Линейно зависимые и независимые системы векторов.

Скалярным произведением векторов (a₁;a₂)и (b₁;b₂) называется число a₁b₁+a₂b₂

Скалярное произведение векторов и обозначается .

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

 

 

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

Два вектора и называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.Два ненулевых вектора и коллинеарны, Û когда они пропорциональны т.е. = k , k – скаляр.

 

Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

Три вектора , , называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.

Три ненулевых вектора , , компланарны, Û когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е.

= k + l , k,l – скаляры.

 

Операции над векторами, заданными своими координатами.

Проекции вектора на координатные оси Ох, Оу, Оz называются координатами вектора. Обозначение: { a_x, a_y, a_z }.

Длина вектора:

Расстояние между точками и вычисляется по формуле: .

Действия над векторами в координатной форме.

Даны векторы ={ax, ay, az} и ={bx, by, bz}.

1. ( ± )={ax ± bx, ay ± by, az ± bz}.

2. l ={lax, lay, laz}, где l – скаляр.

 

 

Скалярное произведение и его свойства.

Определение: Под скалярным произведением двух векторов и

понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. = , - угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения:

1. × =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , где – скаляры.

6. два вектора перпендикулярны (ортогональны), если .

7. тогда и только тогда, когда .

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: , где и .

Векторное произведение и его свойства.

Определение: Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор, для которого:

-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами и

-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е.

-если векторы неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения:

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е.

2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е.

4.Для любых трех векторов справедливо равенство

5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов и :

Векторное произведение в координатной форме.

Если известны координаты векторов и , то их векторное произведение находится по формуле:

.

Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле:

 

Смешанное произведение и его свойства

Определение: Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов называется число, определяемое по формуле: .

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. .

2. При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. .

3. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0.

4. Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .

Если известны координаты векторов , то смешанное произведение находится по формуле:

 

 

Угол между двумя ненулевыми векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Даны два вектора (xa; ya) и (xb; yb). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x_ax_b+ y_ay_b = 0.

Угол между двумя ненулевыми векторами определяется с помощью вычисления скалярного произведения. ab = |a|*|b|*cos α

В случае трехмерного пространства