Базис и ранг системы векторов

 

Базисом системы векторов называется такая её часть, которая удовлетворяет следующим её условиям:

а) B1,B2,…Br линейно не зависимы

б) каждый вектор системы A1,…Am разлагается по векторам B1,…Br

 

Рангом системы векторов называется число векторов в любом её базисе

 

Умножение матрицы на вектор, на матрицу. Свойства

 

Операция определена, когда координаты вектора столько, сколько же и матрицы.

A_n * B_{n k} = C_k

*

=

, т.е. 1*1 + 2*0 + 3*4 = 1+0+12 = 13, 1*3 + 2*7 + 3*5 = 3+14+15 = 32.

Свойства:

a) (K+L)A=KA+LA; K,L-векторы, A-матрица

b) (kL)A=k(LA); k-число

c) (LA)K=L(AK); K,L-векторы

 

Теорема Крамера

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^*.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А^* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

= = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x1 = D1/D = 1;
2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x2 = D2/D = 2;
3 = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
x3 = D3/D = 3.

Умножение вектора на число

Любой n-мерный вектор А можно умножить на любое число λ, при этом все его координаты умножаются на это число:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Пример: A=(1,2,3); λ=2; A*λ=(1*2,2*2,3*2)=(2,4,6)

Сложение векторов

Два вектора одинаковой размерности можно сложить, при этом их соответствующие координаты складываются:

Свойства линейных операций:

§ А + В = В + А

§ (А + В) + С = А+(В + С)

§ λ(А + В) = λА + λВ

§ (λ+ μ)А = λА + μ А

§ λ(μ А) = (λμ)А

Пример:

 

Определение скалярного произведения. Свойства скалярного произведения