Произведение вектора на число

Матрица размеров m на n.

Матрицей размера m на n называется совокупность mn вещественных чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа -номер строки и номер столбца.Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов. Треугольная — квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю.Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю. Скалярная матрица — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λ A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

Свойства умножения матриц на число

1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

Свойства сложения матриц

5.коммутативность) a+b=b+a

6.ассоциативность .

7.сложение с нулевой матрицей;

8.существование противоположной матрицы (то же самое но везде минусы перед каждым числом)

Умножение матриц — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .

Свойства умножения матриц

1.ассоциативность;(см. выше)

2.произведение не коммутативно;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;

4.справедливость дистрибутивного закона; А*(В+С)=А*В+А*С.

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. Определитель квадратной матрицы первого и n-ого порядка

Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно

Определение через разложение по первой строке

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы детерминант определяется как

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:

, где — дополнительный минор к элементу a _{1 j} . Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

= a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ − a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂ − a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ + a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ + a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ − a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁

Свойства определителей

При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

 

Св ва

§ Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

§ Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

§ Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

§ Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

§ Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

§ Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

§ Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

§ Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).

§ С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

 

 

Обратная матрица.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Усл. существования:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Формула для нахождения

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

а)С помощью матрицы алгебраических дополнений

C^T — транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A ⁻¹ и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O_det и равна O(n²)·O_det.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений(минор умножаем на (-1) в степени места которое он занимает) элементов исходной матрицы.

4. Система линейных уравнений. Решение системы. Совместность и несовместность системы. матричный способ решения системы n линейных уравнений с n переменными. Теорема Краммера.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Здесь x ₁, x ₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a ₁₁, a ₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b ₁, b ₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[1].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b ₁ = b ₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c ₁, c ₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c ₁⁽¹⁾, c ₂⁽¹⁾, …, c_n ⁽¹⁾ и c ₁⁽²⁾, c ₂⁽²⁾, …, c_n ⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c 1^(1) = c 1^(2), c 2^(1) = c 2^(2), …, cn ^(1) = cn ^(2).

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

A x = B.

Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Прямые методы

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Описание метода

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца(определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b ₁, b ₂,..., b_n и x ₁, x ₂,..., x_n, либо набор c ₁, c ₂,..., c_n состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом.

 

5.Минор k-того порядка. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Теорема Кронекера-Капелли об условиях совместимости системы линейных уравнений. Метод исключения переменных (Гаусса) для системы линейных уравнений.

Минор матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число ненулевых строк (столбцов).

Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений) -

система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы (со свободными членами), причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

6. Направленный отрезок и вектор. Начальные понятия векторной алгебры. Сумма векторов и произведение вектора на число. Условие координированности векторов. Свойства линейных операций над векторами.

Операции над векторами

Сложение

Операцию сложения геометрических векторов можно определить по разному, в зависимости от ситуации и типа расматриваемых векторов:

Два вектора u, v и вектор их суммы

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

А модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов где — угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого. Так же используется формула теперь — угол между векторами выходящими из одной точки.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

Свойства вектора С

§ длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними

§ вектор ортогонален каждому из векторов и

§ направление вектора С определяется по правилу Буравчика

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

 

 

Базис и система координат на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по базису. Ортонормированный базис и прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве. Координаты вектора и точки на плоскости и в пространстве. Проекции вектора на оси координат.

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.

Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.

Представление какого-то конкретного (любого) вектора пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

или

или, употребляя знак суммы Σ:

называется разложением этого вектора по этому базису.

Координаты вектора и точки на плоскости и в пространстве.

Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка OAx: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси.

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.

Тогда проекцией вектора AB на ось l называется разность x1 – x2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.

8. Длина и направляющие косинусы вектора, связь между направляющими косинусами. Орт вектора. Координаты сумма векторов, произведение вектора на число.

Длина вектора определяется по формуле

Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными им с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющие косинусы вектора) вычисляются по формулам:

 

Едини́чный ве́ктор или орт (единичный вектор нормированного векторного пространства) — вектор, норма (длина) которого равна единице.

Единичный вектор , коллинеарный с заданным (нормированный вектор), определяется по формуле

.

В качестве базисных часто выбираются именно единичные векторы, так как это упрощает вычисления. Такие базисы называют нормированными. В том случае, если эти векторы такжеортогональны, такой базис называется ортонормированным базисом.

Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению:

Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:

и

Координаты вектора суммы двух векторов удовлетворяют соотношениям:

и

Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению:

Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:

и

Вектор суммы двух векторов:

Сумма нескольких векторов:

Произведение вектора на число:

Векторное произведение векторов. Геометрические приложения векторного произведения. Условие коллинеарности векторов. Алгебраические свойства смешанного произведения. Выражение векторного произведения через координаты множителей.

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Геометрические приложения:

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а| * |b |sing, т. е. S _пар = |а х b |. И, значит, DS =1/2|а х b |.

Определение момента силы относительно точки

Из физики известно, что моментом силы F относительно точки О называется вектор М, который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами ОА и A В.

Стало быть, М=ОА х F.

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v =w хr, где r =ОМ, где О—некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

Условие коллинеарности векторов - необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора и вектора является существование такого числа , которое удовлетворяет равенству .

Алгебраические свойства смешанного произведения

Смешанное произведение векторов не изменяется при круговой перестановке сомножителей и изменяет знак на противоположный при перестановке двух сомножителей, сохраняя при этом свой модуль.

Знак " " векторного умножения внутри смешанного произведения может быть поставлен между любыми его сомножителями.

Смешанное произведение дистрибутивно относительно любого его сомножителя: (например) если , то

Выражение векторного произведения через координаты

система координат правая

система координат левая

 

12. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл смешанного произведения, условие компланарности векторов. Алгебраические свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через координаты множителей.

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов (a,b,c) называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий.

Алгебраические свойства векторного произведения

-антикоммутативность

-ассоциативности относительно умножения на скаляр

-дистрибутивности по сложению

-тождество Якоби. Выполняется в R3 и нарушается в R7

 

Векторные произведения базисных векторов находятся по определению

 

Вывод

где — координаты и направляющего вектора прямой, и координаты точки, принадлежащей прямой.

Нормальный вектор прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение прямой. Уравнения прямой с угловым коэффициентом. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Нормальным вектором прямой называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой.

- уравнение прямой проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Ах + Ву + С = 0 - общее уравнение прямой.

Уравнение прямой вида y=kx+b

 

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.

Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом y=kx+b

 

угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:

.

Взаимное расположение:

Пусть и

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда

1) если , то прямые и совпадают;

2) если , то прямые и параллельные;

3) если , то прямые пересекаются.

Доказательство. Условие равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:

. Поэтому, если , то и прямые пересекаются.

Если же , то , , и уравнение прямой принимает вид:

или , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.

Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай , т.е. прямые параллельны.

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или , где

 

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Нормальное уравнение прямой

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

 

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ? С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

C ледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

 

17. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Геометрические свойства и построение эллипса. Специальные термины.

Э́ллипс — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F ₁ и F ₂ (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть | F ₁ M | + | F ₂ M | = 2 a, причем | F ₁ F ₂ | < 2 a.

Каноническое уравнение

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.

Построение: 1)С помощью циркуля

2) Два фокуса и натянутая нитка

3) Эллипсограф (Эллипсограф состоит из двух ползунов, которые могут двигаться по двум перпендикулярным канавкам или направляющим. Ползуны прикреплены к стержню посредством шарниров, и находятся на фиксированном расстоянии друг от друга вдоль стержня. Ползуны движутся вперёд и назад — каждый по своей канавке, — и конец стержня описывает эллипс на плоскости. Полуоси эллипса a и b представляют собой расстояния от конца стержня до шарниров на ползунах. Обычно расстояния a и b можно варьировать, и тем самым менять форму и размеры описываемого эллипса)

(Свойства эллипса.)

1. В канонической для эллипса системе координат, все

точки эллипса находятся в прямоугольнике

, .

2. Точки лежат на

эллипсе.

3. Эллипс является кривой, симметричной относительно

своих главных осей.

4. Центр эллипса является его центром симметрии.

 

§ — большая полуось;

§ — малая полуось;

§ — фокальный радиус (полурасстояние между фокусами);

§ — фокальный параметр;

уравнение соотношения между осями и фокусом

эксцентриситет

Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

фокальный параметр

каноническое уравнение

18. Гипербола. Канонические уравнения гипербол. Геометрические свойства и построение гиперболы. Специальные термины

Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от др.-греч. βαλειν — «бросать», ὑπερ — «сверх») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F ₁ и F ₂ (называемых фокусами) постоянно. Точнее,

причем | F ₁ F ₂ | > 2 a > 0.

Соотношения

Для характеристик гиперболы определённых выше подчиняются следующим соотношениям

.

.

.

.

.

.

.

.

Канонический вид

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду

,где большая a и малая b полуоси.

Связанные определения

Асимптоты гиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C. Два фокуса гиперболы обозначены как F ₁ и F ₂.Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D ₁ и D ₂. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зеленым). Вершины гиперболы обозначены как ± a. Параметры гиперболы обозначают следующее:

a — расстояние от центра C до каждой из вершин
b — длина перпендикуляра, опущенного из каждой из вершин на ассимптоты
c — расстояние от центра C до любого из фокусов, F ₁ и F ₂,
θ — угол, образованный каждой из асимптот и осью, проведённой между вершинами.

Свойства

§ Для любой точки лежащей на гиперболе отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.

§ Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.

§ Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; обе гиперболы различаются формой.

19. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Геометрические свойства и построение параболы. Специальные термины.

Пара́бола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемойдиректрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

(или , если поменять местами оси).

Свойства

§ 1Парабола — кривая второго порядка.

§ 2Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.

§ 3Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.

§ 4Для параболы фокус находится в точке (0,25; 0).

Для параболы фокус находится в точке (0; f).

§ 5Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.

§ 6Парабола является антиподерой прямой.

§ Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

§ 7При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

директриса параболы

фокальный радиус

 

20. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости, частный случай общего уравнения плоскости. Векторное уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей.

Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору
В векторном виде

В координатах

Угол между плоскостями

 

Частные случаи общего уравнения плоскости: