Основные алгебраические структуры.

Группы, кольца, поля.

Будем говорить, что в множестве определён закон композиции, если задано отображение упорядоченных пар элементов из в множество (бинарная операция на множестве ). При этом элемент из , сопоставленный с помощью отображения в соответствие элементам из , называется композицией этих элементов.

Композиция элементов и обозначается символом :

.

Для композиции элементов множества используются и другие формы записи. Наиболее употребительными являются аддитивная форма записи и мультипликативная форма записи (или ). В случае аддитивной записи композиции соответствующий закон называют сложением, а при мультипликативной форме - умножением.

Множество элементов , в котором определён закон композиции, называемый сложением и ставящий в соответствие каждой паре элементов множества определённый элемент этого множества, называется аддитивной группой (обозначается ), если этот закон удовлетворяет следующим требованиям:

1. (ассоциативность).

2. Существует элемент множества такой, что для любого элемента этого множества (существование нейтрального (нулевого) элемента).

3. Для любого элемента множества существует противоположный элемент такой, что .

В случае мультипликативной формы записи получим определение мультипликативной группы (обозначается ), нейтральный элемент которой называется единичным, а противоположный - обратным .

Если закон композиции, действующий в группе , удовлетворяет следующему требованию:

4. (коммутативность),

то группа называется коммутативной или абелевой.

Отметим некоторые свойства групп (будем использовать аддитивную форму записи композиции).

ТЕОРЕМА 1. Если , то .

Доказательство. Пусть - противоположный элемент для элемента : . Тогда , т. е. . Следовательно, . Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 2. Для любого элемента группы справедливо соотношение .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1 и, кроме того, . Поэтому , т. е. . □

ТЕОРЕМА 3. Если и , то .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как , то - противоположный элемент для , и поэтому, согласно теореме 1, . Имеем далее . □

Из доказанных теорем вытекают следующие важные следствия.

СЛЕДСТВИЕ 1. Противоположным элементом для элемента служит элемент . Или, иначе, элемент является как правым, так и левым противоположным элементом для элемента (т. е. и ).

СЛЕДСТВИЕ 2. В любой группе уравнения и однозначно разрешимы. Решениями этих уравнений служат соответственно элементы и .

СЛЕДСТВИЕ 3. В группе имеется единственный нейтральный элемент (нуль группы)(если и , то ).

Пример 1. Множество целых чисел образует абелеву группу относительно сложения. Действительно, сложение целых чисел ассоциативно и коммутативно, нейтральным элементом является целое число , а обратным для служит целое число .

Пример 2. Множество положительных вещественных чисел образует абелеву группу относительно умножения. Очевидно, умножение ассоциативно и коммутативно. Нейтральный элемент , а обратным элементом для числа служит вещественное число .

Пример 3. Взаимно однозначное отображение множества на себя называется подстановкой из элементов, При этом всякий элемент множества переходит в элемент , обратная подстановка переводит в . Подстановка для любого множества называется тождественной подстановкой. Во множестве подстановок естественным образом определяется закон композиции: если и подстановки, то последовательное проведение этих подстановок представляет собой некоторую подстановку. Легко видеть, что композиция ассоциативна. Если множество содержит тождественную подстановку, обратную подстановку для каждой своей подстановки и вместе с любыми двумя подстановками и их композицию , то, очевидно, представляет собой группу.

Множество элементов , в котором определены законы композиции, называемые сложением и умножением, называется кольцом (обозначается ), если эти законы удовлетворяют следующим требованиям:

1. - коммутативная группа.

2. (ассоциативность).

3. и (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным; если в кольце имеется единичный элемент, то оно называется кольцом с единицей. Элементы называются делителями нуля - нейтрального элемента относительно , если и , но .

Пример 4. Множество целых чисел относительно сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей. Роль единичного элемента играет целое число .

Пример 5. Множество квадратных матриц порядка относительно сложения и умножения образует кольцо с единицей. Коммутативность сложения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения для матриц были отмечены в §1.1. Нейтральным элементом по сложению является нулевая квадратная матрица порядка , нейтральным элементом по умножению - единичная матрица порядка .

 

Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент является обратимым, т.е. для любого существует , такой, что , называется полем.

ТЕОРЕМА 4. Для любого элемента поля : , где нейтральный элемент по сложению.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. . Таким образом, является нейтральным элементом по сложению, т. е. .

 

ТЕОРЕМА 5. В поле нет ненулевых делителей нуля.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если и , то существует обратный элемент , обратный к . Тогда . Но . Отсюда . □

Пример 6. Множество рациональных чисел с операциями сложения и умножения образует поле. Действительно, для всякого ненулевого рационального , существует так же рациональный обратный элемент .

Поле комплексных чисел.

На протяжении изучения предмета математики неоднократно происходит обогащение понятия числа. На первом этапе школьник, изучающий математику, сталкивается с натуральными числами . С введением отрицательных чисел, появляется возможность рассмотрения системы целых чисел , состоящей из натуральных чисел, противоположных натуральным и нуля. Следующая, более широкая система рациональных чисел , состоящая из всех целых чисел и всех дробных, как положительных, так и отрицательных. Дальнейшее расширение понятия числа происходит тогда, когда в рассмотрение вводятся иррациональные числа. Система, состоящая из всех рациональных и всех иррациональных чисел, называется системой действительных (или вещественных) чисел . Комплексные числа вводятся в связи со следующей задачей: нужно расширить систему действительных чисел до такой системы, в которой каждое квадратное уравнение (в частности уравнение ) обладало бы корнем.

В качестве материала для построения новой системы чисел возьмём точки плоскости , каждая из которых однозначно определяется упорядоченной парой действительных чисел. Введём операции сложения и умножения для таких элементов следующим образом:

Покажем, что множество с введёнными операциями сложения и умножения образует поле. Очевидно, сложение и умножение являются коммутативными операциями, а сложение, кроме того, ассоциативно. Нейтральным элементом по сложению является пара , по умножению - . Для пары противоположна пара . В качестве упражнения читателю предлагается доказать ассоциативность умножения и дистрибутивность умножения относительно сложения. Осталось показать, что для каждого ненулевого элемента существует обратный. Для этого решим уравнение относительно и . Оно сводится к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Данная система совместна для и имеет единственное решение , т. е. .

Итак, система является полем и называется системой комплексных чисел.

Покажем теперь, что система комплексных чисел является расширением системы действительных чисел. Для этой цели рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс, т. е. точки вида . Для них справедливо

т. е. они складываются и перемножаются так же, как соответствующие действительные числа. Это позволяет нам в дальнейшем не различать точку и действительное число .

Вернёмся к уравнению . Во множестве комплексных чисел его решением будет, например, точка . Действительно, . Условимся обозначать эту точку буквой , так что . Будем называть комплексное число мнимой единицей. Имеем, . Таким образом, . Следовательно, любое комплексное число можно представить в виде , где называется действительной частью комплексного числа, а мнимой частью. Плоскость, точки которой отождествлены с комплексными числами, будем называть комплексной плоскостью. Ось абсцисс этой плоскости называется действительной осью, а ось ординат - мнимой осью.

Положение точки на плоскости однозначно задаётся парой действительных чисел и . Однако, её положение также вполне определяется с помощью полярных координат, т. е. расстоянием от точки до начала координат и углом между положительным направлением оси абсцисс и направлением из начала координат на эту точку. Число называется абсолютной величиной или модулем комплексного числа, а число аргументом. Очевидно, что абсолютная величина неотрицательна, а аргумент определён с точностью до слагаемых, кратных .

Между декартовыми и полярными координатами существует следующая связь, справедливая при любом расположении точек на плоскости:

Для произвольного комплексного числа имеем:

Эта запись числа называется его тригонометрической формой. Абсолютная величина находится по формуле . Аргумент может быть найден из системы уравнений:

Пример 7. Найти тригонометрическую форму числа .

Решение. Здесь , . Тогда .

 

 

Решая систему, получаем . Таким образом

 

Пусть комплексные числа и заданы в тригонометрической форме: , . Перемножим эти числа:

Таким образом, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Аналогичное правило имеет место и для частного. Если , то:

Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, делённому на модуль делителя, а аргумент частного получается вычитанием аргумента делителя из аргумента делимого.

Следствием из формулы умножения комплексных чисел является формула Муавра:

Пусть, теперь, нужно извлечь корень степени из числа . Предположим, что это сделать можно и что в результате получается число , т. е.

Тогда - однозначно определённое положительное значение корня ой степени из неотрицательного действительного числа . А аргументы и могут отличаться на слагаемое, кратное , т. е. , где целое число. Откуда . Таким образом, окончательно имеем:

.

Давая различные значения, мы не всегда будем получать различные значения искомого корня. Действительно, при

получим значений корня, которые все будут различными, так как увеличение на единицу влечёт за собой увеличение аргумента на . Для произвольного имеем , следовательно

,

т. е. значение аргумента при этом отличается от значения аргумента при на число, кратное . Следовательно, значение корня при произвольном такое же, как при значении , равном , где .

Таким образом, извлечение корня ой степени из комплексного числа всегда возможно и даёт различных значений. Все значения корня ой степени расположены на окружности радиуса с центром в нуле и делят эту окружность на равных частей.

Пример 8. Вычислить .

Решение.

Пример 9. Вычислить .

Решение. Найдём тригонометрическую форму числа :

.

Тогда .

При имеем: .

При : .

Пример 10. Вычислить .

Решение. В тригонометрической форме .

.

: ;

: ;

: .

Поля вычетов.

Пусть множество всех остатков от деления целых чисел на натуральное число , т. е. . Суммой (произведением) двух элементов будем считать остаток от деления этой суммы (произведения) на число . Рассмотрим полученную структуру .

ТЕОРЕМА 6. Если составное, то не является полем.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть составное, т. е. , где и . Тогда по модулю получаем , но и . Так как в поле такого быть не может (теорема 5), то при составном остатки с операциями по модулю не образуют поля. □

Покажем теперь, что в случае простого , является полем. Вначале заметим следующее. Пусть и — два целых числа, - остатки от деления их на , т. е. и . Тогда и , откуда получаем, что числа и , а также числа и дают при делении на одинаковые остатки. Другими словами, мы получим одинаковый результат, если сначала возьмем остатки от деления и на и потом сложим (или умножим) их по модулю , или, если мы сначала сложим (или умножим) и , как обычные натуральные числа, а затем возьмем остаток от деления полученного числа на . Таким образом, при вычислении некоторого выражения с операциями по модулю можно не брать остаток от деления на после каждой операции, а произвести вычисления сначала как с обычными натуральными числами и обычными операциями и только в конце взять остаток от деления полученного числа на . Это позволяет утверждать, что операции сложения и умножения ассоциативны и коммутативны, а также справедлива дистрибутивность умножения относительно сложения.

Нейтральным элементом по сложению является , а единичным элементом по умножению - . Остается показать, что при простом у каждого остатка , отличного от , есть обратный, т. е. что найдется остаток такой, что по модулю . Итак, пусть . Рассмотрим числа

(умножение обычное).

Разность любых двух из этих чисел не делится на , так как простое, а и . Таким образом, все эти чисел дают разные и, следовательно, всевозможные остатки при делении на . Значит, одно из этих чисел дает при делении на остаток , т. е. по модулю для некоторого остатка .

Таким образом, при простом все свойства поля выполняются.

 

В качестве примера приведём таблицы сложения и умножения элементов поля вычетов по модулю 5.

 

По этим таблицам также можно получить разность и частное любых двух элементов.

Кольца многочленов.

Пусть произвольное поле. Через обозначим множество многочленов от с коэффициентами из . Многочлен имеет вид:

.

Если коэффициент отличен от нулевого элемента поля , то его называют старшим коэффициентом , а число степенью многочлена. Сами ненулевые элементы поля будут являться многочленами нулевой степени, а нулевой элемент - многочленом неопределённой степени.

Если все коэффициенты многочлена - комплексные числа, то называют множеством многочленов над полем комплексных чисел. Определим во множестве операции сложения и умножения следующим образом. Для произвольных многочленов и , таких что:

и , их суммой назовём многочлен

,

коэффициенты которого получаются сложением коэффициентов многочленов и , стоящих при одинаковых степенях неизвестного,
т. е. причём при коэффициенты следует считать равными нулю. Степень суммы будет равна , если больше , но при она может случайно оказаться меньше , а именно в случае .

Произведением многочленов и называется многочлен

,

коэффициенты которого определяются следующим образом:

,

т. е. коэффициент есть результат перемножения таких коэффициентов многочленов и , сумма индексов которых равна , и сложения всех таких произведений; в частности, . Из последнего равенства вытекает неравенство и поэтому степень произведения, двух многочленов равна сумме степеней этих многочленов. Отсюда следует, что произведение многочленов, отличных от нуля, никогда не будет равным нулю.

Какими свойствами обладают введенные нами операции для многочленов? Коммутативность и ассоциативность сложения немедленно вытекают из справедливости этих свойств для сложения чисел, так как складываются коэффициенты при каждой степени неизвестного отдельно. Вычитание оказывается выполнимым: роль нуля играет число нуль, включенное нами в число многочленов, а противоположным для записанного выше многочлена будет многочлен

Коммутативность умножения вытекает из коммутативности умножения чисел и того факта, что в определении произведения многочленов коэффициенты обоих множителей и используются совершенно равноправным образом. Ассоциативность умножения доказывается следующим образом: если, помимо многочленов и , дан еще многочлен

,

то коэффициентом при в произведении будет служить число

,

а в произведении - равное ему число