Теоремы о произведении определителей и обратной матрице. Правило Крамера.

 

ТЕОРЕМА (о произведении определителей). Определитель произведения двух квадратных матриц и одного и того же порядка равен произведению их определителей, т.е.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим вспомогательный определитель порядка

Используя теорему Лапласа, вычислим , разлагая его по первым строкам. Так как в них лишь один минор может быть не равен , а его алгебраическое дополнение есть , то . Используя свойство 9 определителей, добьемся, что все элементы обратились в . Для этого столбец умножим на и прибавим к столбцу , и так для каждых и . Получим

Вычислим , разлагая его по последним столбцам. Получим , где .

Тогда и . Но нетрудно проверить, что . □

Пусть и матрицы порядка . Матрица называется обратной для матрицы , если . Матрица называется невырожденной, если .

ЛЕММА (к теореме об обратной матрице).

(а) если имеет обратную матрицу , то - невырожденная;

(б) если обратная матрица для существует, то она единственна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

(а) Имеем . По теореме о произведении определителей получаем . Значит .

(б) Пусть также обратная матрица для . Используя ассоциативность умножения матриц, имеем . □

Оказывается утверждение (а) можно обратить.

ТЕОРЕМА (об обратной матрице). Если матрица - невырожденная матрица, то она имеет обратную матрицу , где

(4)

Иными словами, элемент равен алгебраическому дополнению элемента , деленному на .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Найдем элемент произведения матрицы на указанную матрицу (4). Он равен

.

Но по следствиям 1 и 2 из теоремы Лапласа сумма в скобках равна , если , и равна 0, если . Следовательно . Аналогично, используя замечание после следствия 2, доказывается, что . □

Пример 7.

Дана матрица . Её определитель , поэтому обратная матрица существует. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы :

;

;

;

;

.

Тогда

 

Линейным уравнением от неизвестных называется уравнением вида

.

Поэтому системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида

(5)

Эта СЛУ состоит из уравнений от неизвестных. Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной, а если к ней приписать столбец из - свободных членов СЛУ (5), то полученную матрицу называют расширенной. СЛУ (5) можно записать и в матричном виде

(6)

СЛУ (5) называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных и основная матрица ее невырожденная.

ПРАВИЛО КРАМЕРА. Крамеровская СЛУ имеет единственное решение , которое находится по формулам

,

где определитель основной матрицы СЛУ, а получается из в результате замены в столбца на столбец из свободных членов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как , то существует обратная матрица . Домножая обе части равенства (6) слева на , получим

(7)

Вспоминая, чему равна матрица и находя произведение в правой части (7) получаем

(8)

Но по следствию 1 из теоремы Лапласа числитель (7) есть , если вычислить , разлагая по столбцу. □

Пример 8. Решить систему уравнений

Решение.

т. о.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.

Вычислить выражения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Вычислить определители:

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

 

Доказать, что система имеет единственное решение, и найти его методом Крамера:

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

 

58. Определить, при каких значениях a и b система

1) имеет единственное решение;

2) не имеет решений;

3) имеет бесконечно много решений.

Найти обратные матрицы для следующих матриц:

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

Решить матричные уравнения:

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.
ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§2.1. Арифметическое линейное пространство .

Рассмотрим множество всех (строк из элементов) действительных чисел . Введем на этом множестве умножение числа на и сложение так:

Ниже будем называть векторами, и обозначать латинскими буквами возможно с нижними индексами. Исключение составит нулевой вектор . Числа из будем обозначать греческими буквами

Множество , вместе со сложением векторов и умножение числа на вектор образуют арифметическое линейное пространство или - мерным векторным пространством.

Непосредственно из определения следуют такие свойства сложения векторов в :

Умножение числа на вектор обладает следующими свойствами:

Из этих свойств следует, что в сумме нескольких векторов не обязательно расставлять скобки (свойство 1) и она не зависит от порядка следования слагаемых (свойство 4). В сумме векторов можно приводить подобные члены, т.е. , а также в равенстве двух сумм переносить вектор из одной части в другую с противоположным знаком.

Справедливы также следующие два утверждения:

(1) .

Действительно,

.

(2) .

Действительно,

.

Вектор вида называется линейной комбинацией векторов (с коэффициентами ). Говорят, что система векторов является линейно независимой, если для любых чисел равенство влечет, что . В противном случае система векторов называться линейно зависимой. Равносильно, система векторов линейно зависима, если найдутся числа , не все из которых равны , но . Равенство можно выразить словами: линейная комбинация векторов с коэффициентами равна нулевому вектору.

ЛЕММА 1 (о линейно зависимых системах). Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них линейно выражается через предыдущие (тем более, через оставшиеся).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть , но не все числа равны , а - наибольший из индексов таких, что .

Тогда , откуда

Обратно, пусть .

Тогда и видно, что в этой линейной комбинации векторов , которая равна нулевому вектору, коэффициент при не равен нулю. □

Система векторов называется системой порождающих (или образующих) линейного пространства , если любой вектор из равен подходящей их линейной комбинации.

ЛЕММА 2 (о порождающих). Если система порождающих линейно зависима, то из неё можно удалить подходящий вектор такой, что оставшаяся система векторов также будет системой порождающих.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если система порождающих линейно зависима, то по лемме 1 в ней найдётся некоторый вектор , который выражается через :

(1)

Так как для всякого найдутся числа такие, что

. (2)

Подставляя в равенство (2) вместо его выражение из (1), раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, убедимся в справедливости утверждения леммы. □

Линейно независимая система порождающих называется базисом .

Нетрудно понять, что следующая система векторов будет базисом в :

Действительно, она линейно независима, т. к. никакой вектор в ней не может быть выражен через предыдущие. С другой стороны, вектор имеет вид и тогда

.

Аналогично, для любого в существует базис из векторов, называемых единичными:

ТЕОРЕМА (о базисах). Любые два базиса линейного пространства состоят из одного итого же числа векторов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Пусть даны два базиса линейного пространства и , причем . Рассмотрим систему

.

Она линейно зависима по лемме 1, т.к. выражается через , но разумеется также является системой порождающих. По лемме 2 из нее можно вычеркнуть некоторый вектор, выражающийся через предыдущие, получив систему порождающих

(3)

Рассмотрим систему порождающих

(4)

которая линейно зависима, т.к. выражается через систему (3). По лемме 2 из нее можно вычеркнуть некоторый вектор, линейно выражающийся через предыдущие, получив систему порождающих

При этом вектор (и ) не будет вычеркнут, т.к. в системе никакой вектор не выражается через предыдущие. Затем, рассматриваем систему порождающих

и продолжаем аналогичную процедуру. Т.к. , то в конце концов получим систему порождающих

(5)

причем . Следовательно, вектор линейно выражается через систему векторов (5), что противоречит линейной независимости □

СЛЕДСТВИЕ 1. В пространстве любые два базиса состоят из n векторов. □

СЛЕДСТВИЕ2. Любая линейно независимая система векторов дополняема до базиса.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Припишем к линейно независимой системе векторов справа векторы , составляющие базис, получив систему . Теперь начнем из этой системы вычёркивать, пока это возможно, векторы, линейно выражающиеся через предыдущие. По лемме 1 векторы вида вычеркнуты быть не могут, а по лемме 2 оставшаяся система будет и системой порождающих. □

СЛЕДСТВИЕ3. Каждая система порождающих содержит базис. Доказательство аналогично предыдущему. □

СЛЕДСТВИЕ4. В мерном линейном пространстве любые векторов образуют линейно зависимую систему.

Доказательство следует из следствия 1 и теоремы о базисах. □

Линейно независимая система векторов называется максимальной, если при добавлении к ней еще одного вектора она становится линейно зависимой. Поэтому базис можно определить как максимальную линейно независимую систему векторов.

 

Ранг матриц.

 

Наивысший порядок минора матрицы, неравного нулю, называется минорным рангом матрицы.

Будем смотреть на столбцы, впрочем, как и на строки, матрицы как на векторы пространства (соответственно, ). Говорят, что подмножество векторов линейного пространства является его подпространством, если для всех и числа выполнены два условия:

(а) ;

(б) .

Их можно объединить в одно: для любых и чисел вектор . В этом случае нетрудно проверить выполнение всех свойств 1-8 сложения и умножения числа на вектор из § 2.1. Поэтому подпространства в свою очередь являются пространствами, т.к. условия 1-8 фактически являются аксиомами «быть пространством» для множества элементов , в котором заданы операции сложения и умножения числа на элемент из .

Универсальным способом получения подпространств является следующий: надо взять произвольное множество векторов из пространства и тогда, как не трудно проверить, множество всевозможных линейных комбинаций векторов из образует подпространство исходного линейного пространства, о котором говорят, что оно порождено векторами . По теореме о базисах любая максимальная линейная независимая система векторов из содержит одно и то же число векторов. Поэтому корректно следующее определение: число столбцов, образующих в матрице максимальную линейно независимую систему, называется рангом матрицы по столбцам. Аналогично определяется и ранг матрицы по строкам.

ТЕОРЕМА (о ранге матриц). Ранг матрицы по столбцам равен ее минорному рангу.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если в матрице любые столбцов линейно зависимы, то, по свойству 8 определителя, любой минор порядка равен нулю. Поэтому минорный ранг не больше ранга по столбцам.

Обратно, пусть минорный ранг матрицы порядка равен . Так как при расстановке строк и столбцов матрицы ее ранг не меняется, то можно считать, что минор порядка, не равный , находится на пересечении первых столбцов и строк. Рассмотрим «окаймляющий» его минор.

Здесь . Если , то содержит две равные строки и, по свойству 4 определителей, равен . Если же , то минор порядка и равен по предположению. Вычислим методом разложения по последней строке:

(6)

Заметим, что , не зависят от . Из равенства (6) получаем:

Это равенство справедливо при любом . Поэтому столбец исходной матрицы равен линейной комбинации ее первых столбцов, взятых с коэффициентами:

Итак, первые столбцов образуют максимальную линейную независимую систему столбцов. Значит ранг по столбцам не выше минорного ранга, что заканчивает доказательство теоремы. □

Так как при транспонировании матрицы ее минорный ранг не меняется, то получаем:

СЛЕДСТВИЕ 5. Ранг матрицы по строкам равен ее рангу по столбцам. □

СЛЕДСТВИЕ 6. Квадратная матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) образуют линейно независимую систему строк (столбцов). □

Доказательство теоремы о ранге дает и метод вычисления ранга матрицы. Именно, найдя минор порядка, не равный , надо перебрать все его окаймляющие (в теореме надо брать , ), и, если все они равны , то ранг матрицы равен .

Она дает также и способ нахождения максимальной линейно независимой системы строк (столбцов) матрицы. Именно, это будут те строки (столбцы), в которых лежит минор наивысшего порядка, не равный нулю.

Пример 1. Найти ранг матрицы

.

Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы отличен от нуля.

Минор третьего порядка

окаймляющий , отличен от нуля, однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие , равны нулю:

т. е. ранг матрицы равен трём.

 

Назовём элементарными следующие преобразования матриц:

- перестановка строк (столбцов);

- домножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

- добавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число;

- вычёркивание нулевой строки (столбца).

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. □

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Система из векторов

линейно независима. □

В заключении укажем ещё один алгоритм нахождения ранга матриц, основанный на утв. 1, 2: с помощью элементарных преобразований приведём матрицу к ступенчатому виду; количество её строк и будет рангом матрицы.

 

Пример 2. Найти ранг матрицы

.

Решение. Домножим первую строку матрицы на (-2), (-3), (-1) и прибавим, соответственно, ко второй, третьей и четвёртой строкам, получим

Теперь домножим вторую строку матрицы на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой строкам. Вычеркнув нулевую строку, получим матрицу

ступенчатого вида, у которой три строки. Т. е. ранг матрицы равен трём.

 

 

Системы линейных уравнений.

Общий вид СЛУ задается системой:

(*)

Набор чисел такой, который при подстановке вместо , каждое из уравнений системы обращает в тождество, называется ее частным решением. Найти общее решение СЛУ, значит указать метод, позволяющий получить все частные ее решения. СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно частное решение, и несовместной – иначе.

Классической является следующая

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть СЛУ (*) имеет частное решение . Видно, что столбец из свободных членов СЛУ является линейной комбинацией столбцов ее основной матрицы. Поэтому ранг основной матрицы равен рангу расширенной.

Обратно, пусть ранг основной матрицы СЛУ равен рангу расширенной. С точностью до перестановки уравнений и переименования неизвестных можно считать, что минор наивысшего порядка r находится на пересечении первых r строк и столбцов основной матрицы. Следовательно, существуют такие числа , что столбец из свободных членов равен линейной комбинации первых столбцов основной матрицы. Полагая , видно, что () является решением
СЛУ (*). □

Две СЛУ от одного и того же числа неизвестных называются равносильными, если они обе не совместны, либо множества их частных решений равны. Нетрудно показать, что полученная СЛУ равносильна исходной, если

- из СЛУ вычеркнуть уравнение вида ;

- обе части какого-то уравнения СЛУ умножить на число, отличное от нуля;

- прибавить к одному из уравнений другое, умноженное на некоторое число.

Изложим один метод решения СЛУ (*), называемый методом последовательного исключения переменных (или методом Гаусса). Будем считать, что (этого можно всегда добиться с помощью перестановок строк). Попытаемся теперь, умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя его к последующим, уничтожить в них слагаемые, содержащие . Для этого, умножаем первое уравнение на и прибавляем ко второму, и так далее, пока не умножим первое уравнение на и не прибавим к последнему. Получим равносильную СЛУ вида

Полагаем, что (этого можно добиться, переставляя строки или переименовывая переменные). Затем временно «забываем» про первое уравнение и продолжаем такую процедуру с оставшимися. Если в результате этой процедуры возникнет уравнение вида и , то система несовместна, если же одно из уравнений окажется вида , то это уравнение можно опустить. В результата придем к ступенчатой СЛУ, которая имеет вид

Эта часть метода Гаусса часто носит название «прямого хода». Заметим, что число является рангом основной матрицы СЛУ и он равен рангу расширенной. Теперь для нахождения общего решения СЛУ (*) воспользуемся «обратным ходом». Для этого из последнего уравнения системы выразим через . Зная это выражение из предпоследнего уравнения можно выразить также через , и так далее. Наконец получим систему

Она равносильна исходной и называется общим решением СЛУ (*). Теперь подставляя вместо неизвестных произвольные значения и вычисляя можно получить все частные решения () СЛУ (*).